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UN PÒ DI STORIA
Vite di Archimede
L’interesse per la meccanica dei fluidi risale alle primissime applicazioni ingegneristiche delle proprietà dei fluidi e alla necessità di realizzare delle macchine adibite a varie funzioni. Archimede (287-212 a.C.) fornì probabilmente il primo contributo in questo campo con l’invenzione della pompa a vite. Altre macchine idrauliche vennero in seguito costruite dai romani che, non solo adottarono la vite di Archimede per l’irrigazione e per l’estrazione dell’acqua dai pozzi, ma costruirono nuovi sistemi idraulici, alcuni dei quali sono tuttora in uso. Nel corso del I secolo a.C. l’architetto e ingegnere romano Vitruvio introdusse la ruota idraulica, una macchina che rivoluzionò il sistema di macinazione del granturco.
Gli ulteriori sviluppi in questo campo furono ritardati dal fatto che, nonostante le numerose precoci applicazioni della fluidodinamica, poco o nulla si sapeva allora dei suoi principi teorici fondamentali. Dopo il contributo di Archimede, dovettero passare più di 1800 anni prima che venisse compiuto un significativo progresso. Ciò avvenne per merito di Evangelista Torricelli (1608-1647), il quale nel 1643 inventò il barometro e formulò un’importante legge tuttora nota con il suo nome. |
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I successivi progressi della meccanica dei fluidi si ebbero per opera di due matematici svizzeri Daniel Bernoulli (1700-1782) e Leonhard Euler (1707-1783). Il primo scrisse nel 1738 il trattato “Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii”, nel quale risolse molti problemi concreti di dinamica dei fluidi e dimostrò una famosa legge di conservazione che porta il suo nome. Eulero nel 1755, applicando allo studio dei fluidi i tre principi della dinamica enunciati da Isaac Newton, scrisse le equazioni fondamentali per il moto di fluidi ideali, cioè non viscosi. Eulero per primo riconobbe, inoltre, che l’unica possibilità di enunciare leggi relativamente semplici per la dinamica dei fluidi fosse quella di limitare lo studio ai fluidi incomprimibili e ideali, ossia di trascurare gli effetti dell’attrito interno. |
Naturalmente, essendo i fluidi ideali mere approssimazioni dei fluidi reali, i risultati dell’analisi di Eulero possono essere considerati solo una stima approssimata del comportamento di fluidi reali caratterizzati da bassi valori di viscosità. I primi esperimenti sul moto a bassa velocità di fluidi viscosi furono condotti nel 1839 dal fisiologo Jean-Lèonard-Marie Poiseuille (1799-1869), interessato a determinare le proprietà della circolazione del sangue, e nel 1840 dall’ingegnere idraulico tedesco Gotthilf-Heinrich-Ludwig Hagen (1797-1884). I primi tentativi di includere gli effetti della viscosità nelle equazioni matematiche del moto dei fluidi si devono invece all’ingegnere francese Claude-Louis-Marie Navier (1785-1836), e al matematico britannico George Gabriel Stokes (1819-1903) il quale, nel 1845 formulò le equazioni fondamentali per i fluidi viscosi incomprimibili.
Nella nostra trattazione ci occuperemo di trattare principalmente:
Ritenendo già acquisito il concetto di fluido, per comprendere bene la natura di alcune semplificazioni che faremo, bisogna introdurre qualche cenno sulle caratteristiche generali del moto dei fluidi.
Abbiamo visto che il punto di vista euleriano studia il moto di un fluido valutando variabili come pressione, densità e velocità nel volume di controllo. Il legame di queste variabili con il tempo comporta la distinzione in:
Si può definire il moto di un fluido a seconda delle caratteristiche assunte dalla velocità angolare degli elementi costituenti il fluido stesso:
Ad esempio, una piccola ruota a palette immersa in un fluido in moto ruota solo se il flusso è rotazionale, altrimenti trasla senza ruotare.
È importante notare che l’irrotazionalità del moto non dipende dalla traiettoria della particella di fluido. Un particolare elemento di fluido può muoversi, infatti, su una traiettoria circolare ma il moto può essere lo stesso irrotazionale
Allo stesso modo, una particella di fluido può seguire una traiettoria rettilinea pur avendo un moto rotazionale
Se il moto è stazionario la velocità v in ogni punto è costante nel tempo, cioè ogni particella che transita per un qualsiasi punto P lo fa sempre con la stessa velocità in modulo, direzione e verso. Lo stesso vale per i punti Q ed R, perciò se tracciamo il percorso di una particella, questo sarà anche il percorso di ogni altra particella che arriva in P. La curva che descrive il moto della particella si chiama linea di flusso ed è tangente alla velocità della particella in ogni suo punto
Le linee di flusso possono essere evidenziate nell’acqua che scorre in un condotto iniettando in vari punti del condotto piccole quantità di liquido colorato oppure mettendo dei corpi leggeri come segatura o sferette di plastica.
Nel moto stazionario le linee di flusso non si incrociano mai in quanto, se lo facessero, una particella che arriva al punto di incrocio potrebbe proseguire lungo una linea o l’altra, quindi in uno stesso punto potrebbe avere differenti valori di velocità, contrariamente all’ipotesi stessa di stazionarietà. È possibile quindi dire che per il moto stazionario esiste una sola linea di flusso per ogni punto del fluido e che l’insieme delle linee di flusso è fisso nel tempo.
Prendendo un fascio di linee di flusso otteniamo una superficie tubolare detta tubo di flusso
Per semplicità d’ora in avanti faremo coincidere il tubo di flusso con il condotto reale entro il quale scorre il fluido.
Si consideri una porzione di un generico tubo di flusso (Figura 9). Siano A1, ρ1 e v1 la sezione, la densità e la velocità del fluido all’estremità 1 e A2, ρ2 e v2 quelle all’estremità 2. Nell’intervallo di tempo Δt sarà passato un volume di fluido 
, attraverso la sezione 1 e 
attraverso la sezione 2.
Poiché le pareti del tubo sono rigide e impermeabili al fluido e non vi sono all’interno ne sorgenti ne pozzi dove il fluido possa essere creato o distrutto, la massa di fluido che attraversa la sezione A1 nell’intervallo Δt con velocità v1 deve essere uguale alla massa che attraversa la sezione A2 nello stesso intervallo Δt con velocità v2, cioè Δm1 = Δm2.
Esprimendo la massa come prodotto della densità e del volume, 
, ed eliminando il fattore comune Δt si avrà:
.
Per l’incomprimibilità del fluido ρ1 = ρ2, quindi
A1v1=A2v2.
Poiché questo discorso può essere fatto per due sezioni qualsiasi, sarà:
Av = costante
Questa equazione è detta equazione di continuità.
Una immediata interpretazione è che la variazione della velocità nel tubo di flusso è inversamente proporzionale alla sua sezione. Applicata ad un tubo di flusso, questa relazione ci consente di interpretare ulteriormente la rappresentazione con linee di flusso del moto di un fluido. Tali linee si addensano dove il tubo è stretto e si diradano ove il tubo è largo. Dunque la distanza tra le linee di flusso è piccola laddove la velocità del fluido è grande e viceversa.
Il prodotto Av, che misura un flusso di volume, permette di introdurre una grandezza molto usata in fluidodinamica: la portata.
Si definisce portata in massa il rapporto tra la massa di fluido che attraversa una sezione e l’intervallo di tempo impiegato,
Nel Sistema Internazionale si misura in kg/s.
Analogamente, si definisce portata in volume il rapporto tra il volume di fluido che attraversa una sezione e l’intervallo di tempo impiegato:
Nel Sistema Internazionale si misura in m3/s.
Il concetto di portata in volume ci consente di scrivere l’equazione di continuità nella forma:
.
Applicazione
Una tipica applicazione dell’equazione di continuità si osserva in un getto d’acqua che fuoriesce da un rubinetto. La sua velocità cresce man mano che il getto cade: poiché la portata deve essere la stessa in tutte le sezioni, lungo la caduta il getto si deve assottigliare
In alcuni tipi di fontane avviene esattamente il contrario. Lo zampillo che sale verso l’alto perde man mano velocità, per cui, ancora per l’equazione di continuità la sezione del getto aumenta.
Uno scultore sta lavorando ad un balenottero da porre al centro di una fontana. Dalla bocca della statua fuoriuscirà il getto d’acqua della fontana. Lungo il corpo del balenottero verrà immesso un tubo di sezione A=3.14 cm2 nel quale confluirà l'acqua alla velocità di v=90.0 cm/s.
Si vuole dimensionare la sezione del tubo in prossimità della bocca del balenottero in modo che il getto d’acqua uscente dovrà raggiungere un punto della fontana distante d=60.0 cm e che si trova ad un'altezza di h=120.0 cm al di sotto della bocca stessa. Che diametro D dovrà dare a questa lo scultore?
Soluzione
L’acqua uscirà formando un tubo di flusso con traiettoria parabolica per la quale valgono le seguenti relazioni note dalla meccanica classica:
Ora, applicando l'equazione di continuità, si ricava la nuova sezione A' in funzione di A, v, v'
ovvero: A’= 2,33 cm2 
D=1,7 cm
L’equazione di Bernoulli è di fondamentale importanza nella dinamica dei fluidi. Come tutte le equazioni della meccanica dei fluidi essa non costituisce un nuovo principio, ma è derivabile come conseguenza delle leggi della meccanica newtoniana. Risulta comodo ricavarla dal teorema dell’energia cinetica, poiché essenzialmente essa rappresenta la formulazione del teorema della conservazione dell’energia nel caso del moto di un fluido.
Consideriamo ancora un fluido ideale (cioè incomprimibile e non viscoso) che scorre di moto stazionario in un tubo di sezione e quota variabile.
La porzione di tubo rappresentata in figura ha, nella sua prima parte una sezione A1 costante e orizzontale, e si trova a un’altezza y1 rispetto ad un livello di riferimento. Il tubo poi gradualmente si restringe e si innalza sinchè infine, sulla destra vi è di nuovo una parte orizzontale a sezione A2 costante e ad un altezza y2. Concentriamo la nostra attenzione sulle porzioni di fluido che in figura sono ombreggiate. Queste porzioni di fluido costituiscono il nostro sistema e ne vogliamo studiare il moto che lo fa passare dalla configurazione disegnata in (a) a quella in (b). Il disegno rappresenta l’effetto risultante dallo scorrimento del fluido nel condotto ovvero il sollevamento della quantità Δm di fluido ombreggiata. Dall’ipotesi di incomprimibilità segue che il volume entrante è uguale a quello uscente e quindi tale quantità resta invariata.
Il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul sistema uguaglia la variazione di energia cinetica del sistema stesso:
La variazione di energia cinetica del sistema è:
Se le forze agenti sul sistema sono le forze di pressione F1 ed F2 agenti rispettivamente agli estremi sinistro e destro del fluido e la forza di gravità FP, il lavoro totale compiuto da queste forze è :
La variazione di energia potenziale è:
quindi il lavoro compiuto dal campo gravitazionale è:
Il fluido a sinistra dell’imboccatura del tubo che precede la massa Δm eserciterà su essa una forza di modulo F1 = p1A1, dove p1 è la pressione nel punto 1.
Questa forza compirà un lavoro positivo
Con un ragionamento analogo, alla fine del tubo, a destra della massa Δm considerata, il fluido che segue compirà su di essa un lavoro negativo
dove p2 è la pressione nel punto 2 esercitata in verso contrario al moto del fluido.
Il lavoro totale compiuto da queste forze è :
Dal teorema dell’energia cinetica, uguagliando le due espressioni ottenute, dividendo per ΔV e raccogliendo al primo membro le grandezze relative al punto 1 ed al secondo membro quelle relative al punto 2, si ottiene l’espressione:
Poiché i due punti sono stati presi a caso nel condotto è possibile ripetere questo ragionamento per qualsiasi coppia di punti e quindi concludere che
= costante
Questa relazione è detta equazione di Bernoulli, e i termini che la compongono sono, dimensionalmente, delle pressioni:
, che sarebbe presente anche se non vi fosse moto, si chiama pressione statica; 
si chiama pressione dinamica. Dividendo per ρg, si ha:
= costante
I tre termini a primo membro hanno le dimensioni di una lunghezza e vengono dette
, altezza piezometrica: è l’altezza che il fluido raggiungerebbe sotto l’azione della pressione p; 
, altezza di arresto: è l’altezza che il fluido raggiungerebbe se fosse lanciato verso l’alto con velocità v. L’equazione di Bernoulli è rigorosamente applicabile solo a moti stazionari poiché le grandezze che intervengono devono venir valutate lungo una stessa linea di flusso: la costante che compare nell’equazione non è in generale la stessa per tutte le linee di flusso. Se il flusso è irrotazionale si può dimostrare che la costante è la stessa per tutte le linee di flusso.
L’ipotesi di incomprimibilità ci ha permesso di trascurare nei calcoli l’energia interna del fluido, poiché essa non varia; l’ipotesi di non viscosità ha permesso di trascurare gli attriti interni del fluido.
Si può verificare come le leggi della statica siano un caso particolare di quelle della dinamica e si ottengono ponendo nelle equazioni v = 0. In particolare ricaviamo di seguito la legge di Stevino e la legge di Torricelli.
Applichiamo l’equazione di Bernoulli a due punti qualsiasi di un recipiente contenente un fluido in quiete. I punti O e P hanno rispettivamente altezze y1 e y2 e velocità v1 = v2 = 0.
Allora:
da cui :
che è una delle forme in cui possiamo scrivere la legge di Stevino.
Da un foro posto ad una distanza h dalla superficie superiore di un fluido contenuto in un serbatoio, il fluido esce con una velocità pari a quella che avrebbe se scendesse in caduta libera per un tratto h.
Ciò si dimostra applicando l’equazione di Bernoulli ai punti a e b della Figura 14. Supponendo che il diametro del foro sia molto minore di quello del serbatoio, è possibile trascurare la velocità dell’acqua in superficie, ovvero nel punto a. L’equazione di Bernoulli diventa
Essendo sia a che b in comunicazione con l’atmosfera, pa e pb saranno uguali e pari alla pressione atmosferica, quindi risolvendo rispetto vb
= 2gh, da cui 
che è appunto la velocità che assumerebbe il fluido se cadesse da a a b nel campo gravitazionale.
Se la velocità di un fluido aumenta, la pressione diminuisce. Questo fenomeno è detto effetto Venturi. Esso si dimostra applicando l’equazione di continuità e l’equazione di Bernoulli ad un tubo con una strozzatura orizzontale come in fig. 16.
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Essendo entrambe le sezioni alla stessa quota l’equazione di Bernoulli non contiene il termine rgy e si riduce a: |
Tenendo presente che per il flusso di un fluido vale anche l’equazione di continuità, essendo costante il prodotto Av, si avrà che ad una diminuzione della sezione A corrisponde un aumento della velocità v e, poiché la somma dei termini nell’equazione sopra deve anch’essa rimanere costante, una diminuzione della pressione nella zona a sezione ridotta del tubo.
Un esempio si trova nello spruzzatore di profumi: con una pompetta in A ed il flaconcino del profumo in B si spruzza attraverso C.
Il calo di pressione nel flusso di un fluido in corrispondenza di una diminuzione della sezione è rilevabile sperimentalmente attraverso un apparecchio detto venturimetro o tubo di Venturi; questa informazione ci permette anche di risalire alla velocità del fluido nel tubo.
Il venturimetro è in pratica un manometro differenziale che si immerge nel liquido del quale si vuole misurare la velocità di flusso. Il liquido in moto ha densità ρ e fluisce in un tubo di sezione A. Il tubo manometrico è inserito in modo che una delle due estremità sia in corrispondenza della strozzatura di sezione a.
Applicando l’equazione di Bernoulli ai punti 1 e 2 si trova
Se il condotto è orizzontale si possono trascurare i termini ρgy che tengono conto delle quote; inoltre, per l’equazione di continuità, nelle due sezioni del condotto varranno le seguenti relazioni
v1A = v2a
v2 = v1(A/a)
L’equazione di Bernoulli diventa allora
Se ρ’ è la densità del liquido manometrico (ad esempio mercurio), per la legge di Stevino sarà
p1 – p2=(ρ’-ρ)gh
Uguagliando le due espressioni si ottiene:
Nella figura è rappresentato un tubo di Pitot che è un dispositivo utilizzato per misurare la velocità v di flusso in un fluido e trova facile applicazione nella misura della velocità aerea.
La situazione che si presenta è questa: il fluido che scorre è aria, il liquido manometrico mercurio. Determinare la velocità del fluido quando la differenza di altezza del liquido manometrico è h=0.65 cm.
Per le densità usiamo: 
Soluzione
Nel tubo di Pitot il fluido fluisce in corrispondenza delle aperture in a
Tali aperture sono parallele alla direzione del flusso e abbastanza lontane dall’imboccatura del tubo, in modo che velocità e pressione del gas nelle loro vicinanze abbiano valori non perturbati dalla presenza del tubo stesso.
Applicando l’equazione di continuità nell’imboccatura del tubo e nel punto a, si trova che la velocità all’imboccatura si può considerare infinitamente piccola (al limite nulla); infatti, la sezione del tubo di flusso individuato dalle linee di flusso 1 e 2 è infinitamente grande rispetto a quella in a. Quindi, dall’equazione di continuità
Applichiamo adesso l’equazione di Bernoulli ai punti a e b, tenendo conto che il punto b è comunicante con l’imboccatura, pertanto la velocità in b è nulla
Se h è la differenza di altezza del liquido manometrico nei due rami e ρ’ la sua densità
Confrontando le due equazioni, si ricava per la velocità dell'aria l'espressione:
Sostituendo i relativi valori delle densità, dell'altezza e dell'accelerazione di gravità, si trova infine il valore cercato della velocità:
va= 1,16 m/s
È la forza che agisce su un corpo a causa del suo moto nel fluido. Questo è l’effetto che consente agli aerei di stare sospesi in aria in quanto fa nascere, grazie al particolare profilo delle ali, una forza che nel caso specifico viene chiamata portanza.
Per spiegare il fenomeno, ci poniamo in un sistema di riferimento solidale all’aereo, così è come se l’aria andasse incontro all’ala (schematizzata in fig. 19) da sinistra verso destra.
Il profilo alare con la sua particolare forma “a goccia” fa si che nascano due tubi di flusso, uno superiore e l’altro inferiore:
Risulta quindi una pressione più piccola sul dorso dell’ala rispetto al valore di pressione sul ventre e nasce così la spinta idrodinamica, indicata in rosso in fig. 20: il profilo viene così “risucchiato” verso l’alto!
Un fenomeno simile avviene per le eliche, in quanto esse vengono sagomate e disposte in modo che la spinta risulti diretta nel verso del moto. Le pale degli elicotteri, invece, sono disposte in modo che la spinta dinamica sia diretta verso l’alto, rendendo possibile il sostentamento del velivolo.
Un corpo con un moto di traslazione viene investito da una corrente d’aria che si muove in direzione opposta a quella del corpo stesso. Se il moto è puramente traslatorio le linee di corrente saranno ugualmente spaziate tra loro intorno al corpo (Figura 21a). Invece, un corpo in rotazione nell’aria, a causa dell’attrito, trascina con sé lo straterello d’aria con cui viene a contatto; quest’ultimo a sua volta trascina con sé lo straterello attiguo. Attorno al corpo rotante si formano così filetti d’aria che ruotano su circonferenze concentriche (Figura 21b).
 a |
b |
|
Se il corpo è dotato di moto sia rotatorio antiorario che traslatorio, la velocità relativa dell’aria aumenta a sinistra del corpo proprio per il trascinamento dell’aria attorno al corpo stesso; infatti, le velocità dei filetti in rotazione amplificano il moto della corrente dovuto alla traslazione se sono in verso concorde a quest’ultima, e fanno diminuire la velocità nella zona in cui i versi sono invece discordi (Figura 21c). Per l’equazione di Bernoulli a tale variazione di velocità corrisponde una variazione di pressione: la traiettoria del corpo verrà quindi curvata verso sinistra.
Una conseguenza dell’equazione di Bernoulli è il fenomeno che va sotto il nome di paradosso idrodinamico. Supponiamo di soffiare attraverso il tubo: si crea quindi una corrente fluida che a forte velocità investe tra i due dischi di sezione DD e CC (Fig. 22).
Contrariamente a quanto potremmo aspettarci il piatto CC non viene respinto dalla corrente fluida uscente dal tubo, ma viene attratto verso DD. Infatti, l’aria passa nel tubo con una certa velocità v0, maggiore della velocità del fluido in quiete esterno ai dischi. La pressione all’interno sarà quindi minore di quella esterna e causa l’avvicinamento dei due dischi.
Fonte: http://www.lemur.it/Sissis/FondFisica1/TesineXesame/Fluidodinamica/Fluidodinamica_SalvoDom_15.doc
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