Equazioni e disequazioni

EQUAZIONI

DISEQUAZIONI

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche che contiene una o più lettere
L’espressione a sinistra dell’uguale è il primo membro, l’espressione a destra è il secondo membro
Incognite: lettere il cui valore numerico non è noto (x, y, z)
Parametri: lettere che possono rappresentare numeri noti ma non è specificato il loro valore (a, b, k, h, m, n, p, t)
Identità: particolare equazione che risulta vera per qualsiasi valore attribuito alle lettere presenti
Supponiamo equazioni con una sola incognita
Classificazione delle equazioni: intera (la x non compare al denominatore); frazionaria (la x compare al denominatore); numerica (non compaiono altre lettere oltre all’incognita); letterale (oltre all’incognita sono presenti dei parametri)
Soluzioni di un’equazione: numeri che sostituiti all’incognita trasformano l’equazione in una uguaglianza vera
Risolvere un’equazione significa determinare le sue soluzioni. Tali soluzioni costituiscono gli elementi di un insieme SR
Dominio di un’equazione: insieme dei numeri reali che sostituiti all’incognita trasformano l’equazione in un’uguaglianza dotata di significato e che sia o vera o falsa
Equazione determinata: equazione con un numero finito di soluzioni
Equazione impossibile: equazione che non ha soluzioni (S=)

Equazione indeterminata: equazione con un numero infinito di soluzioni (S=R)
Equazioni equivalenti: due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni
Primo principio di equivalenza: sommando o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione una stessa espressione algebrica si ottiene un’equazione equivalente alla data
Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per una stessa espressione algebrica diversa da zero si ottiene un’equazione equivalente alla data

Conseguenze dei principi di equivalenza
Grado di un’equazione: grado del polinomio P(x) che si ottiene dopo aver applicato le conseguenze dei principi e scritto l’equazione nella forma canonica P(x)=0

L’equazione di primo grado ha forma canonica:

•  se  allora
• se  allora
• se  allora

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche che contiene una o più lettere
Sì

Sì
Sì

No

Supponiamo disequazioni di primo grado
Classificazione delle disequazioni: intera, frazionaria, numerica, letterale

Soluzioni di una disequazione: numeri che sostituiti all’incognita trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera.
A differenza delle equazioni l’insieme delle soluzioni di una disequazione può essere infinito.
Dominio di una disequazione: insieme dei numeri reali che sostituiti all’incognita trasformano la disequazione in una disuguaglianza dotata di significato e che sia o vera o falsa
 ha come soluzioni tutti i numeri reali maggiori di 1
 non è mai verificata da alcun valore di x
 è sempre verificata per ogni valore di x
Disequazioni equivalenti: due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni
Primo principio di equivalenza: sommando o sottraendo a entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione algebrica si ottiene una disequazione equivalente alla data
Secondo principio di equivalenza:

• moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per una stessa espressione algebrica positiva, si ottiene una disequazione equivalente alla disequazione data
• moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per una stessa espressione algebrica negativa e cambiando il verso del simbolo di disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente alla data

Conseguenze dei principi di equivalenza
Grado di una disequazione: grado del polinomio P(x) che si ottiene dopo aver applicato le conseguenze dei principi e scritto la disequazione in una delle seguenti forme:
La disequazione di primo grado ha una delle seguenti forme canoniche:
Per esempio se

• se  allora
• se  allora
• se sempre verificata allora
• se mai verificata allora