Concetti di Reti Lineari

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Concetti di Reti Lineari

LEZIONI DI ELETTRONICA

Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale

PREMESSA

L’analisi dei sistemi elettrici lineari, in regime sinusoidale, consente di determinare il funzionamento di tali sistemi qualunque siano le caratteristiche del segnale applicato.

Motivazione :

un qualunque segnale può essere espresso come somma di infinite sinusoidi con particolari caratteristiche;
in base al principio di sovrapposizione degli effetti, l’effetto prodotto su un sistema lineare da un segnale di ingresso di qualsiasi forma è uguale alla somma degli effetti prodotti dalle armoniche che compongono il segnale.

Lo studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale è perciò utile per poter svolgere successivamente l’analisi in frequenza dei quadripoli, argomento essenziale per affrontare le tematiche relative alle telecomunicazioni.

È pertanto necessario comprendere bene i concetti introdotti in questa U.D. e il relativo simbolismo di rappresentazione.

Prerequisiti

Come vedremo in questa Unità Didattica, lo studio dei sistemi elettrici in regime sinusoidale viene effettuato col metodo vettoriale, che consente di applicare alle reti elettriche in regime sinusoidale le leggi e i principi dell’elettrotecnica validi per i circuiti elettrici in continua.

Per affrontare questa Unità Didattica è pertanto necessario conoscere e saper applicare :

il calcolo vettoriale in coordinate polari e rettangolari (numeri complessi);
le leggi e i principi fondamentali dell’elettrotecnica.

Obiettivi

Alla fine di questa Unità Didattica occorre:

conoscere come si rappresentano le tensioni e le correnti sinusoidali mediante vettori;
sapere quali sono e come si determinano le relazioni vettoriali tensione-corrente nei circuiti resistivi, induttivi, capacitivi;
saper analizzare in regime sinusoidale reti elettriche costituite da alcuni elementi circuitali in serie e parallelo ed in particolare quelle necessarie per comprendere successivamente il funzionamento dei filtri del primo ordine a vuoto e a carico e il circuiti risonanti;
saper tracciare e analizzare i diagrammi vettoriali che consentono di visualizzare graficamente le relazioni tra le varie tensioni e correnti di un circuito elettrico;
saper determinare la potenza assorbita da un circuito e quella dissipata dai suoi componenti.

1. RELAZIONI TENSIONE-CORRENTE NEL DOMINIO DEL TEMPO

i(t)
Tensione applicata :

v(t)
v(t) = VM sen wt V(t) = VM ewt : vettore ruotante che genera la sinusoide

RESISTORE

i(t) = v(t) / R = VM/ R sen wt Þ i(t) = IM sen wt Þ I(t) = IM ejwt

Caratteristiche della corrente

funzione sinusoidale con :

pulsazione uguale a quella della tensione
fase uguale a quella della tensione
ampiezza indipendente dalla frequenza : IM = VM/ R

CONDENSATORE

i(t) = C dv(t) / dt = wCVM cos wt Þ i(t) = IM sen (wt + p/2) Þ I(t) = IM ejp/2 ejwt

Caratteristiche della corrente

funzione sinusoidale con :

pulsazione uguale a quella della tensione
fase : in anticipo di p/2 radianti
ampiezza proporzionale alla frequenza : IM = wCVM

INDUTTORE

i(t) = 1/L ò v(t) dt = - VM/wL cos wt Þ i(t) = IM sen (wt - p/2) Þ I(t) = IM e-jp/2 ejwt

Caratteristiche della corrente

funzione sinusoidale con :

pulsazione uguale a quella della tensione
fase : in ritardo di p/2 radianti
ampiezza inversamente proporzionale alla frequenza : IM = VM / wL

ESERCIZIO

Disegnare nei tre casi :

le correnti i(t), correlate con v(t)
i vettori ruotanti associati a v(t) e i(t) nell’istante t = 0

In tutti i casi la corrente ha la stessa pulsazione (e quindi la stessa frequenza) della tensione.

Di conesuenza :

In regime sinusoidale, in una qualsiasi rete elettrica di tipi R-C-L, tutte le correnti e le tensioni presenti nel sistema sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione.

Tutti i vettori ruotanti associati alle grandezze sinusoidali presenti nel circuito hanno la stessa velocità angolare e perciò mantengono tra loro la stessa distanza angolare presente nell’istante iniziale (t = 0).

Per questi motivi l’analisi dei circuiti in regime sinusoidale si può effettuare col metodo vettoriale, considerando vettori fissi, anziché vettori ruotanti.

2. RELAZIONI VETTORIALI TENSIONE-CORRENTE

Resistore Þ I = V / R Þ V = R I

Condensatore Þ I = j wCV Þ V = I / j wC = - j 1/wC I Þ V = - j XC I

Induttore Þ I = V / j wL Þ V = j wL I Þ V = j XL I

Come si può notare le tre relazioni sono analoghe e sono riconducibili all’espressione Þ V = Z I

dove Z è un numero complesso che nel primo caso ha solo la parte reale,
mentre negli altri due casi ha solo la parte immaginaria.

R resistenza

XC = 1/wC reattanza capacitiva L’effetto prodotto da una reattanza capacitiva
XL = wL reattanza induttiva è opposto a quello prodotto da una reattanza induttiva

Z impedenza

L’impedenza di un bipolo passivo è il rapporto vettoriale tra la tensione applicata e la corrente assorbita dal bipolo ed è espressa da un numero complesso, in cui la parte reale rappresenta la componente resistiva, mentre la parte immaginaria rappresenta la componente reattiva.

L’impedenza di un bipolo passivo si calcola applicando le stesse regole viste in continua :

impedenze in serie : Zs = Z1 + Z2

impedenze in parallelo : 1/ Zp = 1/Z1 + 1/Z2

Alcuni esempi :

resistore in serie con un condensatore Þ Z = R - jXC
resistore in serie con un induttore Þ Z = R + jXL
condensatore in serie con un induttore Þ Z = j (XL - XC )
resistore in parallelo con un condensatore Þ Z = R . jXC / (R - jXC )
condensatore in parallelo con un induttore Þ Z = XL XC / j(XL - XC )

3. METODO per svolgere l’analisi vettoriale dei circuiti R, C, L in regime sinusoidale

Si calcolano le reattanze presenti nel circuito

tenendo conto della frequenza del segnale applicato

Si sostituiscono i condensatori e le induttanze

con le rispettive reattanze

Si esprime la tensione sinusoidale applicata in forma vettoriale

vi(t) Vi = Vi ji

Applicando i principi dell’elettrotecnica
e usando il calcolo vettoriale
si determinano le altre correnti e tensioni dei sistema
in forma vettoriale

Se necessario si tracciano
i diagrammi vettoriali
per visualizzare in forma grafica le relazioni tra le varie grandezze

Si esprimono nel dominio del tempo
le tensioni e le correnti che si ritiene utile avere in questa forma.

Vo = Vo jo vo(t)

Io = Io ao io(t)

Esempio

vi = VM sen wt Vi = VM Ð0°

XL = wL XC = 1/wC

ZT = R + jXL – jXC = R + j (wL – 1/wC )

I = Vi / ZT

VR = R I VL = jXL I VC = -jXC I

Vi = VR + VL + VC

ESERCIZI

Con vi = 5 sen 103 t determinare tutte le correnti e le tensioni dei seguenti circuiti e tracciare i rispettivi diagrammi vettoriali.

Resistore di 1 KW in serie con condensatore di 1 MF
Condensatore di 1 MF in parallelo con induttore di 2 Henry
Resistenza di 2 KW in serie col parallelo precedente
Resistenza di 10 KW in parallelo con condensatore di 100 nF
Resistenza di 5 KW in serie col parallelo precedente.
Resistenza di 5 KW in serie con condensatore di 100 nF in serie con induttore di 10 Henry.

4. POTENZA ELETTRICA IN REGIME SINUSOIDALE

In regime sinusoidale solo le resistenze dissipano potenza sotto forma di calore, mentre le capacità e le induttanze scambiano potenza, ma non la dissipano.

La potenza dissipata dai componenti resistivi di un circuito prende il nome di potenza attiva e si indica con P.

La potenza media scambiata dai condensatori e dagli induttori prende il nome di potenza reattiva e si indica con Q.

La potenza scambiata da condensatori e induttori sono di segno opposto : si considera positiva quella dell’induttore e negativa l’altra.

Il valore efficace di una tensione v(t) o di una corrente i(t) è il valore della corrispondente grandezza continua che, applicata allo stesso circuito, determina una potenza attiva pari a quella prodotta dalla grandezza variabile.

Si può dimostrare che, in regime sinusoidale, il valore efficace di una grandezza elettrica è pari al valore massimo fratto radice di due.

Potenza attiva dissipata da una resistenza Þ PR = R Ieff 2 = R IM2 / 2

Potenza reattiva scambiata da un condensatore Þ QC = - XC Ieff 2 = - XC IM2 / 2

Potenza reattiva scambiata da un induttore Þ QL = XL Ieff 2 = XL IM2 / 2

dove Ieff è il valore efficace della corrente che attraversa rispettivamente il resistore, il condensatore, l’induttore.

Fonte: http://www.itisravenna.gov.it/corso/informatica/mat-didattico/elettronica/corso_elettronica_%20telecomunicazioni/lez02analisi%20%20dicircuitiin%20regime%20sinusoidale.doc

Sito web da visitare: http://www.itisravenna.gov.it

Autore del testo: Eros Rambelli

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