Fisica incertezza di una misura

L’incertezza di una misura.

In laboratorio abbiamo verificato che quando si esegue la misura di una grandezza fisica, cioè una proprietà di un corpo che possiamo misurare, come il periodo T del pendolo, si ha un’incertezza nella determinazione del suo valore esatto nel senso che spesso le misure risultano diverse tra di loro. Ci domandiamo, tra i tanti valori del periodo misurati, qual è il valore esatto. Il fatto è che tale valore non potremo mai saperlo perché per quanto bravi e attenti saremo nell’eseguire la misura commetteremo sempre un piccolo errore.
E’ una regola generale: esistono sempre degli errori associati alle misurazioni. C'è un'eccezione: se la misurazione consiste nel contare grandezze discrete cioè costituite di elementi separati, come il numero degli studenti in un laboratorio, allora il numero può essere esatto.
E’ importante osservare che quando si parla di errore non si intende riferirsi ad uno sbaglio. Il significato tecnico di errore è descritto meglio con il termine incertezza. In qualsiasi misura di variabili continue, cioè che possono assumere valori con continuità, come la lunghezza, la massa, il tempo e così via, è inevitabile che ci sia incertezza nella determinazione del loro valore esatto.
La miglior cosa che è possibile fare è fornire un particolare valore della misura, detto valore più attendibile o probabile Xp, con la garanzia che il valore  "vero" sia quello stesso numero, più o meno una certa quantità, chiamata errore assoluto DX. Allora, il risultato dell'esperimento dovrà essere espresso in una delle seguenti forme equivalenti:

Si distinguono due tipi di errori: gli errori sistematici e gli errori casuali.

• Gli errori sistematici più comuni sono quelli dovuti al cattivo funzionamento della strumentazione utilizzata. Tali errori influiscono sul risultato di una misura sempre in un medesimo senso e portano o a misure in difetto o a misure in eccesso rispetto a quelle che si avrebbero in loro assenza. Se, ad esempio, un cronometro ritarda (va indietro) l'intervallo di tempo che si misura risulterà più breve di quanto esso non sia in realtà, la misura del tempo sarà allora errata per difetto. Gli errori sistematici una volta individuata la causa che li hanno provocati possono essere eliminati.
• Gli errori casuali (detti anche accidentali) sono quelli dovuti all'operatore ed alle condizioni sperimentali della particolare misura. Questi errori modificano casualmente il risultato della misura o in eccesso o in difetto. Tali fluttuazioni sono dovute all’impossibilità di riprodurre esattamente le stesse condizioni sperimentali in ciascuna operazione di misura. Esempi di tali errori commessi nell’esperimento del pendolo sono gli errori di start e stop con il cronometro, oppure la misura eseguita potrebbe essere stata falsata da una corrente d’aria che fa aumentare o diminuire tempo di un’oscillazione. Con l'utilizzo di strumenti più sofisticati e con una maggior attenzione dello sperimentatore è possibile rendere gli errori casuali piccoli ma, a differenza di quelli sistematici, non si possono eliminare del tutto.

 

Le regole generali da adottare sono pertanto:

• Se eseguo una sola misura.

 

• Il valore più attendibile è ovviamente l’unico valore misurato
• L’errore assoluto è la sensibilità (incertezza) dello strumento dove per sensibilità si intende la più piccola variazione della grandezza che lo strumento è in grado di apprezzare.

Ad esempio, nella misura della lunghezza di una penna con un righello millimetrato la sensibilità del righello è di 0.1 cm. Pertanto, se ho ottenuto che la sua lunghezza della penna è di 11.5 cm la sua misura dovrò comunicarla in uno dei seguenti modi equivalenti che precisano l’intervallo entro cui cade la grandezza misurata:
L = 11.5 cm ± 0.1cm
L = (11.5 ± 0.1) cm
11.4 cm<L<11.6 cm

• Se eseguo un buon numero di misure

 

• Il valore più attendibile è il valore medio
• Una stima immediata, anche se piuttosto grossolana dell’errore assoluto è la semidispersione cioè la metà della differenza tra il valore più grande e quello più piccolo.

Da notare che prima della determinazione della semidispersione si deve fare una valutazione dei valori delle misure ricavate per eventualmente eliminare dalle misure concordanti quelle che si discostano notevolmente dalle altre, ad esempio, perché ottenute da una svista nell’eseguire le misure (errori grossolani).

Quando ho un gran numero di misure è utile utilizzare gli strumenti matematici e le definizioni che ci mette a disposizione la statistica, come i seguenti

def 1. La frequenza assoluta f è il numero di volte  che un valore o una classe di valori compare nelle misure effettuate.

E' ovvio che la somma di tutte le frequenze assolute corrisponde al numero complessivo delle misure eseguite.

def 2. La frequenza relativa fr è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale delle osservazioni.

Se il valore xk è stato misurato nk volte, la corrispondente frequenza relativa è frk=nk/N (che coincide con la probabilità P(xk) quando N è molto grande). Ovviamente la somma di tutte le frequenze relative vale 1.

Spesso si suddivide il campo di variazione delle misure  in un numero di intervalli di ampiezza costante Di e si raggruppano in classi di valori le misure ottenute che cadono in uno stesso intervallo. L’esito di questa operazione si rappresenta con un istogramma della distribuzione delle misure, cioè con dei rettangoli di base uguale alla larghezza dell'intervallo e di altezza uguale alla frequenza delle misure che cadono in quell'intervallo (Fig.1).

Fig.1 Istogramma delle misure del periodo di un pendolo per N=50.

 

I risultati delle misure non saranno distribuiti casualmente ma si collocheranno intorno a quello che “ragionevolmente” è il valore vero, o meglio, valore più probabile. La forma dell'istogramma suggerisce che tale valore è il valore medio o media di tutte le  N misure definita da:

Se voglio una stima più accurata dell’errore assoluto dovrò tener conto degli scarti delle singole misure definiti come:

e definire l’errore nel seguente modo, chiamato deviazione standard:

 

Errore relativo e percentuale

 

Nella pratica è più significativo, per poter stabilire la bontà o accuratezza di una misura, il concetto di errore relativo Er e di errore percentuale E%, invece che di quello assoluto DX (m,dX,s ), definiti come:

Da notare che, mentre l'errore assoluto ha la stessa unità di misura della grandezza misurata, l'errore relativo è adimensionale. E’ evidente che una misura è tanto più accurata quando più piccolo è l’errore relativo e percentuale. Se in una misura l’errore è dovuto solo alla lettura dello strumento, l’accuratezza cresce all’aumentare del valore della misura, perché l’errore assoluto resta invariato.

 

Propagazione dell’errore

• Se due misure vengono sommate o sottratte l’errore assoluto complessivo è la somma degli errori assoluti delle singole misure.

 

Es. Calcoliamo la differenza tra le seguenti misure di massa:

Il valore della differenza è uguale alla differenza dei valori:
L’errore sulla differenza è uguale alla somma degli errori presenti nelle due misure assegnate:

In definitiva la misura della differenza è:  

• Se due misure vengono moltiplicate o divise tra loro l’errore relativo complessivo è la somma degli errori relativi sulle singole misure.

 

Es. Calcolare l’area del rettangolo con i lati di lunghezza rispettivamente:

L’area è. 

Con un errore relativo 

e un errore assoluto  

In definitiva, la misura dell’area è: