Motore di Stirling

 

Il motore di Stirling - opera dell’inventore britannico Robert Stirling - risale al 1827 e si basa su di un ciclo termodinamico simile a quello di Carnot, composto da due isocore e due isoterme, con scambio di calore in tutte e quattro le fasi. Lo scopo dell’esperienza è, nella prima parte, di studiare il funzionamento della macchina come motore termico, con particolare attenzione alla misura del suo rendimento. Nella seconda fase, la macchina viene impiegata a tutti gli effetti come motore termico, assorbe calore per produrre energia meccanica, oppure a ciclo inverso, durante il quale fornisce energia termica avendo ricevuto energia meccanica. In questa parte dell'esperienza il ciclo del motore ripete le 4 fasi (trasformazioni reversibili) del ciclo teorico di Stirling di cui si tratterà in seguito

Descrizione dell’apparecchio e teoria dell’esperienza
Il motore è composto da vari elementi. La parte principale è un tubo di vetro lubrificato con olio al silicone e resistente al calore; in esso distinguiamo una parte inferiore e una superiore. La parte inferiore del cilindro è circondata da una camicia di raffreddamento; attraverso questa intercapedine scorre dell’acqua proveniente da due tubicini connessi da un estremo ai rubinetti presenti nel laboratorio, dall’altro agli opportuni attacchi collocati nel corpo centrale del cilindro. La regione superiore del tubo centrale non è invece provvista di alcun sistema di raffreddamento. Inoltre notiamo la presenza di una resistenza che si riscalda per il passaggio di una corrente generata da una differenza di potenziale di circa 10 volt; questa resistenza elettrica fornisce l’energia termica necessaria al funzionamento della macchina come motore. Quando la macchina funziona come macchina frigorifera la resistenza viene sostituita da un termometro.  La figura 2 schematizza quanto descritto:

 
Nel cilindro scorrono due pistoni, che in figura sono rappresentati separatamente per comodità di visualizzazione. Il pistone inferiore comprime e ad espande periodicamente l’aria all’interno del cilindro. Tramite un foro praticato in esso, il pistone superiore ha la funzione di trasferire l’aria dalla parte superiore del cilindro alla parte inferiore e viceversa. All’interno del foro del pistone, quando il motore funziona come macchina termica, è disposta una matassa di lana di rame necessaria al bilancio energetico del ciclo. Essa ha, infatti, la funzione di prelevare calore dall’aria che la attraversa provenendo dall’alto e di cederlo all’aria che, invece, fluisce dal basso.
 
Il ciclo ha inizio con una compressione isoterma (AB) in cui il pistone superiore si trova nella parte alta del cilindro mentre il pistone inferiore, muovendosi verso l’alto, produce una compressione dell’aria. Questa, essendo a contatto con le pareti raffreddate dall’acqua, si comprime isotermicamente cedendo calore.

Nella seconda fase (BC, trasformazione isocora), il pistone superiore si muove verso il basso consentendo il passaggio dell’aria dalla parte inferiore del cilindro alla parte superiore riscaldata.

   

Successivamente (CD) il pistone inferiore scende verso il basso e l’aria, assorbendo calore dalla resistenza elettrica, si espande isotermicamente.

Infine, il pistone superiore torna verso l’alto (trasformazione isocora) e l’aria, essendo nuovamente a contatto con le pareti raffreddate del cilindro, si raffredda ritornando alla temperatura iniziale.

Alla fine del ciclo, poiché nelle isocore non viene scambiato lavoro, le sorgenti di calore a temperatura T1 e T2  hanno assorbito e ceduto gli stessi calori, e dunque il bilancio complessivo è nullo; tuttavia il calore realmente scambiato tra il gas contenuto nel motore e le sorgenti è

dove W è il lavoro compiuto. Dal lavoro si può dunque passare al calcolo del rendimento, definito come

Si noti anche che il movimento periodico dei cilindri durante le trasformazioni elencate provoca il moto rotatorio dell’asse del motore che, dopo una prima fase di riscaldamento, raggiunge una situazione di stabilità. Il raggiungimento dello stato di regime è riconoscibile poiché il numero di giri al minuto compiuti dal motore rimane costante.
La seconda fase dell’esperienza prevede che il motore venga utilizzato a ciclo inverso, come macchina frigorifera; se ne determinerà la bontà di funzionamento espressa dal potere refrigerante. Il potere calorifico, invece, viene determinato quando la macchina funziona come pompa di calore. Nel caso della macchina frigorifera l’attenzione viene più posta sulla quantità di calore che viene sottratto al corpo freddo, mentre nella pompa di calore alla quantità di calore che viene ceduta al corpo caldo. In ambedue i casi l’energia fornita è quella meccanica e l’efficienza della macchina resta espressa dal rapporto fra l’energia (o la potenza) ottenuta rispetto all’energia (o la potenza) fornita:

Nell’apparato sperimentale la resistenza viene sostituita da un termometro che permette di misurare la variazione di temperatura nel tempo.
Il volano della macchina viene collegato per mezzo di una cinghia ad un motore che fornisce l’energia meccanica necessaria a compiere il ciclo. Il funzionamento del motore può essere utilizzato in due modi:

•  
• • il volano ruota in senso orario e la macchina assorbe calore dall’aria che si trova nella parte superiore del cilindro, a temperatura più bassa, cedendolo all’acqua contenuta nell’intercapedine di raffreddamento (che e’ a temperatura maggiore). Il termometro mostra una diminuzione di temperatura dell’aria. In questa fase la macchina funziona come macchina frigorifera.

• il volano ruota in senso antiorario e la macchina (che ora e’ una pompa di calore) assorbe calore dall’acqua trasferendolo all’aria, nella regione più alta del cilindro, che quindi progressivamente si riscalda.

ESECUZIONE DELL’ESPERIENZA
PRIMA FASE: CALCOLO DEL RENDIMENTO
RACCOLTA DATI
Per le misurazioni, oltre al motore, vengono usati i seguenti strumenti:
Wattmetro per misurare la potenza elettrica erogata. E' costituito da un misuratore di intensità (amperometro) di sensibilità 0.1 A e da un misuratore di differenza di potenziale (voltmetro) di sensibilità 0.1 V;
Contagiri meccanico di sensibilità 1 giro: è lo strumento che rischia di influenzare maggiormente le rilevazioni, in quanto un’errata postura o un’eccessiva pressione sul volano (con conseguente effetto frenante) del contagiri possono portare ad un’acquisizione dati inesatta dei dati;
Dinamometro di portata 500 g e sensibilià 5 g;
Calibro ventesimale (sensibilità 0.05 mm);
Filo di nylonper frenare il volano;
Cronometro di sensibilità 0.2 s;

Prima di iniziare l'esperimento con la raccolta dati quantitativa, è stato avviato il motore; scaldata la resistenza (e di conseguenza anche l’aria all'interno della parte superiore del cilindro), è stato messo in moto -  manualmente - il volano e dunque i pistoni responsabili del ciclo. Dopo qualche minuto il motore era in grado di compiere un ciclo completo senza bisogno di aiuti esterni. Si è allora proceduto con le rilevazioni.
Ad intervalli di un minuto è stato misurato, con il contagiri analogico, il numero di giri per 30 secondi, poi il motore veniva lasciato libero per altrettanti secondi, e successivamente si ripeteva la rilevazione; la misurazione è stata iterata finché non si è osservato che il numero di giri al minuto era circa costante. I dati sono riportati nella tabella 1, e visualizzati nel grafico 1

Per accertare che il motore fosse effettivamente a regime, è stato eseguito un fit lineare per verificare che i motore stesse approssimativamente mantenendo lo stesso numero di giri e che si potesse supporre che l’andamento sarebbe stato lineare nel tempo. Il risultato di questo breve test è visibile con il grafico 2

 
Il riscontro grafico ha soddisfatto le aspettative; il motore è a regime, il tempo impiegato è di circa 11-12 minuti, ma ora è possibile dare inizio alle rilevazioni per il calcolo del rendimento. La variabilità che si può riscontrare nel conteggio del numero dei giri è dovuta, oltre che alle caratteristiche strutturali del motore, soprattutto alla difficoltà riscontrata nel conteggiare il numero dei giri, poiché, soprattutto in questa fase iniziale, era necessario trovare la giusta pressione da apporre al contagiri sul volano.

Per poter determinare il rendimento del motore di Stirling, che ricordiamo è definito come

è necessario calcolare solamente il valore della Potenza meccanica (lavoro/tempo), poiché la potenza assorbita è già nota (è indicata sul wattmetro).
È stata dunque applicata una forza frenante F , di intensità nota (F = [250 ± 0.5] g), avvolgendo attorno all'asse del volano (di diametro d = [2.48 ± 0.5] cm) un filo di nylon. All’estremità del filo è stato agganciato un dinamometro per quantificare la forza frenante. Si rileva successivamente il numero di giri del motore libero per un minuto e frenato per lo stesso tempo; si permette poi al motore di riportarsi a regime (il suo moto è stato rallentato dalla forza frenante) lasciandolo libero per un altro minuto.
Questa sequenza ripetuta sette volte, ha fornito i seguenti valori riportati in tabella 2 e tabella 3. Per comodità di visualizzazione sono state già calcolate le relative velocità angolari:

Valori a motore libero
Forza Frenante (N)	N giri/minuto	N giri/secondo	ω Radianti/secondo
0	233	3,88	24,37
0	230	3,83	24,06
0	232	3,87	24,25
0	232	3,87	24,25
0	231	3,85	24,19
0	234	3,90	Tabella 2 N° giri a motore libero  24,50
0	232	3,87	24,25
Valori a motore frenato
Forza Frenante (N)	N’ giri/minuto	N’ giri/secondo	ω’ Radianti/secondo
2.45	210	3,50	21,99
2.45	210	3,50	21,99
2.45	209	3,48	21,86
2.45	209	3,48	21,86
2.45	210	3,50	21,99
2.45	210	3,50	Tabella 3 N° giri a motore frenato  21,99
2.45	210	3,50	21,99

ANALISI DATI
Per ottenere il rendimento del motore è sufficiente calcolare il rapporto tra  Potenza Meccanica e la Potenza Elettrica, grandezza nota pari a

La Potenza Meccanica può essere espressa nel moto rotatorio come momento del prodotto tra forza e velocità angolare:

E il momento M si calcola come

Dunque la Potenza verrà calcolata come

Per verificare la correttezza dei calcoli, sono state svolte due elaborazioni parallele; nella prima, è stata fatta la media del numero di giri a motore libero e frenato ed è stata applicata la formula a questi nuovi dati. Nella seconda elaborazione, invece, è stato calcolato singolarmente per ogni misurazione, la Potenza meccanica, e dunque il Rendimento, e solo in un secondo momento è stata fatta la media dei singoli rendimenti. I risultati delle due elaborazioni sono stati:

Metodo 1
Metodo 1

Tenendo conto di due cifre significative, è stato possibile stabilire l’esattezza dell’elaborazione, poiché i due metodi hanno dato esito pressoché uguale. Il rendimento espresso in percentuale con relativa incertezza è

Le incertezze espresse sono state calcolate, per ogni grandezza, nei seguenti modi:

 è l’incertezza sul numero di giri in radianti
 è l’incertezza sulla forza applicata

L'errore sulla potenza meccanica è ottenuto propagando l'errore sulle singole misure attraverso la somma in quadratura delle derivate parziali di P in funzione delle altre grandezze e moltiplicandone ognuna per la relativa incertezza, dunque

l'errore sul rendimento è stato calcolato sommando in quadratura ogni singolo errore relativo di ogni grandezza indipendente che compare nella formula

 

 

SECONDA FASE: DETERMINAZIONE DEL POTERE REFRIGERANTE E CALORIFERO DEL MOTORE

RACCOLTA DATI
Un  secondo motore di Stirling permette di determinare il potere calorifico e refrigerante di un motore che - fornendo lavoro meccanico alla macchina - aziona il ciclo termodinamico con l’effetto di macchina frigorifera, pompa di calore e nuovamente macchina frigorifera.
La macchina che verrà utilizzate è dotata di un volano connesso tramite una cinghia di trasmissione ad un motore elettrico provvisto di un regolatore di velocità e di un dispositivo mediante il quale e possibile invertire il senso di rotazione. Nella testata del motore viene sostituito al filamento un termometro ad alcool con sensibilità di 1 °C.
Avviato il motorino elettrico in senso orario (macchina frigorifera) è cominciata la rilevazione, sul termometro ad alcool, della temperatura ad intervalli di tre secondi. La variazione di temperatura è riportata nella tabella 4:

T(±1°C)
22	6	-5	-11	-15
21	5	-6	-11	-15
20	4	-7	-12	-16
19	3	-7	-12	-16
18	1	-8	-13	-16
16	0	-8	-13	-16
14	-1	-9	-13	-17
13	-1	-9	-14	-17
11	-2	-10	-14	-17
10	-4	-10	-14
9	-4	-10	-15	Tabella 4 Rilevazioni di temperatura durante il  primo ciclo frigorifero
7	-5	-11	-15

Sono state concluse le rilevazioni ne momento in cui la temperatura tendeva a stabilizzarsi attorno ad un valore costante. A questo punto è stato invertito il senso di rotazione del volano in antiorario (pompa di calore) e, avviato nuovamente il motore sono riprese le rilevazioni della temperatura ad intervalli di tre secondi. La tabella 5 riporta le rilevazioni:

 

 

 

T(±1°C)
-20	14	34	47	55
-19	16	35	48	56
-16	18	36	49	56
-12	19	38	49	56
-9	20	39	50	57
-6	22	40	51	57
-3	24	41	51	58
0	25	42	52	58
4	27	43	52	58
6	28	44	53	59
8	39	45	54	Tabella 5 Rilevazioni di temperatura durante il ciclo calorifero  59
10	31	46	54	59
12	33	47	55	60
				60

Come sopra, quando la temperatura tendeva a stabilizzarsi, la macchina è stata spenta e, invertito nuovamente il senso di rotazione del volano, è stata effettuata una nuova rilevazione della variazione della temperatura durante il ciclo frigorifero. I dato sono riportati nella tabella 6:

T(±1°C)
64	29	12	2	-5	-9	-12	-14	-16
60	27	11	1	-5	-9	-12	-14	-16
56	25	10	0	-5	-9	-12	-14	-16
53	24	9	0	-6	-9	-12	-14	-16
50	23	8	-1	-6	-10	-12	-15	-17
47	21	7	-1	-6	-10	-13	-15
43	19	6	-2	-7	-10	-13	-15
41	16	5	-2	-7	-10	-13	-15
39	16	4	-3	-7	-11	-13	-15
36	15	4	-3	-8	-11	-13	-15
34	14	3	-4	-8	-11	-14	-16
31	13	2	-4	-9	-11	-14	-16

  

ANALISI DATI
Primo ciclo frigorifero
In questa prima parte il lavoro meccanico fornito dal motore elettrico alla macchina di Stirling fa in modo che essa funzioni come macchina frigorifera; riportando sul grafico la temperatura in funzione del tempo si può osservare la rapidità della variazione di temperatura, nella prima metà del ciclo e la tendenza a stabilizzarsi verso la fase finale. Il grafico 3 riporta quanto descritto.

 
Nei primi istanti di funzionamento della macchina, nei quali gli scambi di calore con l'esterno si possono considerare trascurabili poiché in prossimità della temperatura ambiente (stimata a 20°C), l'incremento della temperatura nel tempo segue un andamento lineare; si può quindi supporre un andamento del tipo
T = f (t), ed in particolare T = a + bt . Questa ipotesi si può verificare utilizzando il metodo dei minimi quadrati che consente di interpolare i primi dati - nei quali questa relazione è evidente - con un fit lineare. Per verificare infine che il numero di valori (6 in questo caso) sia sufficiente per un fit attendibile, si calcola il coefficiente di correlazione lineare per questi valori. Il risultato è che la probabilità di ottenere un valore maggiore con 6 gradi di libertà è minore dell’1.4%; dunque si procede con il
metodo dei minimi quadrati. Il grafico 4 riporta visivamente il risultato di questa analisi:
 

Per il calcolo del potere refrigerante, è necessario estrapolare dai dati il coefficiente angolare della retta, in quanto identifica il rapporto ΔT/Δt. In questo caso, si ha che

B = (-0.38 ± 0.08) °C/s

L’incertezza è stata determinata durante il calcolo dei minimi quadrati.
Poiché la variazione di temperatura è legata, in proporzionalità diretta, alla quantità di calore che viene scambiata secondo l’espressione:

dove ΔT/Δt è la rapidità con cui varia la temperatura nel tempo e c e una costante propria del motore.
Conoscendo il valore B calcolato grazie al fit lineare è possibile dunque determinare il rapporto ΔQ/Δt che si identifica nel ciclo frigorifero con il potere refrigerante del motore.

                                                      Potere refrigerante = (0.38 ± 0.03) W

Ciclo calorifero
Nell’analisi dati lo stesso procedimento viene eseguito quando il motore agisce da pompa di calore; si ipotizza che, quando la temperatura è prossima a quella dell’ambiente, questa cresca linearmente col tempo. Il grafico 5 mostra il ciclo completo

  
Per giustificare il fit lineare delle temperature, si calcola anche in questo caso il coefficiente di correlazione lineare. Il risultato è migliore del caso precedente, la probabilità di ottenere un valore maggiore con 11 gradi di libertà è minore dello 0.05%; e si procede dunque all’interpolazione con il metodo dei minimi quadrati. Il grafico 6 mostra il risultato dell’elaborazione.

 

Come svolto in precedenza, estrapoliamo dai calcoli il valore di B con la sua relativa incertezza

B = (0.53 ± 0.03) °C/s

Il potere calorifero sarà dunque

Potere Calorifero = (0.53 ± 0.03) W

Secondo ciclo frigorifero
L'ultima fase dell'esperimento prevedeva di invertire nuovamente la rotazione del motore elettrico in modo da utilizzare una seconda volta la macchina di Stirling come macchina frigorifera e confrontare il nuovo potere refrigerante ottenuto con quello calcolato in precedenza. Come in precedenza, per verificare che l'incremento della temperatura nel tempo sia – come ipotizzato – lineare, si riportano sul grafico 7 T(°C) in funzione di t(s) i valori trascritti nella tabella 6:

 
Nuovamente sono state interpolate le rilevazione prossime alla temperatura ambiente, e ne sono state prese 10; il coefficiente di correlazione lineare ha fornito che la probabilità di ottenere un valore maggiore con 6 gradi di libertà è minore dell’1.4%; dunque si è proceduto all’interpolazione, e il risultato è visibile sul grafico 8:

 

È possibile vedere come la retta interpoli correttamente le rilevazioni (fatta eccezione per una); il valore del coefficiente angolare è B = (0.50 ± 0.04) °C/t, e dunque il potere refrigerante è

Potere refrigerante = (0.50±0.04) W

Test del T-Student
Si esegue ora il test del T-Student per analizzare l'attendibilità dei risultati ottenuti nei due cicli frigoriferi. Per prima cosa si determina il valore della variabile t e - confrontando nelle tabelle il risultato – sarà possibile  stabilire se vi è accordo tra i due valori ottenuti.
Sapendo che il potere calorifico ottenuto nel primo ciclo considerando il fit lineare di N1 dati è

P1 = (0.38 ± 0.08) W
con N1 = 6

mentre quello calcolato nel terzo ciclo con il fit lineare di N2 dati è

P2 = (0.54 ± 0.04) W,
con N2 = 10

si calcola la variabile t di Student attraverso la formula:

Considerando il fatto che i due valori ottenuti possono disporsi a destra o a sinistra del potere calorifico reale il test ha validità solo se considerato come un test a due code. Il numero di gradi di libertà è
DF = (N1+N2)-2 = 14
ma confrontando il valore di t nelle tabelle con 14 gradi di libertà i valori non sono confrontabili né con un livello di fiducia α=5% né α=1%.
Si ipotizza dunque che i due cicli si siano comportati in maniera troppo diversa l’uno dall’altro per il fatto che, durante il primo ciclo, la temperatura di partenza era quella del laboratorio e la macchina – prima di allora – era rimasta spenta. Durante questo ciclo, la temperatura dell’aria si è abbassata notevolmente e questo può aver causato il formarsi di piccolissimi cristalli di ghiaccio dovuti alla solidificazione dell'umidità presente nell'aria all'interno del tubo in vetro. Questi cristalli depositandosi sulla lana di rame e sulle pareti del cilindro rendono difficoltoso sia il movimento dei due pistoni che il normale ricircolo d'aria tra la parte superiore e la parte inferiore del tubo. Si può dunque ipotizzare che i due cicli siano avvenuti in condizioni interne differenti, ed è quindi lecito supporre che i dati elaborati non siano compatibili tra loro.

Grafico del ciclo completo
Per avere una visione d'insieme dei tre cicli, è stato riportato in un unico grafico, T (°C) in funzione di t (s), l'insieme di tutte le coppie di punti (ti,Ti) che descrivono queste trasformazioni, in tre colori distinti. È stata considerata nulla la fase di spegnimento e riaccensione del motore, tra un ciclo e l'altro, e considerando quindi la presa dati continua nel tempo, a differenza di quanto avvenuto. Sono state visualizzate anche le rette che interpolano i punti. Ecco riportato qui di seguito il grafico (grafico 9):

 

 

CONCLUSIONI
La prima fase dell'esperimento, relativa al calcolo del rendimento del motore, presenta la possibilità di manifestarsi di numerosi errori sia meccanici (motore di Stirling) che umani (difficoltà dell'operatore a conteggiare il numero di giri con il contagiri analogico). È da imputarsi a questi errori, probabilmente, il basso rendimento del motore, stimato intorno al 6%.
In seconda analisi, tuttavia, il rendimento del motore di Stirling utilizzato nell’esperienza può essere giustificato con semplici osservazioni:

• il ciclo termico di Stirling non si compie nella realtà come in un ciclo ideale; i due pistoni che dovrebbero essere  sfasati di π/2 non lo sono effettivamente, questo fa si che le diverse fasi del ciclo non si alternino in modo così netto;
•  la camera dove avviene il ciclo termodinamico non è perfettamente isolata con l'esterno e dunque l'ambiente non è adiabatico;
• vi è sempre all'interno del cilindro in vetro un certo attrito tra le pareti e i due pistoni in movimento, quest'ultimo agisce quindi come forza frenante e riduce il rendimento.

Questi sono dunque errori sistematici, impossibili da eliminare.
Nella seconda fase dell'esperimento, oltre agli errori già discussi in precedenza, ha avuto sicuramente peso la difficoltà dell’osservatore di rilevare con accuratezza la temperatura, istante per istante, e nonostante queste imprecisioni non si possano quantificare, possiamo ipotizzare che abbiano comunque avuto un peso nelle differenze tra i due cicli frigoriferi.