Campo di induzione magnetica all’ interno di un solenoide.

Ci proponiamo di calcolare il campo di induzione magnetica all’ interno di un solenoide, mettendo in evidenza le differenze che si riscontrano valutando i dati sperimentali e quelli teorici.
Infatti un solenoide ideale dovrebbe essere fatto da tante circonferenze , tanti anelli conduttori , molto fitti, senza spazi   tra essi. Per  realizzare tale solenoide occorrerebbero tanti generatori quanti sono le spire;
In pratica invece di realizzarlo in tal modo (risulterebbe sicuramente scomodo), si ottiene avvolgendo un filo su di un cilindro, ovvero si realizza facendo un filo a forma di spirale;
Se faccio il passo della spirale molto piccolo rispetto al diametro,posso considerare il tutto come un insieme di anelli conduttori circolari,ovvero come un solenoide ideale.

Determinazione del campo di induzione magnetica prodotto da un solenoide infinito.

Facciamo delle considerazioni sulla simmetria.
Se ruotiamo il solenoide su se stesso non c’e alcuna differenza , e se lo trasliamo verso l’ alto o verso il basso (essendo infinito) il problema resta identico a se stesso. Il campo di induzione magnetica B dipende solo dalla distanza r valutata dall’ asse del solenoide.Invece se proviamo a capovolgere il solenoide il problema cambia poiché cambia il verso di circolazione della corrente.Ciò posto applichiamo il teorema del flusso del vettore B attraverso una superficie chiusa. Tale superficie è un cilindro coassiale con il solenoide  di diametro r.(fig. 1)

Il flusso del vettore B rispetto alle basi del cilindro si annulla vicendevolmente in  quanto i versori delle basi sono discordi e il vettore B non varia con z.Quindi occorre calcolare solo il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro.Tale flusso sarà dato dalla sola componente radiale di B chiamiamola Br.Inoltre essendo il vettore Br sempre concorde o discorde alla normale uscente dalla superficie laterale , sicuramente il flusso sarà diverso da zero.
Ciò non è possibile , poiché sappiamo che il flusso del vettore B attraverso una superficie chiusa è sempre  nullo , quindi necessariamente Br  deve essere nullo.
Fatto ciò  applichiamo il teorema della circuitazione di  Ampere ad un circonferenza di raggio r passante per in punto P esterno al solenoide(Fig 2):

La corrente concatenata potrebbe sembrare non nulla: infatti se volessi portare via il solenoide, questo interseca la curva g. In realtà il solenoide reale è fatto da tanti anelli conduttori: pertanto posso far passare la curva g attraverso una spira e l’altra. Quindi la corrente concatenata risulta essere uguale a zero.Di conseguenza la componente Bt è anch’essa nulla: pertanto occorre calcolare l’unica componente rimasta Bz .
Applichiamo il teorema della circuitazione di Ampere ad un rettangolo stante nel piano che contiene l’asse del cilindro(Fig.3)

In tal caso la corrente concatenata è chiaramente nulla quindi la circuitazione deve essere nulla.
In particolare i tratti 1 e 2 sono percorsi in verso opposto e quindi i contributi si annullano vicendevolmente (B non dipende da z).
Quindi necessariamente il contributo di 3 e 4 si deve annullare, pertanto il campo vettoriale B deve essere uniforme (in ogni punto dello spazio esterno al solenoide abbiamo lo stesso valore di B).
Analogamente ripetendo lo stesso ragionamento all’interno del solenoide si ottiene che B risulta essere ancora uniforme.
Calcoliamo i valori di B sia all’interno che all’esterno:
-all’esterno:

considerando un punto molto distante dal solenoide, al limite all’infinito, dovrà essere il valore di B nullo.Pertanto essendo uniforme, in tutti i punti dello spazio esterno B è nullo.

-all’ interno:

Applichiamo il teorema della circuitazione di Ampere ad un rettangolo stante nel piano che contiene l’asse del cilindro, come in fig.4

    Ovvero è possibile scrivere

 essendo il campo di induzione magnetica nullo all’esterno del solenoide
Quindi occorre calcolare solo il contributo all’ interno del solenoide :

In particolare anche i primi due termini sono nulli , infatti i tratti AB e FE sono orizzontali ed quindi ortogonali alla componente Bz  ergo il prodotto scalare risulta essere nullo.Quindi in definitiva possiamo scrivere :

Essendo B uniforme si ha :

ove h è l’altezza del tratto AF. Qual è  il valore della corrente concatenata?
Se chiamo n il numero di spire per unità di lunghezza  ed h è la lunghezza del filo allora il numero di spire è nh;
Quindi se ogni spira è percorsa dalla corrente I il valore della corrente concatenata è nhI;
Pertanto si ha :

Inoltre il verso di Bz , essendo il secondo membro negativo (la corrente concatenata  è negativa) ,deve essere tale che anche il primo membro sia negativo , cioè deve essere opposto a quello ipotizzato nel calcolo della circuitazione.Pertanto il vettore B è rivolto verso l’ alto.

Calcolo del campo di induzione magnetica all’interno di un solenoide di lunghezza finita

 

Il campo di induzione magnetica si calcola sommando i campi generati dalle singole spire che costituiscono il solenoide.
Consideriamo un punto P sull’asse del solenoide a distanza x dall’origine e valutiamo il campo  generato in P da una fettina di solenoide di spessore dx situato a distanza x dall’origine.(Fig.5)

Se n è il numero di spire per unità di lunghezza, il numero di spire contenute nella fettina di spessore dx sarà ndx ed il campo nel punto P, che dista dalla fettina considerata ( x- x ), sarà:

il campo  totale si ottiene integrando sulla variabile x, al suo variare tra il valore 0 e il valore l.
Per sviluppare questa integrazione è preferibile introdurre la variabile angolare q per la quale valgono tali relazioni :

Quindi in termini della variabile angolare q  , il contributo al campo sull’ asse per mezzo della fettina di solenoide di spessore dx diventa :

 

Il campo :

 

DESCRIZIONE DELL’ESPERIMENTO E DATI SPERIMENTALI

Come premesso nella introduzione teorica la realizzazione di un solenoide ideale è, dal punto di vista pratico, sicuramente scomoda ragion per cui nell’esperimento in laboratorio il solenoide è stato realizzato avvolgendo un filo conduttore a forma di spirale attorno ad un cilindro.
Il raggio del solenoide in questione, costituito da 122 spire, è pari a 12 cm mentre l’altezza è pari a 40,5 cm.
Come strumenti di rilevamento dei dati abbiamo avuto a disposizione un multimetro digitale usato come amperometro ed un milliteslametro collegato ad una sonda Hall assiale.Il primo è intervenuto nella regolazione dell’intensità di corrente circolante nel solenoide secondo le esigenze del caso mentre il secondo è servito per rilevare il campo di induzione magnetica B. In particolare la sonda di cui sopra , è servita per calcolare la componente BZ  del campo di induzione magnetica. A proposito di tale sonda va detto che si presenta essenzialmente come un’asta graduata di circa 20 cm di lunghezza di cui la sola estremità è in grado di rilevare il campo magnetico nel punto dello spazio in cui essa si trova.
Le osservazioni sperimentali sono state articolate in modo da focalizzare in due momenti distinti altrettanti aspetti del problema in esame.
Inizialmente abbiamo rilevato il campo di induzione magnetica nel centro del solenoide per diversi valori dell’intensità di corrente.In particolare la sequenza dei valori dati successivamente all’intensità di corrente è stata impostata con un passo di circa 0,2 ampere fino ad arrivare ad un valore finale di 2 ampere (andare oltre tale valore non è stato possibile per non compromettere il solenoide: infatti in una tale situazione si sarebbe determinato l’effetto joule).
Nella tabella seguente è dettagliata la successione dei rilevamenti effettuati:

 

I [A]	0,221	0,415	0,609	0,800	1,083	1,221	1,401	1,605	1,815	2,007
B [mT]	0,08	0,15	0.22	0.29	0.39	0.44	0.50	0.57	0.65	0.72

 

In un secondo momento abbiamo ritenuto interessante rilevare il campo di induzione magnetica lungo l’asse z del solenoide: a tale scopo, fissato il valore dell’intensità di corrente ( in particolare posto uguale a 1 ampere ) e partendo dal centro del solenoide, abbiamo stabilito di eseguire successive misurazioni mediante un passo pari a 1 cm.
Nella tabella seguente è dettagliata la successione dei rilevamenti effettuati:

h [cm]	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
B[mT]	.37	.37	.37	.36	.36	.36	.36	.35	.35	.34	.34	.34	.33	.33	.32	.30	.29	.27	.25	.22	.19	.13

   

ANALISI DEI DATI

 

Con riferimento alla prima serie di rilevamenti occorre ribadire il fatto che, da un punto di vista teorico, il campo di induzione magnetica all’interno di un solenoide infinito è uniforme e vale:

dove n è il numero di spire per unità di lunghezze e ; in riferimento ai valori di I assegnati nell’osservazione sperimentale tale formula restituisce valori che possono essere diagrammati come segue:

 

E’ possibile osservare che , avendo calcolato il campo di induzione magnetica al centro del solenoide ove si risente poco dell’ effetto di bordo, i valori sperimentali si discostano non molto da quelli teorici , soprattutto per valori di intensità di corrente bassi.Invece è confortante vedere che il calcolo teorico ma fatto per un solenoide di lunghezza finita fornisce valori di B pressoché identici a quelli sperimentali. Riportiamo in tabella tali valori:

valori sperimentali	valori reali	valori teorici
0,08	0,08017	0,083615486
0,15	0,150546	0,157015506
0,22	0,220922	0,230415526
0,29	0,29021	0,302680494
0,39	0,392871	0,409753719
0,44	0,442932	0,461966104
0,5	0,508229	0,530069215
0,57	0,582233	0,607252741
0,65	0,658413	0,68670637
0,72	0,728063	0,759349689

Avendo parlato di effetto  di bordo nella seconda parte dell’esperimento abbiamo valutato il campo B al variare dell’ altezza ; anche in tal caso possiamo diagrammare i valori sperimentali e quelli teorici :

 

Si evince che al centro del solenoide i valori teorici sono molto simili a quelli sperimentali mentre man mano che ci allontaniamo dal centro gli effetti di bordo sono molto rilevanti.
In particolare possiamo osservare che alla fine del solenoide (20 cm) si ha un differenza tra dati teorici e sperimentali di circa il 50 %.