Matematica matrici

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Matematica matrici

Operazioni tra matrici

Due matrici m´n a coefficienti reali si possono SOMMARE, effettuando l’addizione termine a termine. Eseguiamo, ad esempio, la somma di due matrici 2´3:

La matrice somma è dunque:

Due matrici si possono sommare solo se hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. In generale, la somma di due matrici m´n si effettua secondo la formula:

Osservazioni

La somma di matrici è commutativa: la matrice somma non cambia se si scambiano gli addendi. Ad esempio:

Una matrice rimane immutata se la si somma ad una matrice i cui coefficienti sono tutti uguali a zero (matrice nulla).

Due matrici m´n e n´p si possono MOLTIPLICARE, secondo un’operazione detta prodotto righe per colonne. Ecco come un vettore riga viene moltiplicato per un vettore colonna della stessa lunghezza:

Il vettore risultante è dunque:

Abbiamo moltiplicato una matrice 1´3 per una matrice 3´1 ed abbiamo ottenuto una matrice 1´1. In generale, il prodotto di una matrice m´n ed una matrice n´p è una matrice m´p. A titolo d’esempio moltiplichiamo una matrice 3´4 ed una matrice 4´2:

Il risultato è un matrice 3´2, in cui, come evidenziato nella figura:

il coefficiente di posto (1,1) è il prodotto della 1^a riga della prima matrice e della 1^a colonna della seconda matrice;
il coefficiente di posto (2,1) è il prodotto della 2^a riga della prima matrice e della 1^a colonna della seconda matrice;
il coefficiente di posto (3,2) è il prodotto della 3^a riga della prima matrice e della 2^a colonna della seconda matrice;

In generale:

Il coefficiente di posto (i,j) è il prodotto della i-esima riga della prima matrice e della j-esima colonna della seconda matrice.

Due matrici si possono moltiplicare solo se il numero di colonne della prima è pari al numero di righe della seconda. Il prodotto righe per colonne di un matrice m´n per una matrice n´p si effettua secondo la formula:

Osservazioni

Due matrici quadratepossono essere moltiplicate in qualunque ordine. Il prodotto, però, in generale, non è commutativo. Lo dimostra il seguente controesempio:

Una matrice quadrata n´n rimane immutata se la si moltiplica (a destra o a sinistra) per una matrice n´n i cui coefficienti sulla diagonale principale sono tutti uguali a 1, mentre gli altri sono tutti uguali a 0:

Questa è detta matrice identità. Ad esempio, si può verificare che:

Fonte: http://www.dm.uniba.it/~barile/precorso/algebra_lineare/operazioni_tra_matrici.doc

Sito web da visitare: http://www.dm.uniba.it/

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