Alle radici della matematica moderna

Nel XVII secolo nascono teorie fondamentali, ad opera di figure di grande rilievo in campo non solo matematico: Galileo, Descartes, Fermat, Newton, Leibniz, Cavalieri.

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Alla fine del ‘500 in Europa Occidentale è completato il recupero della maggior parte delle principali opere matematiche dell’antichità pervenute sino a noi, per l’interesse rinascimentale a questioni soprattutto geometriche.

Algebra: tramite gli arabi è pervenuta la soluzione delle equazioni di II grado, gli algebristi italiani hanno dato la risoluzione del III e IV grado; simbolismo adeguato (Viète)

Trigonometria: divenuta disciplina autonoma

I logaritmi:
Nel 1614 lo scozzese John Napier pubblica l’opera “Mirifici logarithmorum canonis descriptio”, allo scopo di sollevare gli astronomi dalla fatica di effettuare i lunghissimi calcoli necessari.
Con il termine logos-aritmos (numero della ragione) indica, in una progressione geometrica (dato un elemento iniziale, ogni altro elemento viene ottenuto moltiplicando il precedente per un numero costante), il posto occupato da un termine, cioè l’esponente di quel termine, avendo assegnato al termine iniziale della successione il posto “zero”.
Il principale vantaggio nell’uso dei logaritmi è che essi trasformano moltiplicazioni e divisioni in addizioni e sottrazioni.
Napier assume anche che i termini di una progressione aritmetica siano i logaritmi dei termini di una corrispondente progressione geometrica.

Esempio: Sensibilità delle pellicole fotografiche.
ASA/ISO 25 50 64 100 200 400 800 1600
DIN 15 18 19 21 24 27 30 33
Fino a qualche tempo fa’ la sensibilità delle pellicole era classificata secondo due scale i cui termini erano in progressione aritmetica (DIN, in uso in Europa) e geometrica (ASA, in uso negli USA). Le scale sono state uniformate nello standard ISO, sostanzialmente eguale all’ASA.
L’invenzione dei logaritmi aiutò Keplero a scoprire la sua terza legge dei moti planetari.
Nel corso del XVI secolo le grandi scoperte geografiche, il moltiplicarsi delle rotte di navigazione, il conseguente sviluppo di tutti gli aspetti della marineria fecero sorgere l’esigenza di una maggiore diffusione di competenze tecnico-scientifiche tra gli addetti ai lavori. L’Inghilterra fu particolarmente sensibile al problema. Nel 1597 viene inaugurato a Londra il “Gresham College”, una scuola in cui si insegnassero ai cittadini adulti, a titolo totalmente gratuito, matematica e altre scienze che potessero servire alle arti e ai mestieri.
Primo professore di geometria del Gresham College fu Henry Briggs, uomo colto e matematico di valore, che  comprese l’enorme importanza pratica ai fini del calcolo delle rotte nautiche dei logaritmi e, dopo avere incontrato Napier ad Edimburgo, li introdusse nell’insegnamento della matematica al Gresham. Egli stesso contribuì alla divulgazione pubblicando un trattato di calcolo - definito “insuperato” ancora un secolo dopo - e, successivamente, una tavola dei logaritmi.

Ricerca a metà del Seicento:
metodo generale per le tangenti
teoria delle quadrature
problema inverso delle tangenti (data una relazione tra il punto e la tangente risalire alla curva, in pratica le equazioni differenziali)
calcolo dei logaritmi semplificano i lunghissimi calcoli astronomici

Fermat e Descartes: rinnovamento nella geometria con l’uso dei metodi algebrici e l’introduzione della geometria analitica.
Nei metodi proposti l’idea fondamentale è che in un intorno del massimo le variazioni sono insensibili
Impraticabile per funzioni non polinomiali.

Occorre separare il calcolo della derivata f’ dalla soluzione dell’equazione f’=0, cioè riconoscere la derivazione come operazione sulle funzioni (comune ai metodi di Leibniz e Newton).

René Descartes

La Haye, 1596 – Stoccolma,  1650

Primi studi al collegio dei gesuiti di La Flèche
1616 laurea in legge all’Università di Poitiers
viaggi in Europa
1619 entra nell’esercito bavarese
1620-28 viaggi in Europa (anche in Italia), risiede soprattutto in Olanda
la sua prima opera di fisica Le monde (trattato sulla luce) resta inedita per i suoi timori dopo la condanna di Galileo
1637 pubblica a Leida il Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences, con i tre saggi Diottrica, Meteore (sulla meteorologia), Geometria in appendice
1644 pubblica ad Amsterdam i Principia Philosophiae
164-48 frequenti viaggi a Parigi
1649 invito della Regina Cristina di Svezia per lezioni

La Géométrie

Seguendo le parole di Descartes, si deve “fare attenzione a quello che essi praticavano piuttosto che a quello che dicevano”.

• Opera di circa 100 pagine, in francese (1649 prima edizione in latino), manca il nome dell’autore
• Necessita di vari prerequisiti (geometria euclidea, calcolo algebrico): Descartes stesso prevede che non saranno in molti a capirla (e soprattutto ad accettarla), malgrado la diffusione materiale dell’opera
• Dagli anni sessanta si può ritenere che i metodi siano compresi dalla maggior parte degli studiosi (fuori dall’Italia)
• Con i primi due saggi cerca di dimostrare la superiorità del suo metodo e ritiene di averlo ottenuto con la Géométrie

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• Generalità del metodo cartesiano
• Dà alla geometria i caratteri di astrazione e di universalità che la distinguono dalla matematica antica
• Presupposto necessario al nuovo calcolo di Leibniz e Newton

Le regole del metodo

I: Non accettare mai per vera nessuna cosa che non conoscessi con evidenza esser tale
II: Dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti [analisi]
III: Condurre con ordine i miei pensieri , cominciando dagli oggetti più semplici e più facili da conoscere, per salire a poco a poco [deduzione]
IV: Procedere in ogni caso a enumerazioni così complete e a rassegne tanto generali da essere certo di non aver omesso assolutamente nulla

Lo scopo “non è dunque di insegnare qui il metodo che ciascuno deve seguire per ben condurre la propria ragione, ma solamente di mostrare in che modo ho condotto la mia”.

“…tra tutti quelli che hanno cercato finora la verità nelle scienze, solo i Matematici sono riusciti a trovare alcune dimostrazioni, cioè alcune ragioni certe ed evidenti”

Libro primo:
Tutti i problemi di geometria possono facilmente esser riportati a termini tali che poi, per costruirli, non c’è da conoscere che la lunghezza di alcune linee rette.

Come l’aritmetica si basa sulle operazioni, così si deve operare in geometria; parte dalle costruzioni geometriche più semplici: somma e differenza di lunghezze, prodotto
                                                         AB unità; si cerca il prodotto tra

BD e BC: si unisce A a C, si traccia DE

                                                          parallela a CA, BE è il prodotto cercato

estrazione di radice quadrata
                                         radice di GH: prolunga di FG unità, divide
FH in due parti uguali, in K traccia
_______________          circonferenza di raggio FK, GI è la
radice cercata

Spesso non è necessario tracciare in tal modo queste linee sulla carta, ma basta designarle con lettere, una per ciascuna di esse. Così per aggiungere la linea BD a GH chiamo l’una a e l’altra b, e scrivo a+b …

Tutte le espressioni sono simili, cioè a2 non rappresenta più un’area, o b3 un volume, ma solo segmenti lunghi a2 o b3 volte l’unità.

La soluzione dell’equazione di secondo grado:

Pierre de Fermat

Beaumont-de-Lomagne, 1601 – Castres, 1665

Primi studi, probabilmente, con i Francescani.
Frequenta l’Università di Tolosa, poi si reca a Bordeaux dove inizia lo studio della matematica, in particolare delle opere di Apollonio.
Fu avvocato e consigliere del Parlamento a Tolosa.
Primi risultati sulla caduta dei corpi, malgrado lo scarso interesse per la fisica.
Prima del 1636 giunge ad affermare che
Ogniqualvolta in un’equazione finale compaiono due quantità incognite si ha un luogo, l’estremità dell’una descrivendo una linea retta o curva.
Pubblicò pochissimo, ma si ritrovano nei suoi scritti molte osservazioni importanti relative alla nascita della geometria delle coordinate, la geometria analitica.
Opera più nota: Metodo per trovare i massimi e i minimi. 

Il problema delle tangenti:

La ricerca delle tangenti alle curve era stata studiata fin dall’antichità classica:
Apollonio: tangenti alle sezioni coniche
Archimede: tangenti alla spirale

Con la geometria cartesiana il problema delle tangenti si pone come la questione decisiva della nuova teoria: “problema più utile e generale”

antichi: curva = costruzione geometrica (es. circonferenza, quadratrice,..)
se ne trovano le varie proprietà: tangente, quadratura degli spazi racchiusi, centri di gravità, dopo Fermat anche l’equazione algebrica
esistono solo curve “nominate”
ogni curva va esaminata a sè

Descartes: curva = equazione
Da questa si studiano le proprietà (tra cui la possibilità di costruirla con gli strumenti tradizionali, riga e compasso)
infinite curve
unico metodo per studiarle

Descartes: metodo per costruire non la tangente bensì la normale ad una curva (scelta legata probabilmente al ruolo che la normale ha nei fenomeni ottici)
metodo algebrico, difficile se l’equazione contiene radicali

Fermat: metodo delle tangenti basato sulla teoria dei massimi e minimi, fondamentale è l’osservazione, già in Keplero, che in un intorno di un massimo le variazioni sono insensibili
Segmento da dividere in due parti il cui prodotto (area del rettangolo) sia massimo
a punto di massimo per f(x), e è molto piccolo
f(a) ~ f(a+e) quindi a(b-a)~(a+e)(b-a+e)   prodotto
0~e(b-2a)-e2                  semplificazione
0~b-2a-e                        divisione per e
relazione vera approssimativamente, tanto più quanto più piccolo è e, diventa esatta per e=0, da cui a=b/2 (quadrato)
anch’esso impraticabile per funzioni non polinomiali, ma più generale,  e di maggiore ispirazione per le teorie successive

tendenza ai metodi analitici, abbandono dei metodi geometrici: si passa dalla ricerca di un metodo alla ricerca di regole per manipolare le equazioni (vari autori)
ricerca della sottotangente, naturale per la geometria, non dal punto di vista analitico
importanza della notazione e del simbolismo

fine ‘600: vari metodi simili tra loro, limitati dalla complessità dell’equazione
si opera sull’equazione F(x,y)=0, non sul polinomio (o sulla funzione) F(x,y)
questo passaggio fondamentale richiede l’affermarsi del concetto di funzione come concetto centrale; avverrà solo nel ‘700, con una definizione abbastanza ampia da contenere le funzioni conosciute ma al tempo stesso abbastanza precisa da poterle ‘maneggiare’ con gli stessi metodi

problema delle quadrature, dall’antichità classica è il primo che affrontano gli studiosi; applicazioni tra l’altro alla ricerca del centro di gravità delle figure

Galileo, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze 1638, dai suoi studi Cavalieri, Geometria 1635
Comune a Descartes il desiderio di superare il metodo specifico e i casi particolari, cercando di stabilire teoremi per classi generali, curve generiche per D., figure per C., che privilegia la generalità alla precisione dei concetti

Approssimazioni di p per la quadratura del cerchio
Quadratura dell’iperbole, relazione con i logaritmi