Elettronica ed Elettrotecnica scuole

 

 

 

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Elettronica ed Elettrotecnica scuole

Reti elettriche in corrente continua e corrente alternata

Introduzione, bipoli fondamentali
Ancor prima di passare in rassegna le grandezze fisiche e le leggi che caratterizzano i sistemi elettrici, cerchiamo di capire il significato di circuito elettrico facendo riferimento ad un caso semplice. Consideriamo una "torcia elettrica", essa contiene un circuito elettrico che comprende alcuni dei fondamentali dispositivi che costituiscono i sistemi elettrici. Più precisamente troviamo:

1. un generatore elettrico, nella fattispecie una pila chimica;
2. un utilizzatore (detto anche carico), nella fattispecie una lampada ad incandescenza;
3. un dispositivo di comando, nella fattispecie un interruttore;
4. dei fili di materiale metallico conduttore (rame) per il collegamento elettrico dei dispositivi.

Il sistema elettrico appena descritto si può riassumere con un circuito equivalente che ne rappresenta il modello:

Con Vo è indicato il generatore (più precisamente la sua forza elettromotrice), con K è indicato l'interruttore e con Lp è indicata la lampada ad incandescenza. I conduttori di collegamento sono rappresentati mediante delle linee continue e senza alcuna indicazione letterale, questo perché nella trattazione semplice che stiamo facendo li supponiamo ideali (ovvero capaci di condurre la corrente elettrica senza che questa incontri alcuna resistenza al suo avanzamento). Quando l'interruttore è aperto (come in figura) il circuito è interrotto e si dice che il sistema è a riposo. Quando l'interruttore è chiuso si dice che il sistema è attivo ed è questa la condizione che ci interessa discutere. Il generatore separa al suo interno la carica elettrica positiva da quella negativa, concentrando la prima sul suo polo positivo e la seconda sul suo polo negativo. Siccome le cariche di uguale segno tendono naturalmente a respingersi, il generatore è obbligato a compiere un lavoro e quindi necessita di energia (nel nostro caso energia chimica, che col trascorrere del tempo tenderà ovviamente ad esaurirsi), a lavoro compiuto (cioè a cariche separate) tale energia si sarà tramutata in energia potenziale elettrica posseduta dalle cariche accumulate ai poli. Le cariche accumulate sui poli tenderanno a ricombinarsi attraverso il circuito esterno al generatore visto che l'interruttore è chiuso, quindi considerando che il conduttore metallico permette il solo passaggio degli elettroni (cariche negative), avremo un flusso ordinato di cariche negative (elettroni) che circoleranno in senso antiorario nel circuito costituendo così la corrente elettrica. E' tuttavia bene introdurre fin da ora una importante convenzione adottata nei sistemi elettrici: la corrente elettrica è definita come un flusso ordinato di carica elettrica positiva, quindi, anche se in realtà a spostarsi sono gli elettroni (carica negativa), si ragionerà sempre e soltanto sulla carica positiva. Allo scopo basta applicare un piccolo artificio che consiste nel considerare, invece del flusso di elettroni, un flusso uguale ma opposto di carica elettrica positiva. Adottando tale convenzione diremo che la carica accumulata sul polo positivo del generatore circola in senso orario nel circuito per ricombinarsi con la carica negativa che si trova sul polo opposto e così facendo sostiene la corrente elettrica I. La carica elettrica attraverserà l'utilizzatore Lp e nell'attraversamento perderà l'energia elettrica potenziale che si trasformerà in altra forma, nel nostro caso in calore che porterà all'incandescenza il filamento della lampadina determinando quindi l'emissione di radiazione luminosa. Una volta che la carica positiva avrà raggiunto, grazie al circuito esterno, il polo negativo del generatore, il generatore stesso provvederà a ricondurla al polo positivo fornendole nuova energia potenziale elettrica e consumando nel compiere tale lavoro una parte dell'energia chimica posseduta. Quanto descritto continuerà nel tempo fin tanto che non verrà riaperto l'interruttore oppure fin tanto che non si sarà esaurita l'energia chimica posseduta dal generatore (pila chimica). Vi è una stretta relazione tra la quantità di carica elettrica che si muove nel circuito, la forza elettromotrice del generatore ed il lavoro compiuto (sia quello speso nel generatore che quello utile eseguito nell'utilizzatore), più precisamente la forza elettromotrice del generatore rappresenta il lavoro che può compiere un coulomb di carica elettrica separata sui suoi poli.
Quanto finora esposto ha inteso descrivere sommariamente l'organizzazione e lo scopo di un semplice circuito elettrico, quanto seguirà permetterà di analizzare anche quantitativamente il comportamento di circuiti comunque complessi.
Con rete elettrica si intende un qualsiasi circuito, comunque complesso, formato da generatori (nei quali l'energia di qualsiasi forma viene trasformata in elettrica) ed utilizzatori (nei quali l'energia elettrica viene trasformata in altra forma).
Nei circuiti elettrici si distinguono i nodi e le maglie. Per nodo si intende ogni punto in cui concorrono almeno tre lati o rami indipendenti, mentre una maglia è un circuito chiuso che si ottiene partendo da un nodo della rete e ritornando allo stesso dopo aver percorso i rami della maglia una sola volta in un senso arbitrario prefissato.
Una rete elettrica si dice lineare se è costituita soltanto da componenti lineari. Sono tali quei componenti i cui parametri caratteristici non dipendono dai valori di tensione e corrente che li interessano.
Una rete elettrica si dice invariante se i suoi componenti hanno parametri caratteristici costanti nel tempo.
Una rete elettrica si dice funzionante a regime (o in condizioni stazionarie) se si trova nel tempo sufficientemente lontana rispetto all'istante nel quale si sia applicata ad essa l'ultima sollecitazione, ovvero se si è esaurito qualsiasi fenomeno transitorio.
Noi studieremo reti elettriche comprendenti i seguenti cinque componenti bipolari:

regolati dalle seguenti note leggi:
generatore ideale di tensione:
v(t) = vo(t) [V]
generatore ideale di corrente:
i(t) = io(t) [A]
resistore ideale:
v(t) = R · i(t) [V] , R [W] è la resistenza elettrica
condensatore ideale:

induttore ideale:

dove con dv , di , dt si intendono variazioni infinitesime ( od almeno talmente piccole da poterle ritenere infinitesimali) della tensione, della corrente e del tempo, mentre con v(t) , i(t) si intendono i valori istantanei della tensione e della corrente.
I parametri dei componenti passivi sono rispettivamente R (resistenza), C (capacità), L (induttanza) invarianti nel tempo.
I parametri dei componenti attivi (generatori) sono la forza elettromotrice vo(t) per il generatore ideale di tensione, la corrente impressa io(t) per il generatore ideale di corrente. Nelle reti che noi considereremo, la forza elettromotrice e la corrente impressa potranno essere soltanto o costanti nel tempo (reti in corrente continua) o variabili sinusoidalmente nel tempo (reti in corrente alternata).
Lo studio delle reti elettriche che noi condurremo, oltre a rispondere ai requisiti sopra esposti, presuppone che le reti medesime siano del tipo a parametri concentrati, ovvero si dovranno considerare i valori di resistenza, capacità ed induttanza concentrati in punti particolari della rete ed interconnessi mediante conduttori ideali.
Lo studio delle reti è importantissimo sia in ambito elettronico che elettrotecnico, per quest'ultimo tipo di applicazioni, in particolare, esso permette l'analisi dei modelli dei sistemi di distribuzione dell'energia elettrica e dei modelli delle macchine elettriche.

Principali grandezze elettriche
Carica elettrica : è la quantità di elettricità positiva o negativa di un corpo, essa è sempre un multiplo intero della carica elementare (quanto elementare pari alla carica di un elettrone). L'unità di misura della quantità di carica elettrica è il coulomb. 1 [C] è, a meno del segno, la carica posseduta da 6,242·1018 elettroni. Nello studio delle reti che noi faremo, trascureremo la natura corpuscolare della carica elettrica ed immagineremo che tale grandezza fisica vari con continuità.
Intensità di corrente : è il rapporto tra la quantità di carica elettrica che attraversa la sezione di un conduttore ed il tempo impiegato per tale attraversamento. Se il tempo impiegato ha valore finito si parla di intensità media:
[A]
se il tempo impiegato ha valore infinitesimo si parla di intensità istantanea:
[A]
Si dice che l'intensità di corrente vale 1 [A] se nel tempo di 1 [s] la sezione del conduttore è attraversata da 1 [C] di carica elettrica.
Per convenzione, si assume quale verso di riferimento della corrente quello relativo al movimento di carica positiva, anche se nella maggior parte dei conduttori le cariche libere il cui flusso costituisce corrente sono elettroni (cariche negative).
Corrente impressa : è l'intensità di corrente che un generatore ideale di corrente imprime nel ramo ove esso si trova inserito.
Differenza di potenziale (tensione elettrica) : si intende sempre valutata tra due punti, ad esempio A e B , si indica con VAB [V] ed è espressa dal rapporto tra il lavoro W [J] necessario per trasferire la carica positiva Q [C] dal punto A al punto B e la carica stessa:
[V]
Si considera positiva se, nel passare da A a B, la carica positiva compie lavoro cedendo all'esterno parte della propria energia potenziale elettrica che si trasformerà in altra forma, si considera negativa se è dall'esterno che si deve compiere lavoro aumentando così l'energia potenziale elettrica della carica. L'unità di misura della differenza di potenziale è il volt. Si dice che tra due punti vi è la d.d.p. di 1 [V] se lo spostamento di 1 [C] di carica tra essi comporta un lavoro di 1 [Joule].
Potenziale : si intende sempre valutato in un punto, ad esempio A , si indica con VA [V], e rappresenta la d.d.p. tra il punto considerato ed un punto di riferimento ( chiamato punto di massa ) al quale si assegna il valore nullo di potenziale. Il potenziale è legato alla differenza di potenziale dalla seguente relazione VAB = VA - VB [V].
Caduta di tensione : è la d.d.p. valutata ai capi di un utilizzatore o di un generico dispositivo passivo. Rappresenta il lavoro compiuto da un coulomb di carica elettrica che attraversi l'utilizzatore.
Forza elettromotrice : è la d.d.p. che un generatore ideale di tensione impone tra i due punti attraverso i quali esso è inserito nella rete. Rappresenta l'energia potenziale elettrica posseduta da un coulomb di carica elettrica separata e raccolta sui poli del generatore.
Potenza elettrica : è, in un certo istante t e con riferimento ad un bipolo di morsetti A e B , il prodotto tra i valori istantanei della corrente i(t) entrante nel morsetto A del bipolo e della tensione vAB(t) presente tra i capi A e B del bipolo:

Infatti al passaggio da A a B della quantità di carica dq [C] corrisponde un lavoro pari a:

Se tale passaggio avviene nel tempo dt [s] la potenza associata al lavoro vale:

Se il risultato del prodotto è positivo si ha che nel bipolo avviene una trasformazione da energia elettrica in altra forma, se il risultato è negativo avviene la trasformazione inversa.

Leggi e principi fondamentali
Legge di Ohm per i conduttori filiformi

La resistenza elettrica R [W] di un conduttore metallico filiforme dipende dalla natura del conduttore e dalle sue dimensioni secondo la relazione:
R = (r · l) / S [W]
con r in [W·mm2/m] , l in [m] , S in [mm2] , si ricorda che la resistività elettrica r dipende dalla temperatura.
La caduta di tensione ai capi di un utilizzatore dipende dalla resistenza dell'utilizzatore ed è direttamente proporzionale alla corrente che lo attraversa ( legge di Ohm ):
VAB = R · I [V] , VBA = - VAB = -R · I [V]
la corrente percorrendo l'utilizzatore determina la riduzione dell'energia potenziale posseduta dalla carica elettrica il cui flusso costituisce la corrente stessa, tale energia potenziale elettrica si trasforma in calore (o lavoro meccanico, o lavoro chimico secondo il tipo di utilizzatore) e viene così ceduta all'esterno del sistema "rete elettrica". Da tale fatto dipende la relazione tra il verso della corrente ed il verso della caduta di tensione ai capi dell'utilizzatore, i due versi sono ovviamente opposti.
Variazione della resistività elettrica con la temperatura
Se rt [W·mm2/m] e at [°C-1] sono la resistività elettrica ed il coefficiente di temperatura di un determinato conduttore alla temperatura t [°C] , la resistività elettrica alla temperatura T varrà:
rT = rt·(1 + at·(T-t)) [W·mm2/m]
Inoltre vale la relazione:

con H = 234,5 [°C] per il rame ed H = 230 [°C] per l'alluminio. T , t , RT , Rt sono due diverse temperature e le rispettive resistenze.
Legge di Ohm generalizzata applicata ad un circuito chiuso
Dato un circuito elettrico, tutto serie, composto di un'unica maglia e quindi interessato da un'unica corrente, la somma algebrica delle f.e.m. dei generatori presenti è uguale alla somma aritmetica delle c.d.t. nei vari utilizzatori :

dove le f.e.m. vanno prese positive se concordi col verso della corrente.
Vediamo un esempio riferito ad un circuito in corrente continua :

+V01 -V02 -V03 +V04 = R1·I + R2·I + R3·I + R4·I = I·( R1+ R2+ R3+ R4 )
Legge di Ohm generalizzata applicata ad un tronco di circuito
La d.d.p. ai capi di un tronco di circuito, anche costituito da più rami, è pari alla somma algebrica delle f.e.m. dei generatori e delle c.d.t. negli utilizzatori presenti lungo il tronco :

Le une e le altre devono essere prese positive se contribuiscono a rendere positiva l'estremità del tronco ( A ) assunta a potenziale maggiore.
Per quanto riguarda la c.d.t. negli utilizzatori, è bene ricordare che essa presenta la polarità positiva nel morsetto ove entra la corrente, negativa ove la corrente esce.
Vediamo un esempio riferito ad un circuito in corrente continua :

Se decidiamo di determinare VAB , significa che supponiamo VA > VB e quindi scriveremo:
VAB = -V01 + V02 + V03 + R1·I1 - R2·I2 + R3·I3 [V]
Primo principio di Kirchhoff
La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti dal nodo :

Il principio è valido pure per un nodo esteso, dove con nodo esteso si intende una porzione di rete elettrica delimitata da una sezione chiusa della rete medesima.
Vediamo un esempio riferito ad un circuito in corrente continua :

I1 + I4 = I2 + I3 + I5
Secondo principio di Kirchhoff
La somma algebrica di tutte le d.d.p. (f.e.m. e c.d.t.) che si incontrano percorrendo una qualsiasi maglia chiusa di una rete elettrica è pari a zero. Tale fatto risulta ovvio, infatti il punto di partenza coincide col punto di arrivo e, quindi, non vi può essere variazione di potenziale elettrico :

Per applicare tale legge conviene scegliere innanzitutto un verso positivo ( + ) di percorrenza della maglia e confrontare le varie d.d.p. con tale verso al fine di stabilire se i singoli contributi sono da considerarsi positivi o negativi (è bene tenere conto del fatto che le c.d.t. sulle resistenze hanno verso opposto alle correnti che le producono).
Vediamo un esempio riferito ad un circuito in corrente continua :

+ V01 + R1·I1 - V02 + R2·I2 - V03 - R3·I3 + V04 - R4·I4 = 0
Riduzione di resistenze in serie o parallelo
Più resistenze si dicono in serie quando sono percorse dalla stessa corrente, in tal caso la resistenza equivalente vale:
RS = R1 + R2 + R3 + ... [W]
Più resistenze si dicono in parallelo quando ai loro capi presentano la stessa tensione, in tal caso la resistenza equivalente vale:

Trasformazione triangolo - stella e viceversa
Con riferimento ad un circuito in corrente continua :


Trasformazione di generatori reali

I modelli di generatore elettrico si dicono reali se tengono conto delle dissipazioni di potenza e delle cadute di tensione che si hanno internamente ai generatori stessi, in tal caso il circuito equivalente presenta il parametro resistenza interna Ro. Con riferimento ai generatori reali di tensione e corrente continua si ha:

Osservazione : se in una rete elettrica è presente un generatore ideale di tensione, allora è nota la d.d.p. tra i due punti ai quali è applicato il generatore e tale d.d.p. è pari alla f.e.m. del generatore ideale di tensione. Se in una rete elettrica è presente un generatore ideale di corrente, allora è nota la corrente nel ramo in serie al quale è inserito il generatore e tale corrente è pari alla corrente impressa del generatore ideale di corrente.
Legge di Joule
Quando una resistenza elettrica è attraversata da una corrente accade che parte dell'energia elettrica potenziale posseduta dalla carica elettrica (il cui flusso costituisce la corrente stessa) si trasforma in calore (infatti il potenziale elettrico diminuisce mano a mano che la corrente attraversa la resistenza). La quantità di calore sviluppato si calcola moltiplicando la potenza elettrica per il tempo. Con riferimento ad un circuito in corrente continua (ma la cosa è analoga in corrente alternata) si ha:

Additività delle potenze elettriche
In una rete elettrica qualsiasi (purché non interconnessa con altre reti), la somma delle potenze generate dai generatori elettrici (calcolate come prodotto della f.e.m. per la corrente erogata) è sempre uguale alla somma delle potenze dissipate per effetto Joule nelle resistenze elettriche presenti nella rete.

Resistività e coefficienti di temperatura dei materiali più comuni: tabella

La tabella sottostante riporta la resistività elettrica ed il coefficiente di temperatura di alcuni materiali riferiti alla temperatura di 0 [°C]

Se servono la resistività ed il coefficiente di temperatura ad una temperatura t [°C] diversa da 0 [°C], si possono calcolare con le seguenti espressioni:

Risoluzione mediante i principi di Kirchhoff
In una rete elettrica, indicando con n il numero dei nodi, con m il numero delle maglie indipendenti e con r il numero dei rami, si ha sempre (r = n - 1 + m) . La risoluzione mediante i principi di Kirchhoff consiste nello scrivere un sistema di r equazioni in r incognite (le correnti nei rami). Le prime (n -1) equazioni consistono nel primo principio di Kirchhoff applicato ad (n -1) nodi, le rimanenti (r - n + 1) equazioni consistono nel secondo principio di Kirchhoff applicato a (r - n + 1) maglie indipendenti. Più maglie si dicono indipendenti se nessuna di loro è una combinazione lineare delle altre, ad esempio tutte le maglie topologicamente contigue e che non si comprendono l'una nell'altra sono sicuramente indipendenti.
Con riferimento alla rete in corrente continua riportata nella figura sottostante, si individuano quattro nodi, otto maglie delle quali tre sono indipendenti e sei rami. Quindi, dopo aver prefissato un arbitrario verso per la corrente in ciascuno dei sei rami e per l'orientamento di ciascuna maglia indipendente, scriveremo un sistema lineare di sei equazioni in sei incognite. Delle sei equazioni, tre saranno relative ai rami e tre alle maglie. Risolvendo il sistema si determineranno le intensità delle sei correnti. Se l'intensità è positiva si potrà dire che il verso prefissato è quello effettivo, diversamente il verso effettivo sarà opposto a quello prefissato.

Risoluzione mediante il metodo di Maxwell

Si assumono come incognite le correnti di circolazione delle maglie indipendenti che sono correnti fittizie e non rappresentano quelle che percorrono ciascun ramo della rete. Quindi, detto m il numero delle maglie indipendenti, si ha m = r - (n-1) e di conseguenza il numero delle incognite è minore di quello del metodo precedente. Il sistema risolvente si comporrà di tante equazioni, corrispondenti al secondo principio di Kirchhoff, quante sono le maglie indipendenti. Con questo metodo il primo principio di Kirchhoff risulta senz'altro verificato in quanto la corrente in ogni nodo si intende una volta entrante ed una volta uscente. La corrente in ogni ramo comune a due maglie contigue risulta la somma algebrica delle due correnti fittizie relative alle due maglie.

Applichiamo il metodo alla rete già risolta con Kirchhoff, assumendo quali correnti fittizie di maglia Im1 (maglia superiore di sinistra), Im2 (maglia superiore di destra), Im3 (maglia inferiore). I versi delle correnti di maglia sono stati scelti arbitrariamente. Si dovrà comporre un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite (le correnti fittizie di maglia) essendo tre il numero delle maglie indipendenti:

Risolvendo il sistema si determinano le tre correnti di maglia Im1 , Im2 , Im3. Per le correnti nei sei rami della rete bisogna, per prima cosa, prefissarne i versi. Supponendo che i versi siano quelli riportati nello schema elettrico, le correnti varranno:
I1 = -Im1 [A], I2 = -Im2 [A], I3 = +Im1-Im2 [A]
I4 = -Im3 [A], I5 = +Im1-Im3 [A], I6 = +Im2-Im3 [A]

Teorema del generatore equivalente di Thevenin
Risulta particolarmente adatto per determinare la corrente Ir che circola in un qualsiasi ramo (o la tensione Vr ai capi di esso) di una rete elettrica lineare comunque complessa. Considerata allora una rete elettrica lineare nella quale siano accessibili due morsetti P e Q qualsiasi, il teorema afferma che, per quanto riguarda il calcolo della corrente (o della tensione) relativa al ramo ad essi collegato, il resto della rete equivale ad un generatore reale di tensione avente f.e.m. Veq e resistenza interna Req :

Il generatore reale di tensione Veq , Req è chiamato generatore equivalente di Thevenin e la rete semplificata è chiamata rete equivalente di Thevenin.
La f.e.m. Veq del generatore equivalente è il valore della tensione a vuoto (cioè dopo aver distaccato il ramo interessato) esistente tra i morsetti P e Q.
La resistenza Req è quella della rete di partenza, resa passiva e priva del ramo interessato, vista dai morsetti P e Q. Per rendere passiva la rete di partenza bisogna annullarne i generatori, ovvero aprire i generatori ideali di corrente e cortocircuitare quelli di tensione.

E' importante osservare che la polarità positiva del generatore equivalente di Thevenin deve essere rivolta verso lo stesso morsetto del ramo interessato rispetto al quale si è assunta positiva la d.d.p. Veq quando questa è stata calcolata.

Teorema del generatore equivalente di Norton
E' il duale di quello di Thevenin, solo che il generatore reale equivalente, anziché di tensione, è di corrente. Esso viene chiamato generatore equivalente di Norton.

La sua resistenza interna Req si determina così come già visto per il generatore di Thevenin. La sua corrente impressa Ieq è quella corrente che, nella rete lineare di partenza, circolerebbe nel cortocircuito che unisce i punti P e Q .
E' importante osservare che il verso della corrente impressa Ieq è legato al verso col quale si è trovata la corrente nel cortocircuito che unisce i punti P e Q . Più precisamente la corrente impressa Ieq deve puntare verso P se la corrente nel cortocircuito è stata determinata col verso che va da P a Q .

Principio di sovrapposizione degli effetti
La corrente in un ramo qualsiasi (o la d.d.p. ai capi dello stesso) appartenente ad una rete elettrica lineare comunque complessa nella quale agiscono simultaneamente più generatori di tensione e/o di corrente, si ottiene facendo la somma algebrica delle correnti (o delle d.d.p.) relative al ramo considerato e dovute a ciascun generatore supposto agente da solo, con i rimanenti annullati (cortocircuitati se di tensione, aperti se di corrente).



Principio di Millman
Si applica quando la rete ha solo due nodi M ed N , cioè è costituita da rami tutti in parallelo tra di loro. Se J è il numero di rami, Vok è la f.e.m. totale per il ramo k-esimo , Rk è la resistenza totale per il ramo k-esimo , la d.d.p. fra i due nodi vale:

Nella somma algebrica a numeratore, il singolo termine è positivo se la f.e.m. Vok è tale da rendere positivo il potenziale del punto M rispetto al potenziale del punto N .

Caratteristica esterna e rendimento dei generatori, teorema della massima potenza trasferita
Caratteristica esterna di un generatore
I generatori elettrici sono macchine che trasformano energia di altro tipo in energia elettrica. Per ora ci limitiamo a considerare generatori di tensione e corrente continua, ma esistono (ed anzi sono molto più diffusi in ambito elettrotecnico) anche i generatori di tensione e corrente alternata. Il motivo per il quale esistono due diversi modelli, generatore di tensione e generatore di corrente, per la stessa macchina è dovuto al fatto che nelle applicazioni si hanno sia dispositivi che tendono a mantenere costante la tensione d'uscita al variare della resistenza dell'utilizzatore alimentato, e per essi è più opportuno come modello il generatore di tensione, sia dispositivi che tendono a mantenere costante la corrente erogata al variare della resistenza dell'utilizzatore alimentato, e per essi è più opportuno come modello il generatore di corrente.
Per caratteristica esterna di un generatore si intende la funzione V = f (I) ovvero la tensione d'uscita in funzione della corrente erogata.
Vediamo nel caso di generatori ideali (cioè privi di dissipazioni interne di potenza) quale è l'andamento della caratteristica esterna, allo scopo supponiamo che i generatori alimentino un utilizzatore avente una resistenza Ru che dobbiamo immaginare variabile tra ¥ [W] (funzionamento a vuoto del generatore) e 0 [W] (funzionamento in cortocircuito del generatore):

Per il generatore ideale di tensione la caratteristica esterna sarà una retta orizzontale di equazione V = Vo in quanto la sua tensione d'uscita è rigorosamente uguale alla sua forza elettromotrice, qualsiasi sia la resistenza dell'utilizzatore alimentato e quindi qualsiasi sia la corrente erogata. Per il generatore ideale di corrente la caratteristica esterna sarà una retta verticale di equazione I = Io in quanto la corrente erogata è rigorosamente uguale alla sua corrente impressa, qualsiasi sia la resistenza dell'utilizzatore alimentato e quindi qualsiasi sia la tensione d'uscita.
Passiamo ora ad esaminare il caso di generatori reali (cioè generatori per i quali si considerino i fenomeni dissipativi interni). Il circuito equivalente dei generatori dovrà ora prevedere una resistenza interna Ro grazie la quale si può tenere conto delle perdite interne di potenza. Tale resistenza verrà messa in serie nel caso del generatore di tensione (e vale zero se il generatore è ideale), mentre verrà messa in parallelo nel caso del generatore di corrente (e vale infinito se il generatore è ideale). Infatti la resistenza interna, oltre che delle perdite di potenza, dovrà pure tenere conto della diminuzione della tensione d'uscita all'aumentare della corrente erogata per il generatore reale di tensione e della diminuzione della corrente erogata all'aumentare della tensione d'uscita per il generatore reale di corrente.

Vediamo la discussione nel caso del generatore reale di tensione, il caso del generatore reale di corrente è del tutto analogo.
L'equazione della caratteristica esterna V = f (I) si determina applicando la legge di Ohm al tronco di circuito comprendente il generatore:
V = Vo - Ro·I
si tratta dell'equazione di una retta sul piano cartesiano (I,V) avente pendenza negativa, la pendenza è tanto più accentuata quanto più è grande la resistenza interna del generatore. L'intersezione con l'ordinata rappresenta il punto di funzionamento a vuoto essendo nulla la corrente erogata, quindi con resistenza dell'utilizzatore di valore infinito, e la tensione d'uscita è in tal caso pari alla f.e.m. del generatore. L'intersezione con l'ascissa rappresenta il punto di funzionamento in cortocircuito essendo nulla la tensione d'uscita, quindi con resistenza dell'utilizzatore di valore nullo, e la corrente erogata è in tal caso uguale a:
V = 0 Þ Icc = Vo / Ro
Per una generica condizione di funzionamento del generatore si avrà una tensione d'uscita che risulterà inferiore alla f.e.m. del generatore stesso di una quantità pari a Ro·I che rappresenta la caduta di tensione interna al generatore dovuta alla sua resistenza interna.
Viene chiamata retta di carico l'equazione corrispondente alla legge di Ohm applicata all'utilizzatore, ovvero:
V = Ru·I
Sul piano cartesiano (I,V) tale equazione rappresenta una retta passate per l'origine ed avente pendenza positiva. Se i due assi hanno il medesimo fattore di scala, risulta essere:
tg(a) = Ru
quindi la retta di carico coincide con l'ascissa se Ru = 0, coincide con l'ordinata se Ru = ¥. Il punto di intersezione tra la caratteristica esterna e la retta di carico individua il punto di lavoro del sistema formato dal generatore e dall'utilizzatore, ovvero la coppia di valori (I,V) che soddisfa il sistema elettrico complessivo.
Rendimento elettrico di un generatore
Data una qualsiasi macchina si definisce rendimento h il rapporto tra la potenza erogata Pe e la potenza assorbita Pa. Siccome ogni macchina reale è inevitabilmente sede di perdite di potenza Pd, risulterà la potenza erogata sempre inferiore alla potenza assorbita e quindi il rendimento sarà sempre inferiore all'unità:

Per un generatore elettrico si definisce rendimento elettrico hE il rapporto tra la potenza elettrica erogata Pe e la potenza elettrica generata Pg:

Naturalmente il termine (Ro·I2) rappresenta le perdite di potenza per effetto Joule sulla resistenza interna del generatore. Abbiamo considerato un generatore reale di tensione, per quello di corrente valgono considerazioni analoghe.
Teorema della massima potenza trasferita
Vediamo, sempre per il generatore reale di tensione, come varia la potenza erogata in funzione della resistenza dell'utilizzatore. Allo scopo è necessario studiare la funzione Pe = f(Ru):

Si osserva che per Ru = 0 risulta essere Pe = 0, inoltre per Ru tendente ad infinito di nuovo Pe tende a zero, infine Pe assume valori sempre positivi. Quindi la funzione Pe = f(Ru) ha un andamento a campana e si potrebbe dimostrare che il massimo della campana si ha quando Ru è uguale a Ro:

Ponendo nell'equazione Pe = f(Ru) al posto di Ru la Ro si ottiene l'espressione della massima potenza erogabile dal generatore:

Per quanto riguarda il rendimento elettrico in coincidenza della condizione Ru = Ro di massima potenza erogata si ha:

Si può quindi enunciare il seguente teorema della massima potenza trasferita:

 

Grandezze alternate sinusoidali e vettori ruotanti
E' possibile creare una corrispondenza biunivoca tra i vettori ruotanti e le grandezze sinusoidali. Questo significa che le grandezze sinusoidali possono essere raffigurate come vettori ruotanti:

La figura rappresenta il vettore ruotante , di modulo pari al valore massimo YM della grandezza sinusoidale, nella posizione che esso assume nell'istante t = 0 [s]. Ad esso corrisponde il valore istantaneo Yo della grandezza sinusoidale che è, anche, il valore della proiezione del vettore sull'asse dei valori istantanei. Siccome il vettore ruota in senso antiorario (scelta convenzionale) ad una velocità w [rad/s] pari alla pulsazione della grandezza sinusoidale, al generico istante t [s] esso si troverà ad aver descritto, rispetto all'asse polare, l'angolo (w·t + aO) e quindi la proiezione del vettore sull'asse dei valori istantanei varrà YM·sen(w·t + aO) , ovvero y(t). Convenzionalmente, gli angoli si intendono positivi se misurati in senso antiorario.

La figura sopra mostra la rappresentazione mediante il vettore ruotante di una grandezza sinusoidale che ha un argomento iniziale negativo ( pari a - aO ).
L'espressione analitica, sul piano di Gauss, del generico vettore ruotante è:

Dove ej·w·t è il termine che determina la rotazione.
Le grandezze sinusoidali (tensioni e correnti) nei circuiti che noi studiamo sono tutte isofrequenziali, questo significa che tutti i vettori ruotanti che le rappresentano ruotano alla medesima velocità angolare w [rad/s]. Per tale motivo i vettori ruotanti conservano nel tempo una posizione reciproca costante, quindi è sufficiente rappresentarli nella posizione che essi occupano all'istante t = 0 [s]. A questo punto, per rappresentare una grandezza sinusoidale è sufficiente un vettore statico e, per il suo trattamento analitico, l'equivalente numero complesso.
Nella figura seguente sono rappresentate due grandezze sinusoidali yA(t) ed yB(t) :

yA(t) = YMA·sen(w·t + aOA) , yB(t) = YMB·sen(w·t + aOB)
mediante i corrispondenti vettori ed che sono riportati su di un unico piano di Gauss essendo le due grandezze sinusoidali isofrequenziali (stessa pulsazione w). Nella rappresentazione è omessa l'informazione riguardante il fatto che i vettori sono ruotanti e gli stessi sono riportati nella posizione assunta all'istante t = 0 [s]. Il piano di Gauss è il luogo ove rappresentare in forma grafica i numeri complessi, più precisamente l'ascissa diventa l'asse dei valori reali Re mentre l'ordinata diventa l'asse dei valori immaginari Im.
Gli angoli aOA ed aOB sono gli argomenti iniziali delle grandezze sinusoidali, servono per orientare i vettori rappresentativi delle grandezze sinusoidali sul piano di Gauss e vengono riportati a partire dal semiasse reale positivo seguendo la nota convenzione secondo la quale gli angoli si intendono positivi se misurati in senso antiorario (convenzione che discende direttamente da quella, già dichiarata, per la quale il verso di rotazione dei vettori ruotanti è antiorario).
L'angolo jAB rappresenta lo sfasamento tra la grandezza sinusoidale yA(t) e la yB(t). Analiticamente si ha:
jAB = aOA - aOB , jBA = aOB - aOA , jAB = - jBA

Forme rappresentative per i numeri complessi, operazioni

Vediamo ora in quali forme si può rappresentare un numero complesso che, analiticamente, raffigura un vettore giacente sul piano di Gauss. Inoltre prenderemo in considerazione alcune delle operazioni che si possono eseguire sui numeri complessi. Quanto segue si limita a quelle poche informazioni direttamente utili nell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale, una trattazione più completa e rigorosa dei numeri complessi viene fatta nel corso di matematica.
a) Forma algebrica : ove a è la parte reale, j·b è la parte immaginaria. I valori di a , b sono numeri reali (quindi possono essere sia positivi che negativi). Tale forma è utile nel caso si debba eseguire la somma di due numeri complessi:

b) Forma polare : ove Y è il modulo ed a l'argomento. Il modulo è un numero reale sempre positivo, mentre l'argomento è l'angolo misurato tra il semiasse reale positivo ed il vettore e, quindi, positivo se misurato in senso antiorario, negativo se misurato in senso orario. Tale forma è utile nel caso si debba eseguire il prodotto od il quoziente tra due numeri complessi:


Per convertire dalla forma algebrica (detta anche rettangolare) alla forma polare:

Per convertire dalla forma polare alla forma algebrica:

c) forma trigonometrica : con ovvio significato.
d) forma esponenziale : che deriva dalla formula di Eulero per la quale si ha:

Tale forma è particolarmente utile nel caso in cui il numero complesso debba rappresentare un vettore ruotante (come accade per le grandezze sinusoidali quando non si voglia omettere l'informazione riguardante la pulsazione); infatti se w è la velocità angolare si ha:

Significato fisico del valore efficace

Nella figura riportata sopra sono rappresentate le funzioni i(t) ed [i(t)]2 . La prima esprime una corrente sinusoidale i(t) = IM·sen(w·t) [A] mentre la seconda esprime i quadrati della prima.
La funzione [i(t)]2 è di tipo periodico, sempre positiva, di frequenza doppia rispetto ad i(t) , ma non è una funzione sinusoidale. Tale funzione ha un valore massimo pari a IM2 ed un valore medio che, per evidenti motivi di simmetria, vale IM2/2. La definizione matematica data al valore efficace di una grandezza sinusoidale porta ad affermare che il valore efficace della i(t) vale:

come già si sapeva.
Per capire il significato fisico del valore efficace di una corrente, immaginiamo che la corrente sinusoidale i(t) percorra una resistenza di valore R [W]. Nell'intervallo di tempo infinitamente piccolo dt [s] (vedi figura) si può ritenere che la corrente abbia un valore costante pari ad i [A] e che l'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza valga [J]. La quantità dA = i2 · dt [A2·s] corrisponde all'area del rettangolo di base dt e di altezza i2. Se ora si immagina di considerare il numero infinito di intervalli dt [s] presenti nell'intervallo finito T [s] pari al periodo, è evidente che la somma degli infiniti termini dA verrà a coprire un'area coincidente con l'area A sottesa dalla funzione [i(t)]2 nell'intervallo di tempo pari a T [s], area che è legata al valore medio della [i(t)]2 dalla relazione:

L'energia dissipata nel tempo pari a T [s] si può quindi scrivere:

Osservando che:

si avrà W = R·I2·T [J] ovvero il valore efficace I [A] della corrente sinusoidale è responsabile, attraverso il suo quadrato, dell'energia dissipata nel tempo T [s] attraverso la resistenza R [W]. Esattamente la stessa espressione si sarebbe ottenuta qualora si fosse dovuto calcolare la potenza dissipata nel tempo T [s] attraverso la resistenza R [W] da una corrente continua di intensità I [A].
Si può dire che il valore efficace di una corrente sinusoidale rappresenta quella intensità di corrente continua che, in pari tempo, produce i medesimi effetti termici. Esattamente la stessa cosa si può dire per il valore efficace della tensione e sia le correnti che le tensioni sinusoidali vengono sempre comunicate mediante il loro valore efficace.

Circuito puramente resistivo in regime sinusoidale, potenza attiva
E' così chiamato un circuito totalmente privo di effetti d'autoinduzione dovuta a campi magnetici variabili e di accumulo di carica dovuta a campi elettrici.

Sollecitando la resistenza R [W] con una corrente sinusoidale i(t) [A] si avrà (legge di Ohm) per ogni istante t ai capi della resistenza una caduta di tensione pari a v(t) = R·i(t) [V] pure essa sinusoidale, di eguale pulsazione, di eguale argomento iniziale e di valore massimo VM = R·IM [V].
Per quanto riguarda i valori efficaci si avrà la relazione V = R·I [V].
Siccome gli argomenti iniziali della tensione e della corrente sono gli stessi, si suole dire che esse sono tra di loro in fase.

Facendo riferimento ad una corrente sinusoidale qualsiasi, per l'espressione ai valori istantanei si avranno le seguenti relazioni:
i(t) = IM·sen(w·t + aO) , v(t) = VM·sen(w·t + aO) [A]
Per l'espressione simbolica si avrà:

Per quanto riguarda la potenza, applicando la legge di Joule in ogni istante t si può calcolare come varia la potenza istantanea p(t) facendo il prodotto dei valori istantanei i(t) e v(t).

Dal grafico che così si ottiene si osserva che la potenza p(t) è una grandezza periodica (non sinusoidale) pulsante, sempre maggiore di zero,di frequenza doppia di quella della corrente. Sempre dal grafico si può osservare che il valore medio P [W] della p(t) è la metà del suo valore massimo PM , ovvero:

L'area sottesa dalla forma d'onda di p(t) rappresenta in un determinato intervallo di tempo l'energia ( [W]·[s] = [J] ) e tale energia è sempre positiva, questo significa che nella resistenza avviene una trasformazione di energia sempre nel senso energia elettrica Þ calore. Per tali motivi P prende il nome di potenza attiva (cioè ad essa corrisponde una effettiva trasformazione di energia). Ricordando la legge di Ohm, la potenza attiva si può anche calcolare con le relazioni:

Circuito puramente induttivo in regime sinusoidale
E' tale un circuito totalmente privo di resistenza ohmica e di accumulo di carica dovuto a campi elettrici. L'unico parametro elettrico che caratterizza un circuito puramente induttivo è perciò la sua induttanza. L'induttanza (chiamata pure coefficiente di autoinduzione) è definita dal rapporto tra il flusso di campo magnetico (originato dalla corrente che percorre il circuito) che si concatena col circuito e la corrente che percorre il circuito stesso:

Il valore di induttanza di un circuito dipende dalla geometria del circuito e dalla permeabilità magnetica del mezzo che circonda il circuito: se queste sono costanti, l'induttanza è costante. Per tale motivo, l'induttanza di un circuito avvolto su di un nucleo ferromagnetico non è costante ma varia al variare della corrente nel circuito in quanto al variare della corrente varia il campo magnetico e, con esso, la permeabilità (noi, comunque, considereremo costante l'induttanza). Invece, l'induttanza di un circuito in aria è rigorosamente costante essendo costante la permeabilità magnetica dell'aria.

Si supponga di avere un circuito puramente induttivo, di induttanza costante L [H], percorso da una corrente sinusoidale i(t) = IM·sen(w·t) [A]. A causa della induttanza L, si autoconcatenerà col circuito un flusso:
fAC(t) = L· i(t) = L·IM· sen(w·t) = FACM· sen(w·t) [Wb]
con FACM = L·IM [Wb]. Ovviamente tale fAC(t) , essendo proporzionale in ogni istante alla corrente, varierà esso pure nel tempo con legge sinusoidale.
Per via della legge generale dell'induzione elettromagnetica, la variazione nel tempo del flusso autoconcatenato produrrà una forza elettromotrice autoindotta di valore:

che gode delle seguenti proprietà:
a) eai(t) è proporzionale alla rapidità con cui varia il flusso concatenato nel tempo;
b) eai(t) ha in ciascun istante un verso tale da opporsi alla causa che la genera, perciò sarà contraria alla corrente quando questa aumenta facendo aumentare fAC(t) , mentre avrà lo stesso verso della corrente quando questa diminuisce facendo diminuire fAC(t).
Dal secondo punto si determina immediatamente il segno della f.e.m.a.i., dal primo punto si determina la sua intensità che è nulla quando la pendenza della i(t) , e quindi di fAC(t) , è nulla (vedi gli istanti T/4 , 3·T/4 ), mentre è massima quando la pendenza della i(t) , e quindi di fAC(t) , è massima (vedi gli istanti 0 , T/2 ,T ).
Il risultato che si ottiene è una f.e.m.a.i. sinusoidale ed in ritardo di un quarto di periodo (ovvero p/2 ) rispetto sia al flusso che alla corrente:

Inoltre, qualitativamente, si può pure affermare che il valore massimo di f.e.m.a.i. sarà tanto più grande quanto più è grande il valore massimo del flusso e quanto più rapida è la variazione di fAC(t) nel tempo (cioè quanto più è grande la sua pulsazione w):

Abbiamo fino ad ora dedotto quanto vale la f.e.m.a.i. dovuta ad una corrente sinusoidale circolante in un circuito puramente induttivo, supponiamo ora che la corrente i(t) venga impressa nel circuito puramente induttivo da un generatore sinusoidale.

Applicando la legge di Ohm generalizzata all'intero circuito (generatore più resistenza) e facendo riferimento ai valori istantanei si deduce che dovrà essere in ogni istante nulla la somma algebrica della tensione vL(t) ai capi dell'induttanza e della forza elettromotrice indotta eai(t) :

cioè la tensione vL(t) è in ogni istante uguale ed opposta alla f.e.m.a.i. eai(t). Ciò significa (vedi anche il grafico):

dove ovviamente VLM = EaiM. Confrontando con i(t), si dirà che la tensione vL(t) ai capi dell'induttanza è in anticipo di p/2 ed il suo valore massimo vale .
Passando dall'espressione delle grandezze sinusoidali nella forma di valori istantanei alla forma simbolica (vettori ruotanti e relativi numeri complessi) quanto ottenuto può essere così riassunto:

con FAC = L·I [Wb] ( FAC ed I valori efficaci ).

con Eai = VL = w·L·I [V].

La quantità:

è chiamata reattanza induttiva ed ha le dimensioni di una resistenza. La quantità è chiamata reattanza induttiva immaginaria ed è un operatore vettoriale in quanto se applicato al numero complesso rappresentante la corrente fornisce il numero complesso rappresentante la tensione ai capi dell'induttanza:

La figura riportata sopra mostra le varie grandezze sinusoidali prese fino ad ora in considerazione rappresentate sul piano di Gauss.

Circuito puramente capacitivo in regime sinusoidale
E' così chiamato un circuito totalmente privo di resistenza ohmica e di effetti d'autoinduzione dovuti a variazioni di campi elettromagnetici. L'unico parametro elettrico che caratterizza un circuito puramente capacitivo è la sua capacità elettrica. La capacità del circuito rappresenta l'attitudine del circuito ad accumulare carica elettrica quando nel dielettrico circostante sia presente un campo elettrico. Se V è la d.d.p., Q la carica accumulata, C la capacità elettrica, si ha:

Al fine di dedurre il comportamento della capacità in regime sinusoidale, è importante ricordare il fenomeno della carica e della scarica del condensatore facendo particolare attenzione al verso della corrente i(t) e della tensione vC(t) ai capi del condensatore:

N.B.: l'istante t = 0 [s] coincide, sia per la carica che per la scarica all'istante di chiusura dell'interruttore nel relativo circuito. Le varie funzioni vC(t) ed i(t) sia nella carica che nella scarica sono di tipo esponenziale, con costante di tempo pari a R·C [s] e quindi con un tempo d'esaurimento pari a circa 5·R·C [s]. Nel caso di circuito in corrente continua, in ogni caso, una volta esauritosi il transitorio la corrente nel circuito è identicamente nulla in quanto il condensatore costituisce a regime un'interruzione del ramo ove si trova inserito.
Supponiamo ora di avere un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, collegato ai morsetti di un generatore di tensione sinusoidale v(t). Vediamo di ricavare qualitativamente l'andamento della corrente. Le considerazioni che seguono sono conseguenti al fatto che:
a) durante gli intervalli di carica la corrente deve avere lo stesso verso (segno) della tensione, mentre durante gli intervalli di scarica la corrente è opposta alla tensione;
b) la corrente ha modulo massimo quando inizia la carica, nullo quando la tensione di carica raggiunge il massimo.

Nel primo quarto di periodo (1), avendosi un intervallo di carica la tensione aumenta positivamente da zero al valore massimo VCM , il condensatore deve corrispondentemente assorbire una corrente di carica positiva, la quale parte dal suo valore massimo IM e va poi gradatamente diminuendo fino a ridursi a zero nell'istante in cui il condensatore raggiunge il suo stato di massima carica.
Nel secondo quarto di periodo (2), trattandosi di un intervallo di scarica la tensione alle armature diminuisce da VCM a zero, il condensatore dovrà corrispondentemente scaricarsi mediante una corrente analoga alla precedente ma di verso (segno) opposto e perciò negativa.
Nel terzo quarto di periodo (3), trattandosi di un intervallo di carica di segno opposto a quello della fase (1), la tensione alle armature aumenterà da zero a -VCM ed il condensatore sarà interessato da una corrente di carica che varierà da -IM a zero.
Nell'ultimo quarto di periodo (4), trattandosi di un intervallo di scarica la tensione alle armature diminuirà in valore assoluto da |-VCM| a zero e la corrente dovrà variare analogamente a quanto avvenuto nell'intervallo (3) ma con verso (segno) opposto.
E' importante osservare che la tensione ai capi del condensatore è obbligata ad essere uguale a quella sinusoidale del generatore, cioè deve essere v(t) = vC(t) e che la corrente, sia durante gli intervalli di carica che di scarica, non potrà variare con legge esponenziale essendo sia la carica che la scarica non libere ma vincolate dalla tensione sinusoidale presente ai capi del condensatore. Quindi anche la corrente i(t) sarà sinusoidale.
Si riconosce in tal modo che mentre la tensione alle armature del condensatore varia secondo la funzione sinusoidale vC(t) , la corrente attraverso il condensatore varia secondo una funzione i(t) pure sinusoidale, ma sfasata di un quarto di periodo in anticipo rispetto alla tensione. In forma analitica:
vC(t) = VCM·sen(w·t) [V] , i(t) = IM·sen(w·t + p/2) [A]
Si può poi dimostrare che è IM = w·C·VCM [A] ed analoga relazione vale per i valori efficaci. Intuitivamente si può infatti osservare che tanto più grandi sono C e VCM , tanto più grande sarà la quantità di carica accumulata sulle armature del condensatore. Inoltre la variazione nel tempo della quantità di carica accumulata rappresenta l'intensità della corrente e, perciò, se è elevato w sarà più grande la corrente essendo più grande la variazione di carica nel tempo.
Passando dall'espressione delle grandezze sinusoidali nella forma di valori istantanei alla forma simbolica (vettori ruotanti e relativi numeri complessi) quanto ottenuto può essere così riassunto:

con VC [V] ed I [A] valori efficaci.

La quantità:

è chiamata reattanza capacitiva ed ha le dimensioni di una resistenza. La quantità è chiamata reattanza capacitiva immaginaria ed è un operatore vettoriale in quanto se applicato al numero complesso rappresentante la corrente fornisce il numero complesso rappresentante la tensione ai capi del condensatore:

La figura riportata sopra mostra le varie grandezze sinusoidali prese fino ad ora in considerazione rappresentate sul piano di Gauss.

Complementi matematici
Nelle dimostrazioni delle relazioni tra tensione e corrente in regime sinusoidale per le induttanze e le capacità abbiamo fatto ampiamente ricorso all'intuito. Dimostrazioni analiticamente rigorose si possono fare solo conoscendo l'operazione di derivazione rispetto al tempo di una funzione, argomento che si affronterà in matematica nel corso del quarto anno. A titolo di complemento anticipiamo quanto sarà comprensibile solo il prossimo anno:
Induttanza

capacità

Potenza elettrica associata ad una corrente in quadratura con la tensione, potenza reattiva
Questo stato di regime si verifica in un circuito puramente induttivo (corrente in ritardo di 90° sulla tensione), oppure puramente capacitivo (corrente in anticipo di 90° sulla tensione). Eseguendo per ogni istante il prodotto v(t)·i(t) si ottiene p(t) che è una grandezza ancora sinusoidale di frequenza doppia rispetto alla corrente ed alla tensione. Si osserva che l'asse di simmetria della p(t) coincide con l'asse dei tempi (ascissa) e, quindi, la potenza non ha più carattere pulsante ma ha carattere alternativo e conseguentemente il suo valor medio è nullo.

Quindi, in un circuito nel quale la tensione e la corrente sono in quadratura tra di loro, la potenza istantanea è tale per cui l'energia viene alternativamente scambiata tra il circuito ed il campo (elettrico per la capacità, elettromagnetico per l'induttanza), più precisamente l'energia viene ceduta dal circuito al campo quando la potenza è positiva e viceversa quando è negativa. Quindi, considerando un intero periodo, il bilancio energetico tra circuito e campo è nullo così che si può dire che la potenza media è nulla, ovvero non vi è alcuna trasformazione permanente di energia. Per tali motivi si suole dire che un circuito puramente induttivo o puramente capacitivo non è interessato da potenza attiva.
Viene convenzionalmente considerata, sotto il nome di potenza reattiva, la quantità . Tale potenza reattiva non riveste assolutamente il significato fisico di potenza, ma costituisce un puro riferimento convenzionale ai valori efficaci della tensione V [V] e della corrente I [A] in quadratura tra di loro e, per questa ragione, la potenza reattiva non si misura in [Watt] ma si esprime in VoltAmpereReattivi [VAR].
A tale potenza vengono convenzionalmente associati segni opposti a secondo che il circuito sia induttivo o capacitivo. Le norme assegnano il segno positivo alla potenza reattiva induttiva QL = X L·I2 ed il segno negativo alla potenza reattiva capacitiva QC = X C·I2 . Ciò perché è positivo lo sfasamento tra tensione e corrente nel circuito induttivo, negativo nel circuito capacitivo.

Impedenza elettrica, triangolo delle potenze
Si tratta di un operatore vettoriale (quindi una grandezza complessa, non una grandezza variabile sinusoidalmente nel tempo) così definito:


L'impedenza riassume la resistenza e la reattanza complessive di un ramo infatti se w è la pulsazione della tensione alternata sinusoidale applicata al ramo, si ha:

Il modulo dell'impedenza vale ovviamente:

mentre il suo argomento vale:

e tale argomento coincide con lo sfasamento tra la tensione applicata all'impedenza e la corrente che percorre l'impedenza.
Le potenze che riguardano l'impedenza sono:
potenza attiva :
P = V·I·cos(jV,I) = R·I2 [W]
potenza reattiva, da considerarsi induttiva se positiva, da considerarsi capacitiva se negativa :
Q = V·I·sen(jV,I) = (XL - XC)·I2 [VAR]
modulo potenza apparente, che riassume le prime due :

potenza apparente complessa ( è il coniugato di ) :

Le tre potenze di cui sopra si possono riassumere nel seguente triangolo delle potenze:

per il quale valgono le seguenti relazioni:

 

se una rete elettrica (o un generatore reale) alimenta un'altra rete (o un carico) si ha il massimo trasferimento di potenza quando la resistenza di uscita della rete alimentante (o la resistenza interna del generatore) è uguale alla resistenza d'ingresso della rete alimentata (o alla resistenza del carico), si suole dire allora che il carico è adattato in potenza. In queste condizioni il rendimento vale 0,5 e, quindi, il problema dell'adattamento è particolarmente sentito nei circuiti a basso livello di potenza (telefonia, telegrafia, ecc.) e non in quelli ad alto livello di potenza tipici delle applicazioni industriali dell'elettrotecnica.

 

Fonte: http://www.istitutoprimolevi.gov.it/elettrobox/Appunti_Reti%20elettriche%20in%20corrente%20continua%20e%20corrente%20alternata.docx

Sito web da visitare: http://www.istitutoprimolevi.gov.it

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