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L'oggetto d'indagine della fisica è il mondo macroscopico, il mondo microscopico e la loro connessione. Il metodo scientifico è caratterizzato da cinque passi fondamentali:
Le leggi fisiche più generali prendono anche il nome di teorie. Ci sono vari casi nella storia della fisica in cui le teorie sono state in grado non solo di giustificare i fatti sperimentali già noti ma anche di prevedere delle conseguenze non ancora verificate sperimentalmente.
Come abbiamo visto nella precedente sezione, uno dei momenti importanti che caratterizzano il metodo scientifico è la scelta delle grandezze fisiche necessarie per la descrizione del fenomeno in esame. Le grandezze fisiche hanno una caratteristica fondamentale: sono delle quantità misurabili. In questa lezione vedremo cosa vuol dire effettuare la misura di una grandezza fisica.
Per prima cosa, partiamo da un'attività pratica. Supponiamo di andare a misurare la larghezza dei banchi presenti nella classe. Effettuare una misura significa andare a confrontare la larghezza del banco con un campione di riferimento (o strumento di misura), ad esempio un righello. Riportiamo di seguito un tipico esempio:
x1 = 62.8 cm
Possiamo subito dire che il risultato della misura è caratterizzato da un numero detto esito della misura e da un simbolo (cm) che indica l'unità di misura, nel nostro caso i centimetri:
Risultato di una misura = Esito della misura + Unità di misura.
È importantissimo chiarire fin da ora che in fisica nessun numero ha alcun significato se non viene associato a un'opportuna unità di misura. Infatti se avessimo misurato in metri (m) anziché in centimetri le dimensioni del banco è chiaro che avremmo ottenuto come esito della misura dei numeri diversi. È fondamentale pertanto non omettere mai l'unità di misura nel risolvere un esercizio di fisica o nel riportare i dati delle attività di laboratorio. Inoltre è importante rendersi conto che per poter confrontare tra loro gli esiti di misure diverse è fondamentale che tali misure siano espresse tutte nella stessa unità di misura (i centimetri nel particolare esempio che stiamo prendendo in considerazione).
Misurare una grandezza significa dire quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza.
Le misure possono essere dirette o indirette:
La misurazione diretta consiste nel confrontare la grandezza da misurare con un'altra ad essa omogenea, scelta come campione di riferimento. Il campione di riferimento viene detto anche unità di misura. Dire, ad esempio, che un lato della cattedra è lungo 2,50 m equivale a dire che il metro, scelto come unità di misura, è contenuto 2,5 volte nella lunghezza misurata.
La misurazione indiretta consiste nell’utilizzare strumenti che per via indiretta calcolano la misura della grandezza, come ad esempio un distanziometro laser per il calcolo della lunghezza.
SISTEMA INTERNAZIONALE
Siccome le grandezze fisiche non sono poche, la comunità scientifica internazionale, ha ritenuto inopportuno stabilire un'unità di misura per ciascuna di esse ed ha fissato solo le sette unità fondamentali, che sono quelle riportate nella tabella seguente:
GRANDEZZE FONDAMENTALI |
UNITA' DI MISURA |
SIMBOLO |
STRUMENTO DI MISURA |
LUNGHEZZA |
Metro |
m |
METRO |
MASSA |
Kilogrammo |
Kg |
BILANCIA |
TEMPO |
Secondo |
s |
CRONOMETRO |
CORRENTE ELETTRICA |
Ampere |
A |
AMPEROMETRO |
TEMPERATURA |
Kelvin |
K |
TERMOMETRO |
QUANTITA' DI MATERIA |
Mole |
mol |
- |
INTENSITA' LUMINOSA |
Candela |
cd |
FOTOMETRO |
L'insieme di queste sette unità di misura costituisce il Sistema Internazionale (S.I.) che oggi è universalmente accettato. Le unità di misura delle grandezze derivate vengono ricavate da quelle delle grandezze fondamentali tramite analisi dimensionale (es: velocità = metro / secondo, area = metro2 )
Le unità di misura possono essere precedute da prefissi per ottenere multipli e sottomultipli:
G (GIGA) = 109 = 1.000.000.000
M (MEGA) = 106 = 1.000.000
Si divide per un multiplo di 10 (100, 1000, ecc.)
Si moltiplica per un multiplo di 10 (100, 1000, ecc.)
k (kilo) = 103 = 1.000
Es.: per passare da cm a km dobbiamo salire la scala, quindi bisogna dividere per un multiplo di 10. Tale multiplo si ottiene contando quanti passi ci vogliono per passare sa c a k, sono 5, quindi bisogna dividere per 105. 15 cm = (15 / 105) km = (15∙10-5) km.
Mentre per passare da hm a mm bisogna scendere la scala, quindi si deve moltiplicare per un multiplo di 10. Contando i passi si ottiene che per passare da h a m servono 5 passi.
15 hm = 15∙105mm.
ATTENZIONE: per passare da k ad M, ci sono 3 passi e non 1. Un metodo sicuro per non confondersi è quello di sottrarre gli esponenti della base dieci, il più grande meno il più piccolo.
Es.: da h a m sono 2-(-3) = 5 passi; da c a M sono 6-(-2) = 8 passi; da M a k sono 6-3 = 3 passi; da n a d sono (-1)-(-9) = 8 passi; e così via.
Nel caso in cui l’unità di misura risulta elevata ad una potenza, allora si eleva per la stessa potenza la potenza di 10 corrispondente.
Es.: da cm2 a dam2, stiamo salendo di 3 posti, quindi abbiamo cm2 = (10-3)2 dam2 =10-6 dam2
Da hm2 a mm2, stiamo scendendo di 5 posti, 1 hm2=(105)2 mm2 = 1010 mm2.
È importante essere in grado di effettuare in maniera corretta conversioni tra unità di misura diverse di lunghezza. Durante questo corso di fisica la conversione principale che faremo è quella diretta, in cui si passa dai multipli e sottomultipli del metro al metro stesso. Il primo passo di ogni conversione è quello di riscrivere il risultato della misura e di eseguire la conversione dell'unità di misura usando la tabella dei prefissi menzionata sopra. Il passo successivo è quello di moltiplicare il risultato originario della misura per il fattore di conversione. Alcuni esempi:
Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della lunghezza è il metro (m). Nel 1889, quando si svolse la prima Conferenza Internazionale dei Pesi e delle Misure, si decise di definire il metro come la lunghezza di un segmento riportato su una barra di platino-iridio conservata a 0°C a Sevres presso Parigi. Al giorno d'oggi invece il metro viene definito come la distanza percorsa dalla luce in un tempo pari a 1 / 299 792 485 esimo di secondo.
L'area è la misura di una superficie. Pur essendo possibile, in linea di principio, misurare l'area anche di corpi aventi forma irregolare, in questa sezione ci limiteremo a misurare l'area di corpi aventi forma sufficientemente regolare, in modo tale da poter utilizzare le formule della geometria piana.
Ad esempio se dobbiamo calcolare l'area di un rettangolo andremo a misurare la base b e l'altezza h del rettangolo e poi sfrutteremo la formula A = b · h. In questo caso la misura dell'area del rettangolo prende il nome di misura indiretta perché essa viene ricavata in maniera indiretta dalle misure della base e dell'altezza del rettangolo.
Se cambiamo figura geometrica ovviamente dovremo cambiare la formula da applicare. Se per esempio vogliamo misurare l'area di un triangolo partendo dalle misure dirette della base b e dell'altezza h, dovremo applicare la formula A = b · h / 2. Infine l'area di un cerchio si può ricavare dalla misura del raggio r usando la formula A = π · r2, dove π = 3.14 è la costante pi greco arrotondata con tre cifre significative.
Un discorso analogo a quello che abbiamo fatto per le superfici nella sezione precedente vale anche per i volumi. Se il corpo di cui vogliamo calcolare il volume ha una forma regolare possiamo usare le formule della geometria solida per misurare il volume in maniera indiretta. Ad esempio, se abbiamo un parallelepipedo, possiamo misurare la lunghezza dei suoi tre lati a, b e c e calcolare poi il volume del parallelepipedo usando la formula V = a · b · c.
Analogamente se abbiamo una sfera e siamo in grado di misurare il diametro d della sfera possiamo per prima cosa ricavarci il raggio r = d / 2. A quel punto il volume della sfera si ricava dalla formula indiretta V = 4 / 3 π r3.
Dalle formule viste sopra è facile rendersi conto che l'unità di misura del volume nel Sistema Internazionale è il metro cubo (simbolo: m3). Talvolta capita di avere una misura di volume espressa in altre unità di misura: è importante a quel punto riuscire a svolgere in maniera corretta la conversione fra le unità. Forniamo alcuni esempi:
Ogni corpo è caratterizzato da una certa massa. La massa in fisica è legata alla quantità di materia che costituisce un corpo. La massa è una grandezza fondamentale nel Sistema Internazionale, al pari della lunghezza e del tempo. La sua unità di misura nel Sistema Internazionale è il kilogrammo, simbolo kg. Nel 1889 si costruì un cilindro di platino e iridio, di diametro e altezza pari a 39 mm, la cui massa venne definita pari a 1 kg. Attualmente tale campione è conservato al Museo di Sevres presso Parigi, dove si trova anche il primo campione di metro. Altri campioni di kilogrammo sono conservati in vari paesi (in Italia ce ne sono due, uno conservato a Roma presso l'Ufficio Centrale Metrico e uno a Torino, presso l'Istituto di Metrologia).
Gli stessi prefissi che abbiamo introdotto nel caso delle lunghezze per definire multipli e sottomultipli del metro, valgono anche nel caso delle masse. L'unico aspetto a cui bisogna prestare la dovuta attenzione è che nel caso delle masse l'unità di riferimento non è l'unità del Sistema Internazionale, ma è il grammo e dobbiamo ricordarci che 1 g = 10-3 kg. Ad esempio, se vogliamo convertire il milligrammo (mg) in kilogrammo avremo:
1 mg = 10-3 g = 10-3 · 10-3 kg = 10-6 kg.
In questa sezione cominceremo a studiare le correlazioni esistenti tra due grandezze fisiche diverse, come la massa e il volume. In generale, se un corpo è omogeneo, la sua massa aumenta all'aumentare del volume. Se prendiamo però due corpi costituiti da materiali diversi, può avvenire che il corpo più piccolo abbia una massa maggiore di quella del corpo più grande. Esiste una grandezza fisica importante, detta densità assoluta δ, che ci dice quanta massa è contenuta in un certo volume ed è una caratteristica della sostanza di cui è costituito il corpo che prendiamo in esame.
La densità assoluta è definita come il rapporto tra la massa m del corpo e il suo volume V. In formule abbiamo: δ = m / V. Per misurare la densità di un corpo possiamo misurarne la massa con una bilancia a piatti. Per misurare il volume possiamo invece usare dell'acqua e un cilindro graduato come abbiamo visto nella sezione intitolata Misure di volumi. Dal momento che nel Sistema Internazionale la massa si misura in kilogrammi (kg) e il volume in m3 avremo che l'unità di misura della densità assoluta δ nel Sistema Internazionale è il kg / m3. In generale la densità assoluta dei solidi è maggiore della densità dei liquidi che a sua volta è maggiore della densità dei gas, ma esiste un'importante eccezione, l'acqua: il ghiaccio (solido) galleggia sull'acqua (liquida) perché la sua densità è minore di quella dell'acqua.
La densità assoluta dell'acqua distillata a 4°C viene spesso usata come valore di riferimento per le densità delle altre sostanze. Possiamo ricavare facilmente la densità dell'acqua ricordando che a un volume di un litro d'acqua corrisponde una massa di un kilogrammo. Poiché 1 l = 1 dm3 abbiamo la seguente densità assoluta per l'acqua: δa = 1 kg / 1 dm3 = 1 kg / 0.001 m3 = 1000 kg / m3.
Prendendo come densità di riferimento la densità assoluta dell'acqua, possiamo introdurre il concetto di densità relativa δr. Prima di farlo, rispondiamo alla seguente domanda: qual è la massa di un corpo avente volume V e densità assoluta δc? Partiamo dalla formula diretta δc = mc / V. Per isolare la massa dobbiamo moltiplicare la precedente uguaglianza a destra e a sinistra per il volume V, in modo da ottenere: δc · V = mc. Rileggendo l'uguaglianza da destra a sinistra abbiamo: mc = δc · V. Analogamente la massa di un ugual volume V di acqua è data da ma = δa · V.
La densità relativa di un corpo si definisce come il rapporto tra la sua massa mc e la massa ma di un ugual volume di acqua distillata a 4°C. Pertanto, semplificando il volume V, otteniamo
δr = mc / ma = (δc · V) / (δa · V) = δc / δa.
La precedente relazione ci dice che la densità relativa di un corpo è data dal rapporto tra la sua densità assoluta δc e la densità δa dell'acqua distillata a 4°C.
Concludiamo questa sezione con un esempio numerico: la densità assoluta dell'alluminio è data da 2699 kg / m3. La sua densità relativa è invece data da: δr = 2699 / 1000 = 2.699. Notiamo come la densità relativa è un numero puro, ossia un numero privo di unità di misura. Questo avviene ogniqualvolta abbiamo il rapporto tra due grandezze omogenee (come, in questo caso, le densità assolute dell'alluminio e dell'acqua). Per concludere, alcune curiosità: in condizioni normali il metallo più denso è l'osmio δ = 2.26 · 104 kg / m3, le densità più grandi in natura si raggiungono invece nei nuclei degli atomi pesanti e nelle stelle di neutroni (ordine di grandezza: 1017 kg / m3).
La forza peso
Sulla Terra, ogni corpo subisce una forza-peso, che è la forza di gravità con cui è attratto dalla Terra, quindi questo tipo di forza agisce a distanza.
La forza-peso e la massa sono grandezze diverse:
mentre la massa non cambia mai qualsiasi parte dell’universo noi andiamo, la forza-peso invece cambia.
Come è facilmente dimostrabile, in un dato luogo, la forza-peso di un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa. Il fattore di proporzionalità è chiamato accelerazione di gravità e si indica con il simbolo g , tale valore cambia da punto a punto sulla Terra, in particolare al livello del mare vale circa 9,8 N/kg
FP=g·m
Supponiamo di andare a misurare la larghezza dei banchi presenti nella classe. Effettuare una misura significa andare a confrontare la larghezza del banco con un campione di riferimento, ad esempio un righello. Riportiamo di seguito un tipico esempio di risultati che si possono ottenere:
x1 = 62.8 cm, x2 = 62.3 cm, x3 = 63.3 cm, x4 = 63 cm, x5 = 62.4 cm, x6 = 63 cm.
Un'altra osservazione che possiamo trarre dalle misure che abbiamo effettuato è che non tutti i risultati ottenuti sono uguali, anche se nella maggioranza dei casi essi differiscono di poco. Questo è dovuto al fatto che ogni misura fisica deriva da un'interazione fra l'osservatore e l'oggetto mediata dallo strumento di misura. Ogni interazione di questo tipo è soggetta a degli errori. Questi errori fanno sì che non esista il concetto di valore corretto della larghezza del banco.
Nonostante ciò possiamo comunque dare la migliore stima della larghezza del banco che coincide con il valore medio delle singole misure. Il valor medio viene definito come la somma di tutte le misure effettuate divisa per il numero totale delle misure. Nel nostro caso particolare:
(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) / 6 cm = 62.8 cm.
Come si vede dalla formula precedente tutte le misure effettuate, senza alcuna esclusione, contribuiscono in ugual misura al valor medio della larghezza del banco. Nella prossima sezione analizzeremo invece un po' meglio il concetto di errore associato a una misura.
STRUMENTI DI MISURA
Gli strumenti di misura sono dei dispositivi che consentono di confrontare un fenomeno con le unità di misura che lo caratterizzano.
Tale confronto che prende il nome di misurazione ha come risultato un numero che esprime il rapporto tra la grandezza che si è misurata e l’unità di misura campione.
Esistono diversi tipi di strumenti di misura ed una stessa grandezza fisica può spesso essere misurata mediante tipi diversi di strumenti, caratteristiche comuni di tutti gli strumenti di misura sono:
Portata, Sensibilità, Risoluzione, Ripetibilità, Rapidità, Precisone.
La portata o fondoscala dello strumento è il massimo valore della grandezza che lo strumento è in grado di misurare. Ad esempio, nel caso di un metro a nastro, la portata è data dalla lunghezza del metro stesso.
Stabilire la portata di alcuni strumenti può essere più difficile: ad esempio, nel caso della bilancia a stadera rappresentata a fianco, la massa più grande che lo strumento può misurare dipende dal più grande dei “pesi” con il quale eseguire il confronto. In ogni caso, la sua portata è determinata dalla massima escursione angolare che il suo giogo permette ed è espressa in gradi.
Alcuni strumenti hanno diverse portate che possono essere selezionate dall’utilizzatore in modo da raggiungere la più grande risoluzione in relazione al valore della grandezza che dobbiamo misurare.
La sensibilità è espressa dalla più piccola grandezza necessaria a causare uno spostamento apprezzabile della scala dello strumento. Perciò la sensibilità esprime il limite inferiore del campo di misurazione dello strumento, mentre la portata ne è il limite superiore. La sensibilità è rappresentata, nel caso di un regolo metrico, dalla suddivisione (valori tipici sono 0.5mm, 1mm, 2mm), mentre nel caso della bilancia la sensibilità è rappresentata dalla più piccola massa sufficiente a causare una variazione apprezzabile dell’angolo del giogo. Il caso della bilancia è particolarmente istruttivo per chiarire come la sensibilità di uno strumento possa variare in differenti condizioni sperimentali; infatti, essendo il giogo soggetto ad attriti, accade che aggiungendo masse (o pesi) maggiori sui piattelli della bilancia sia necessaria una massa più grande per causare una variazione dell’angolo d’inclinazione del giogo.
La risoluzione è la più piccola variazione della grandezza che lo strumento è in grado di apprezzare. Per gli strumenti a scala la risoluzione coincide con la suddivisione della stessa, in alcuni casi la scala può essere suddivisa in maniera non lineare (ad esempio gli ohmmetri hanno scala logaritmica) allora la risoluzione varia nel campo di misura. Per gli strumenti digitali la risoluzione e data dall’ultima cifra visualizzata. Sensibilità e risoluzione coincidono numericamente negli strumenti che presentano un’unica portata ed hanno una scala che partendo da zero è suddivisa in intervalli regolari.
La ripetibilità indica la capacità dello strumento di restituire una stessa misura di una grandezza nelle condizioni sperimentali indicate dal suo costruttore.
La rapidità è data dal tempo necessario allo strumento per fornire il risultato di una misura. Quando la misurazione richiede il raggiungimento dell’equilibrio meccanico o termodinamico dello strumento con il sistema soggetto a misurazione, è il caso ad esempio di un dinamometro a molla o di un termometro a colonnina di Hg, il risultato della misura è asintoticamente approssimato nel tempo, allora la rapidità dello strumento è definita come il tempo necessario allo strumento per restituire un valore pari al 63.2% di quello infine misurato.
La precisione è data dall’errore relativo con il quale si è ottenuta la misura. La precisione è quindi data dal rapporto tra la risoluzione e la grandezza misurata, spesso essa è indicata in termini percentuali.
Nel seguito verranno chiariti questi concetti in relazione agli strumenti che verranno presentati:
Il calibro centesimale, il micrometro (o Palmer), l’oscilloscopio ed il multimetro digitale.
Il calibro
Il calibro e' uno strumento che permette di misurare lunghezze al massimo di una ventina di centimetri con una sensibilita' migliore del decimo di mm. Lo strumento è costituito da una parte fissa e da una parte mobile, con le quali e' possibile stringere un oggetto per effettuare misure di dimensioni esterne, invece per mezzo delle due punte affilate che si trovano in posizione opposta alle ganasce è possibile effettuare misure di dimensioni interne, le misure di profondità possono essere effettuate sfruttando l’asta che fuoriesce dalla sua base. Sulla parte fissa c'e' una scala metrica con divisioni di 1 mm, mentre sulla parte mobile c'e' un'altra piccola scala, detta nonio che permette di aumentare la sensibilita' di lettura fino a 1/20 mm. La tecnica di lettura e' descritta nella figura.
Nel caso illustrato in figura, la portata dello strumento è di 175mm, la risoluzione e la sensibilità coincidono, le precisioni delle due misure sono rispettivamente di (0.05mm/4.00mm*100)% 1.3% e (0.05mm/4.45mm*100)% 1.1%.
Il micrometro di Palmer
Un altro strumento, usato per misurare spessori con la sensibilta' di 1/100 mm, e' il micrometro di Palmer. La sua portata e' solitamente di 25 mm: da 0 a 25 mm, oppure da 25 a 50 mm, ecc. Fino ad un massimo di 100 mm. L'elevata sensibilita' di lettura si ottiene misurando l'angolo di rotazione di una vite che, avanzando o retrocedendo, comanda la chiusura o l'apertura delle sue ganasce. La figura mostra l'aspetto di questo strumento ed il modo in cui si esegue la lettura.
Come abbiamo detto nella precedente sezione ogni misura fisica è associata ad un errore. Gli errori che commettiamo nelle nostre misure possono essere ridotti al minimo scegliendo in maniera opportuna gli strumenti di misura oppure operando con criterio. Gli errori però non possono mai essere del tutto eliminati.
Ci sono due categorie principali di errori che si possono commettere in una misura:
Incertezza nelle misure:
Ad ogni misura è sempre associata un incertezza, cioè una misura non sarà mai esatta al 100%, ci sarà sempre un errore. Gli errori di misura si suddividono in due tipologie:
Per scrivere il risultato di una misura riporteremo prima di tutto l'esito (che coincide con il valor medio nel caso di misure ripetute), poi il simbolo ± seguito dall'errore ea e dall'unità di misura):
RISULTATO DI UNA MISURA = (ESITO ± ea) · UNITÀ DI MISURA.
Ad esempio se la misura della larghezza del tavolo fornisce come risultato (62.8 ± 0.9) cm vuol dire che la larghezza del tavolo è compresa tra (62.8 - 0.9) cm e (62.8 + 0.9) cm, ossia tra 61.9 cm e 63.7 cm.
(Valore misura ± incertezza) ∙ unità di misura
L’incertezza viene chiamata anche errore assoluto della misura.
Si possono verificare due casi:
Caso 1
Si è effettuata una sola misura della grandezza fisica, oppure una serie di misure con il medesimo valore, allora il suo errore assoluto è rappresentato dalla sensibilità dello strumento.
Valore misura = valore misurato
Incertezza = errore assoluto = sensibilità dello strumento
Es.: misuro la lunghezza di un foglio di carta con un righello di sensibilità 1mm, trovo un valore di 17,5 cm.
Il valore della misura sarà scritto come: (17,5±0,1)∙cm
Caso 2
Vengono effettuate una serie di misure di una medesima grandezza fisica, si avranno una serie di valori tutti diversi fra di loro. Per ottenere il valore della misura si fa una media aritmetica delle misure rilevate. L’errore assoluto, invece, viene determinato considerando la differenza fra il valore max delle misure e il valore minimo, diviso 2. L’intervallo di misura attorno al valore medio rappresenta l’incertezza della misura rilevata, chiamato anche semidispersione massima.
Riassumendo il risultato di una misura si scrive:
Valore misura = valore medio delle misure = (somma di tutti i valori misurati) / (numero delle misure)
Incertezza = errore assoluto = (valore max – valore min) / 2
Es.: si è effettuata la misura ripetuta del tempo che impiega una pallina da tennis a toccare terra da un’altezza di 2m. Si sono effettuate 5 misure: 1,56 s; 1,61 s;1,58s; 1,62s; 1,57s.
Valore misura = Vm= (1,56+1,61+1,58+1,62+1,57)s / 5 = 1,588 s= 1,59s
Errore assoluto = ea = (1,62-1,56)s / 2 = 0,06s
Il valore della misura sarà quindi scritto: (1,59±0,06)∙s
La precisione di una misura viene invece stimata con l’errore relativo o percentuale.
Esso è dato dal rapporto dell’errore assoluto con il valore della misura.
Errore relativo = errore assoluto / valore misura
Quanto minore sarà l’errore relativo tanto maggiore sarà la precisione della misura.
Es: un auto è pesata con una bilancia con sensibilità pari a 1 Kg, il peso dell’auto è di 1000 Kg
Della pasta invece è pesata con una bilancia da casa con sensibilità pari a 10 g e il peso della pasta è di 500 g. Quale delle due misure è più precisa?
Bisogna considerare gli errori relativi.er1= 1kg / 1000 kg per l’auto e .er2=10g / 500g (= 1/50) per la pasta, da qui concludiamo che la misura dell’auto è più precisa di quella della pasta, .er1.< er2.
Infine abbiamo: errore relativo percentuale = errore relativo x 100.
Nelle precedenti sezioni abbiamo visto che, nel caso di misure ripetute, la migliore stima per l'esito di una misura è dato dal suo valore medio. In generale, il risultato della divisione, che ci consente di calcolare il valor medio delle misure, può essere costituito da parecchie cifre. In questa sezione vogliamo chiarire quante di queste cifre sono significative per la misura di una grandezza fisica.
Il punto di partenza è sempre costituito dall'analisi dell'errore. Abbiamo detto che l'errore nel caso di misure ripetute è dato dalla semidispersione. Come abbiamo visto nella precedente sezione, anche la semidispersione è il risultato di un'operazione matematica: come regola generale andremo sempre ad arrotondare la semidispersione a una sola cifra significativa. Pertanto se la semidispersione o, più in generale, l'errore in una misura contiene più di una cifra significativa è necessario arrotondare l'errore a una cifra significativa. L'arrotondamento dell'unica cifra significativa viene fatto:
Ad esempio 1.3 e 2.4 vengono arrotondati rispettivamente a 1 e a 2. Viceversa 3.8 e 8.5 vengono arrotondati a 4 e a 9.
Una volta arrotondato l'errore a una cifra significativa, si procede ad arrotondare l'esito della misura in modo tale che la posizione dell'ultima cifra significativa coincida con la posizione dell'unica cifra significativa dell'errore. Le regole per arrotondare l'esito della misura sono quelle appena viste per l'errore: si arrotonderà per eccesso se la prima cifra non significativa è compresa tra 5 e 9, si arrotonderà per difetto se invece la prima cifra non significativa è compresa tra 0 e 4. Ad esempio se la semidispersione nella misura della larghezza del banco vale 9 mm e la media delle larghezze fornisce 628.38 mm allora tale media andrà approssimata per difetto a 628 mm, ossia x = (628 ± 9) mm. Se invece la media delle larghezze è 628.72 mm allora l'arrotondamento dovrà essere fatto per eccesso e la misura fornirà x = (629 ± 9) mm.
Vogliamo ora fare alcune precisazioni: prima di tutto è importante sottolineare come in fisica le cifre significative vengano contate sempre a partire dalla prima cifra diversa da 0. In altre parole i numeri 3, 0.2, 0.04 e 0.009 contengono tutti un'unica cifra significativa. La seconda precisazione invece riguarda gli zeri finali. Supponiamo di aver ottenuto 199.6 mm in una misura di lunghezza effettuata con il normale metro a nastro avente una sensibilità pari a 1 mm. In questo caso particolare, la misura va arrotondata a 3 cifre significative e fornisce (200 ± 1) mm. Dovrebbe essere chiaro da quanto abbiamo detto finora che i due 0 che compongono il numero 200 sono cifre significative a tutti gli effetti. Tali 0 hanno infatti un significato fisico ben preciso: ci dicono che sia i centimetri che i millimetri sono stati misurati e hanno fornito 0 come risultato.
Supponiamo ora di voler usare come unità di misura per la larghezza del banco il micron (μm) anziché il millimetro (mm). Se un millimetro è pari a un millesimo di metro, un micron è pari a un milionesimo di metro. Pertanto 1 mm = 1000 μm. Di conseguenza la larghezza del banco verrà ad essere uguale a (628000 ± 9000) μm. Quante sono le cifre significative in questo caso? Le cifre significative rimangono 3 nel caso della misura e una nel caso dell'errore. In questo caso infatti i tre 0 presenti sia nella misura che nell'errore sono solo una conseguenza della conversione di unità di misura ma non sono cifre significative. Dal momento che abbiamo misurato la larghezza del banco con il metro a nastro l'unica cifra significativa rimane quella dei millimetri. Per eliminare gli zeri non significativi andremo ad introdurre nella prossima sezione il concetto di notazione scientifica.
Come abbiamo anticipato nella precedente sezione, in fisica è molto comodo utilizzare la cosiddetta notazione scientifica. Un prerequisito importante per poter utilizzare bene la notazione scientifica è quello di conoscere le potenze positive e negative del 10:
Come emerge dalla precedente tabella, nel caso di potenze positive il numero che sta ad esponente ci dice quanti sono gli 0 presenti dopo l'1 iniziale; ad esempio 103 equivale a 1000 in cui l'1 iniziale è seguito da tre 0 consecutivi. Nelle potenze negative, invece, il numero che sta ad esponente conta il numero degli 0 presenti alla sinistra della prima cifra significativa. Ricordiamo invece che un numero elevato alla 0 è uguale a 1 per preservare le proprietà delle potenze. Infatti 10x : 10x = 100 ma ogni numero diviso per se stesso è anche uguale ad 1.
In generale, un numero è scritto in notazione scientifica quando è il prodotto di un numero compreso tra 1 e 10, moltiplicato per un'opportuna potenza di 10. Come esempio possiamo scrivere i 628000 μm della sezione precedente in notazione scientifica. Avremo:
628000 μm = 6.28 · 105 μm.
Quando i numeri sono espressi in notazione scientifica è immediato contare il numero di cifre significative presenti. Nell'esempio citato sopra, una volta trascritto il numero in notazione scientifica, sono scomparsi i tre 0 spuri e pertanto le cifre significative sono le tre cifre che compongono il numero che va a moltiplicare la potenza di 10, vale a dire 6.28.
Un altro vantaggio della notazione scientifica risiede nella facilità con cui si possono eseguire operazioni che coinvolgono numeri molto grandi oppure molto piccoli, che compaiono spesso in fisica, soprattutto quando ci forziamo ad usare sempre le unità del Sistema Internazionale. Ad esempio, la distanza tra la Terra e il Sole, espressa in metri, è pari a 1.5 · 1011 m. La potenza di 10 che compare in un numero scritto in notazione scientifica prende anche il nome di ordine di grandezza. Ad esempio possiamo dire che l'ordine di grandezza della distanza Terra-Sole è pari a 1011 m.
Prima di concludere questa sezione, andiamo a ripassare alcune regole importanti per eseguire operazioni tra numeri in notazione scientifica. Per moltiplicare due numeri scritti in notazione scientifica useremo la proprietà commutativa della moltiplicazione e il fatto che il prodotto di due potenze aventi ugual base è uguale a una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Ad esempio: 3 · 104 · 2 · 105 = 6 · 109. Analogamente nelle divisioni useremo la regola che il rapporto tra due potenze aventi stessa base fornisce una potenza di ugual base avente per esponente la differenza degli esponenti: (3 · 104) : (2 · 105) = 3/2 · 104-5 = 1.5 · 10-1.
Se vogliamo invece sommare o sottrarre due numeri in notazione scientifica è fondamentale fare in modo che i due numeri abbiano lo stesso ordine di grandezza prima di usare la proprietà distributiva per andare a effettuare la somma. Ad esempio:
3.7 · 104 + 4.85 · 103 = 3.7 · 104 + 0.485 · 104 = (3.7 + 0.485) · 104 = 4.185 · 104.
Infine, per quel che riguarda le potenze dobbiamo ricordarci che per elevare a un certo esponente una potenza dobbiamo mantenere inalterata la base e andare a moltiplicare gli esponenti:
(5 · 103)2 = 52 · 103·2 = 25 · 106 = 2.5 · 107.
L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 che più si avvicina a quel numero.
Es.: la distanza Bologna-Milano è 210 km = 2,1x102 km
In questo caso l’ordine di grandezza è 102 km = 100 km oppure si dice grandezza di ordine 2
la distanza Bari-Milano è 880 km = 8,8x102 km
In questo caso l’ordine di grandezza è 103 km = 1000 km oppure si dice grandezza di ordine 3
Questo perché 880 è più vicino a 1000 che non a 100.
Spesso in fisica le misure non vengono effettuate per confronto diretto con un campione di riferimento (misure dirette) ma utilizzando una formula matematica. Ad esempio, se volessimo misurare il semiperimetro o l'area del banco dovremmo per prima cosa misurare la base b e l'altezza a del banco per poi ricavarci il semiperimetro p o l'area A usando le formule p = a + b e A = a · b. Queste misure, ottenute tramite una formula o un'equazione matematica, prendono il nome di misure indirette.
È chiaro che sia la misura della base b che quella dell'altezza a sono soggette ad errori che indicheremo con δb e δa rispettivamente. La domanda alla quale vogliamo rispondere in questa sezione è: quale errore commettiamo nella misura indiretta del semiperimetro o dell'area?
In generale valgono le seguenti regole:
Le regole trovate sopra possono essere motivate come segue:
In generale possiamo dire che gli errori nelle misure si propagano quando usiamo i risultati delle misure dirette (come la lunghezza e la larghezza del banco) per calcolarci misure indirette come possono essere l'area o il semiperimetro del banco stesso. Ci piace sottolineare anche l'importanza dell'errore relativo in una misura. Esso ci dà un'indicazione quantitativa sul grado di precisione di una misura. È chiaro infatti che lo stesso errore assoluto, ad esempio 1 mm, commesso nella misura del diametro di un anello o nella distanza Terra-Sole corrisponde a gradi di precisione notevolmente diversi: l'errore relativo nella prima misura è infatti molto più piccolo, ossia la misura del diametro dell'anello è molto più precisa di quella della distanza Terra-Sole.
Raccolta di dati sperimentali: tabelle, grafici e formule.
Elemento fondamentale della fisica è la sperimentazione, un esperimento è la raccolta di una serie di dati, che sono rappresentati da misure di grandezze fisiche. I dati vengono raccolti in tabelle, essa è costituita da un intestazione in cui si riportano le grandezze fisiche coinvolte e le rispettive unità di misura.
Tempo (min) |
Temperatura (°C) |
1 |
5 |
2 |
10 |
4 |
15 |
6 |
20 |
8 |
25 |
10 |
30 |
12 |
35 |
14 |
40 |
16 |
45 |
La gran parte degli esperimenti serve a mettere in relazione due grandezze fisiche, una è chiamata variabile indipendente, un’altra invece è chiamata variabile dipendente, ed entrambe sono misurate. Per rappresentare visivamente i dati raccolti in un esperimento, si costruisce un grafico. Un grafico è una rappresentazione visiva della relazione fra due grandezze fisiche. Esso è rappresentato da due assi associati alle grandezze fisiche della tabella, l’asse delle ascisse per la variabile indipendente e l’asse delle ordinate per la variabile dipendente. Su ogni asse viene indicato il nome della grandezza fisica e la rispettiva unità di misura, dopodichè si fissa un opportuna scala. Una scala deve avere una unità (o sensibilità) e una dimensione massima (o portata), la scala deve essere fissata in modo opportuno a rendere ben visibili i dati raccolti. I dati raccolti in tabella riportati sul grafico sono rappresentati da un insieme di punti.
Legame formule - grafici
Un altro modo per costruire un grafico è quello di partire da una formula, in questo caso il grafico corrispondente non sarà più costituito da un insieme di punti, ma da una curva continua.
Per costruire un grafico partendo da una formula si passa sempre per una tabella:
Una delle relazioni più importanti per la fisica è la proporzionalità diretta:
due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali se: quando x raddoppia y raddoppia, quando x triplica y triplica, e così via. Es.:
Vediamo questa importante relazione per la formula del perimetro di un quadrato:
Il rapporto fra il perimetro e la lunghezza è una costante p/l = 4 che è possibile misurare dal grafico.
In generale per due grandezze x e y direttamente proporzionali valgono le seguenti proprietà:
Esempio massa e volume di uno stesso materiale sono direttamente proporzionali e la costante è la densità del materiale.
La dipendenza lineare, invece, differisce dalla proporzionalità diretta per il fatto che la retta non passa per l’origine e la relazione è data da: y = k∙x+q con k e q costanti.
Un’altra relazione è la proporzionalità inversa:
due grandezze x e y si dicono inversamente proporzionali se: quando x raddoppia y diventa la metà, quando x triplica y diventa 1/3, e così via. Es.:
Vediamo questa importante relazione per la formula dell’area di un rettangolo A=b∙h, ricaviamo la formula che dà la base in funzione dell’altezza: b = A/h con area nota e costante pari a 12.
Il prodotto fra l’altezza e la base una costante b∙h = 12.
In generale per due grandezze x e y inversamente proporzionali valgono le seguenti proprietà:
Ultima delle relazioni che studieremo è la proporzionalità quadratica:
due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali al quadrato se: quando x raddoppia y diventa quattro volte più grande, quando x triplica y diventa nove volte più grande, e così via. Es.:
L’area di un quadrato è direttamente proporzionale al quadrato del lato: A = l2
Il rapporto fra l’area e il quadrato del lato è una costante ed è sempre uguale ad 1 A/l2 = 1.
In generale per due grandezze x e y direttamente proporzionali al quadrato valgono le seguenti proprietà:
Fonte: http://www.fisica.uniud.it/~santi/didattica/Misura.doc
Sito web da visitare: http://www.fisica.uniud.it
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