Teoria degli insiemi da Cantor alla matematica moderna

 

La teoria degli insiemi, da Cantor alla "matematica moderna".
Considerazioni attuali e brevi riflessioni sulla didattica.

Giorgio Ottaviani

Introduzione

La figura di Cantor (1845 - 1918) è particolare nella storia della matematica. Con una semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti  per due aspetti, cioè per avere introdotto "la teoria degli insiemi", e per essere stato poco compreso nel suo tempo.
In realtà il concetto di insieme è presente da sempre nella matematica. Precisamente Cantor ha sviluppato il concetto di corrispondenza biunivoca tra insiemi (finiti o infiniti), che porta alla definizione dei numeri cardinali infiniti.
La sua opera porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più importante è che ci sono diversi gradi di infinito. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.

Cantor nasce a San Pietroburgo, in Russia, dove seguirà le scuole elementari. A 11 anni si trasferisce con la famiglia in Germania.
Lavora isolato, l’unico matematico con cui ha contatti epistolari continuativi è Dedekind, mentre sono rimasti celebri i suoi contrasti intellettuali con Kronecker.
Non riuscì mai a spostarsi dall'Università periferica di Halle. Se vogliamo azzardarci a paragonare la figura di Cantor con altri grandi personaggi dell’arte, viene subito alla mente un paragone con Van Gogh, il cui stile rivoluzionario rimase incompreso  per tutta la durata della sua vita.

La teoria degli insiemi viene presa come linguaggio fondante negli "Eléments de Mathématique" di Bourbaki (dagli anni '30 in poi). Entra prepotentemente nella didattica negli anni '60. Si tratta di un linguaggio con cui si vuole permeare tutta la matematica dalle fondamenta, che corrisponde in campo pedagogico allo strutturalismo (Piaget). Il titolo degli "Eléments de Mathématique" sembra modesto, in realtà è ambizioso perché si riferisce agli elementi di Euclide.
Nel primo libro degli “ Eléments de Mathématique” si introducono concetti diventati poi di uso corrente, come unione, intersezione, funzione (iniettiva e suriettiva), relazione di equivalenza.
Si tratta di un libro senza figure, questo è un fatto da sottolineare. Le figure con cui gli insiemi entrano nella didattica sono abbastanza povere dal punto di vista concettuale (si pensi ai diagrammi di Eulero-Venn), ma hanno un valore didattico importante. Ricordiamo che il concetto di relazione di equivalenza è alla base della classificazione di oggetti rispetto a certe proprietà, che è uno dei motori principali su cui si fonda il nostro pensiero.

Negli anni ’60 gli insiemi compaiono nei libri di testo con l’introduzione della cosiddetta matematica moderna.
L' introduzione nei programmi scolastici della “matematica moderna”, soprattutto in Francia, ma anche negli Stati Uniti, Unione Sovietica ed altri paesi (compresa  l’Italia)  ha avuto la sua massima diffusione negli anni ‘70 per poi  ammorbidirsi pochi anni dopo, a causa soprattutto dei molti insuccessi. Oggi rimangono in tutti i libri uno o più capitoli di teoria degli insiemi ed occorre scegliere se farne un uso "minimale", cioe' limitarsi alle prime definizioni indispensabili, o approfondire meglio alcuni aspetti. Speriamo in queste poche pagine di chiarire che questa scelta va effettuata in funzione degli obiettivi che ci poniamo, che naturalmente cambiano a seconda della classe e degli studenti che abbiamo.

La "matematica moderna"

Col nome di matematica moderna che, è bene intendersi, è ormai desueto, si intendeva una fondazione formale basata sulla teoria degli insiemi, su cui si sviluppano le relazioni (d’ordine, d’equivalenza), le funzioni, l’algebra astratta e poi la geometria e l’analisi. A titolo d’esempio riportiamo come veniva definito un  angolo nel piano E in un manuale per il liceo francese del 1971, senza alcuna figura.

Teorema e definizione
Qualunque siano le coppie (D1, D2) e  (D1’, D2’) di semirette vettoriali di E la relazione:
“  esiste una rotazione vettoriale f di E tale che f(D1)= D1’ , f(D2)= D2’  ”
è una relazione di equivalenza in DxD, dove D rappresenta l’insieme delle semirette vettoriali di E. Una classe di equivalenza per questa relazione viene chiamata angolo di due semirette vettoriali di E.

La definizione è rigorosa (i critici pensino che la rotazione vettoriale era a sua volta definita come composizione di due simmetrie assiali), ma il concetto di angolo rimane lontano. Questo esempio fa capire a qualunque persona che abbia provato ad insegnare matematica i motivi degli insuccessi, senza ulteriori commenti. Questo approccio puo' essere adatto ad un corso fondazionale a livello universitario, ma non per il livello dei licei odierni. Naturalmente l'esempio scelto rappresenta un caso limite, e molti aspetti della matematica moderna hanno portato invece un vento di rinnovamento positivo. Per spezzare una lancia in favore della matematica moderna, occorre comparare con quest’ultima alcuni testi attuali di calcolo letterale (camuffato col nome improprio di algebra) che propongono pagine e pagine di esercizi ripetitivi  e meccanici e che non rendono un servizio migliore.

Occorre subito sfatare il mito che il linguaggio della teoria degli insiemi porti con sè immediatamente dei nuovi contenuti interessanti. O meglio, i contenuti interessanti ci sono, ma occorre fare parecchia strada per apprezzarli. Spieghiamoci meglio: il linguaggio con cui si esprimono i risultati più rivoluzionari di Cantor (si veda in seguito) è proprio quello della teoria degli insiemi. Si può quindi credere a prima vista che con l’introduzione didattica degli insiemi si possano far intravedere agli studenti risultati interessanti, che altrimenti non sarebbero stati alla loro portata. In realtà negli esempi elementari si trattano soprattutto insiemi finiti, e si corre il rischio di studiare il linguaggio come fine a se stesso, senza applicazioni stimolanti. Ad esempio, approfondire le funzioni iniettive e suriettive costituisce un'utile palestra logica, ma non fa balenare nuove scintille e nuove possibilità di soluzione di problemi, come possono fare invece i sistemi di due equazioni in due incognite, o gli angoli inscritti in una circonferenza, o lo studio dei massimi e minimi di una funzione. L'aspetto "rivoluzionario" di Cantor puo' essere compreso a pieno solo da uno studente universitario.

La seguente citazione provocatoria di Prodi sottolinea come il concetto elementare di insieme sia stato da sempre sottinteso nell’insegnamento.

G. Prodi (1971): “Questa “insiemistica” rischia spesso di provocare polemiche inutili, tanto più che molte volte i termini della discussione non sono affatto chiari. Molti innovatori rendono un pessimo servizio alla loro causa presentando l’insiemistica come una teoria rivoluzionaria. In realtà, se la teoria degli insiemi è stata rivoluzionaria, non lo è stata certo a livello elementare. Penso che il numero intero da che mondo è mondo sia sempre stato introdotto attraverso gli insiemi. Nessuna maestra ha mai presentato il numero cinque senza presentare cinque ciliegie, cinque castagne, ecc.
Prodi succesivamente ravvisa una utilità dell’insiemistica nella didattica in almeno due punti:

a) formazione pre-logica e pre-grammaticale del bambino
b) l’insegnamento della matematica non si restringe più a una visione utilitaristica, che vede la matematica unicamente finalizzata ai problemi della vita pratica, ma acquista un ampio compito formativo

Come è cambiata la didattica e cosa rimane

Cerchiamo di sottolineare alcune delle ricadute didattiche dell’introduzione del linguaggio degli insiemi nell’insegnamento della matematica:

• Aspetto cardinale del numero prende maggiore importanza sull'aspetto ordinale, sin dalle elementari.
• Maggiore attenzione alla costruzione delle varie classi di numeri.
• Passaggio concettuale dal numero alla struttura, si ripensi a quanto si è detto sulla relazione di equivalenza.
• Si creano varie gerarchie di strutture. Ad esempio gruppi, anelli, campi sono strutture algebriche tutte costituite da

 un insieme+ qualcosa.................

• In geometria la gerarchia di strutture dei gruppi di trasformazioni calza a pennello con un'altra rivoluzione nel pensiero matematico, che veniva da una strada parallela e indipendente, il programma di Erlangen.
• Ne fa le spese la geometria sintetica (abbasso Euclide!), che non si è più riavuta.

Vediamo più in dettaglio qualche aspetto.

Teniamo presente che nell'opinione pubblica il passaggio dal numero alla struttura non è ancora arrivato a compimento, anzi siamo lontani dalla sua comprensione. Siccome molti dei cittadini italiani che hanno oggi meno di 45 anni hanno studiato strutture matematiche durante la scuola dell’obbligo, questo la dice lunga sull'impatto delle conoscenze matematiche sulla memoria a lungo termine e sull'immagine della disciplina.
Secondo un’opinione diffusa “La matematica serve a calcolare”, da cui e’ facile ricavare il preoccupante corollario “siccome i calcoli li fa il computer, la matematica non serve a niente”. Viceversa il passaggio dal numero alla struttura aiuta a rendere attuale la matematica nella formazione di ogni cittadino.

Nel 1959 J. Dieudonné aveva lanciato nel corso di un convegno sull’insegnamento della matematica a Royaumont il provocatorio grido: “Abbasso Euclide”.
E’ oggi  paradossale pensare che la pedagogia attiva, che puntava sulle osservazioni, le esperienze, le analisi, le deduzioni abbia abbandonato proprio la geometria euclidea, che è una palestra di esercizi e costruzioni stimolanti e creativi, per il formalismo della teoria degli insiemi, dove era possibile imparare solo l’ABC, cioè poco più che il linguaggio, senza poter approfondire i risultati più significativi. Per comprendere questo momento storico è importante riflettere anche su un ruolo che la matematica ha avuto e continua ad avere: quello di selezione scolastica. La matematica moderna  appariva nuova e per la sua natura concettuale non aveva bisogno di prerequisiti culturali. Quindi sembrava più “democratica”  in un momento in cui nel mondo occidentale si allargava la scolarizzazione. Infatti i genitori stessi non la conoscevano, indipendentemente dalla classe sociale, e non potevano aiutare i propri figli, mentre la conoscenza del latino o del greco in famiglia  è una discriminante molto forte per il rendimento dello studente in queste materie. Questo spiega perchè proprio in Francia  la riforma scolastica della matematica moderna si è sviluppata dopo il Maggio ‘68.
Abbiamo fatto questo accenno perchè permette di comprendere meglio alcuni sviluppi successivi, molto attuali. Infatti l’assiomatica "moderna" della geometria, basata sulla geometria delle trasformazioni, è stata rivisitata da alcuni libri di testo in Italia (in particolare dal testo di Prodi) e ricondotta nel contesto scolastico.

A partire dagli anni ‘70 c'e' un momento di "riflusso", abbastanza violento. Ci fu una netta presa di posizione di Renè Thom (medaglia Field nel 1958) contraria all'introduzione didattica della teoria degli insiemi. In Italia De Finetti, che tra l’altro fu anche presidente della Mathesis, parlerà di "insiemificazione" e poi di "insiemistificazione".
Gli insiemi scompaiono dai programmi di insegnamento francesi, non da quelli italiani. Un  libro americano titolava "Perché Johnny non sa contare", sostenendo che dopo l'introduzione della matematica moderna gli studenti americani non sapevano più le tabelline, e quindi non sapevano più contare.

Thom sosteneva che l'esagerazione nell'uso del linguaggio insiemistico portava ad una eccessiva astrazione, a scapito dell'intuizione, e anche a scapito del collegamento tra matematica e realtà. La seguente citazione di Thom è esemplare, soprattutto se confrontata con le precedente definizione di angolo:
Non si è ricavata, credo, dall’assiomatica di Hilbert (della geometria auclidea) la vera lezione in essa contenuta: si accede al rigore assoluto solo eliminando il significato; il rigore assoluto è possibile soltanto e per mezzo di tale abbandono di significato. Ma se si deve scegliere tra rigore e significato, scelgo quest’ultimo senza esitare.

 

 E' importante guardare le cose con serenità dopo questo momento di “riflusso”,  anche troppo violento.

Rimane importante conoscere:
1) come si sviluppano gli insiemi nella matematica
2) perché sono stati introdotti gli insiemi come linguaggio nella scuola
3) come si sviluppa nella didattica il motivo "dal numero alla struttura" e quali sono i suoi limiti

A mio avviso gli insiemi permettono di avere un linguaggio di base fondamentale, ma occorre tenere presente che ci sono altri linguaggi (geometrico a livello elementare, categorie a livello più avanzato) altrettanto importanti. E' riduttivo presentare gli insiemi come il fondamento di tutta la matematica.

Il nuovo vocabolario della teoria degli insiemi contiene le voci seguenti:
Numero cardinale = Classe di equivalenza secondo l’equipotenza ( corrispondenza biunivoca )
Addizione = Unione tra insiemi disgiunti
Zero = Insieme vuoto
Moltiplicazione = Prodotto cartesiano

C'è un esempio famoso di Russell del cameriere che vuole sapere se in un cassetto il numero dei coltelli è uguale al numero delle forchette. Si può trovare la risposta senza contare separatamente i coltelli e le forchette, cioè senza sapere quanti sono. Basta prenderli a coppie, e non è necessario saper contare. L’ordine per Russell non era essenziale per il concetto di numero. Dal punto di vista logico, anzi, si poteva considerare come “una sovrastruttura insignificante, una complicazione non necessaria” (1919)

Studi più recenti (si veda Dehaene: Il pallino della matematica) hanno stabilito che nello sviluppo del bambino il concetto di numero è anteriore a quello di corrispondenza biunivoca. Quindi il vocabolario precedente rimane utile a livello di fondazione della matematica e di ricerca del rigore, ma il suo valore didattico è stato ridimensionato.

Sottolineiamo come i sistemi di numerazione in basi diverse da 10, permettono di capire meglio il ruolo dello zero.
Sottolineiamo anche come la proprietà commutativa della moltiplicazione possa essere bene inquadrata nella
rappresentazione grafica del prodotto cartesiano ( se si somma per righe o per colonne i punti di un quadrato 3x5 si ottiene che 3+..+3 (5 volte) è uguale a 5+..5 (3 volte). In questo caso la teoria degli insiemi fornisce solo un supporto di linguaggio a rappresentazioni grafiche già presenti nella didattica.

Nell’educazione matematica che abbiamo ricevuto a loivello universitario gli insiemi hanno avuto un posto centrale come linguaggio, ma la loro importanza trascende il linguaggio. Molte delle strutture matematiche fondamentali sono costruite come

INSIEME + QUALCOSA

Spazio topologico: insieme+ collezione di aperti

Varietà differenziabile: insieme+ atlante differenziabile

Gruppo: insieme + operazione con certe proprietà

Anello: Insieme con due operazioni con certe proprietà

E' questo il punto di vista strutturalista di Bourbaki, ma anche in questo caso la piena comprensione di questo punto di vista è possibile solo a livello universitario.

Gli insiemi prima di Cantor

Per dimostrare che gli insiemi non sono stati inventati da Cantor, ricordiamo che in vari punti degli Elementi di Euclide è presente il concetto di insieme, anche di insiemi infiniti, ad esempio nei libri aritmetici:

Libro VII Prop. 21
I numeri primi tra loro sono i più piccoli fra quanti abbiano tra loro a due a due lo stesso rapporto

Euclide prende l'insieme delle coppie di numeri che hanno tra loro lo stesso rapporto, è un insieme infinito, e  ne considera il minimo.
L'insieme è ad esempio:
{(5,3), (10,6), (15, 12), (20, 16), ..............}
Manca naturalmente il nome di insieme, ma non è l'abito che fa il monaco, il concetto di insieme è già presente  in questa proposizione .

La proposizione successiva di Euclide mostra il viceversa, cioè

Libro VII Prop. 22
I numeri più piccoli, fra quanti abbiano tra loro a due a due lo stesso rapporto, sono primi tra loro.

I risultati pubblicati da Cantor

Cantor, Dedekind e Kronecker danno luogo ad un aspro dibattito culturale a metà dell’800.
Cantor introduce concetti nuovi e rivoluzionari, osteggiati da Kronecker. E’ facile leggere il confronto in chiave progressismo-conservazione, ma sarebbe sbagliato idealizzare queste categorie in chiave moderna. Si tratta di capire i motivi dell’ostilità di Kronecker. La frase più celebre di Kronecker “Dio creò i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”, è ancora tremendamente attuale nel dibattito filosofico.

Cantor pubblica su Math. Ann. 1872 un lavoro che contiene l'assioma di continuità della retta, come ponte tra analisi e geometria.
Poi nel 1874 arriva il suo risultato forse più celebre:  i numeri reali non sono numerabili. Celebre anche per il metodo di dimostrazione, il metodo diagonale.

Per la prima volta si trovano diversi gradi di infinito  (primo shock), ma le conseguenze vanno ancora oltre: i numeri razionali e i numeri algebrici sono numerabili, i numeri reali no, in particolare esistono numeri trascendenti senza nemmeno doverne costruire uno! (dimostrazione di esistenza, non costruttiva)

A questo punto l'apparato tecnico dei diversi gradi di infinito viene messo alla prova con la geometria.
In particolare il piano e la retta possono essere messi in corrispondenza biunivoca (secondo shock), questo è il famoso "Lo vedo ma non lo credo" (si veda l'appendice seguente).
Nell' articolo inviato nel 1877 al Crelle Journal e pubblicato nel 1878 si prova che retta e piano sono in corrispondenza biunivoca.

Kronecker non pubblicherà più altri lavori di Cantor sul Crelle Journal. Tra il 1879 e il 1884 Cantor pubblica in 6 parti su Mathematische Annalen una trattazione sistematica della teoria degli insiemi.
Viene osteggiato da parte del mondo accademico dell'epoca, in particolare da Kronecker. Questo non impedirà a Cantor di assumere la prima presidenza della neonata società tedesca di Matematica, dal 1891 al 1893.

A questo punto il terzo passaggio è capire se c'è qualcosa di intermedio tra i razionali e i reali, e questo è il famoso problema del continuo, che Cantor non riuscì a risolvere, ed anzi ebbe crisi depressive profonde anche a causa di questo insuccesso. Nel 1899 Cantor ebbe il suo primo ricovero per depressione. La soluzione si avrà solo nel 1963 ad opera di Cohen. Cantor aveva sviluppato ma non pubblicato i paradossi di Burali-Forti e di Russell, come è stato visto dal suo carteggio.

C'è un altro aspetto non elementare ma importante sull'infinito che vorrei ricordare prima di concludere.
Il concetto di infinito può essere introdotto, secondo Dedekind, nel modo seguente:

Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria.

Quest'aspetto era noto a Galileo che notava, per bocca di Salviati, in uno dei più famosi Dialoghi della letteratura, come la successione dei numeri quadrati
è in corrispondenza biunivoca con quella di tutti i numeri. Questo è un esempio interessante da presentare nella scuola superiore, perché fa riflettere sull'infinito.

A questo punto si osserva che un insieme è finito se non può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria.
Cioè  il  concetto di    finito  viene presentato come quello di non infinito, con una completa rivoluzione concettuale.

Appendice:
alcuni passi del carteggio Cantor- Dedekind,

Cantor a Dedekind, 5 Gennaio 1874, Brunswick

Stimatissimo professore,
ieri sera, tornando qui, ho trovato la conferenza di Klein di cui mi ha parlato e l’ho letta per intero. Concordo con le sue osservazioni e non riesco a trovarci un lato positivo. [...........]
A proposito dei problemi che mi hanno impegnato ultimamente, mi accorgo che, nello stesso ordine d’idee, si presenta anche la seguente questione:
puo’ una superficie (per esempio un quadrato, frontiera compresa) mettersi in relazione univoca con una curva (per esempio un segmento di retta, estremi inclusi) in modo tale che ad ogni punto della superficie corrisponda un punto della curva e, inversamente, ad ogni punto della curva uno della superficie? Mi pare, ancora adesso, che la risposta a trale questione presenti grosse difficoltà benché, anche in questo caso, si sia talmente inclini a una risposta negativa, da ritenere superflua una dimostrazione.[...]

 

Cantor a Dedekind, 18 Maggio 1874

A Berlino, un amico - cui ho esposto la stessa difficoltà, mi ha dichiarato che la cosa era per così dire assurda, perché è chiaro che due variabili indipendenti non possono ridursi a una sola.[...]

 

Cantor a Dedekind, 20 Giugno 1877

Desidererei sapere se ritiene che un metodo dimostrativo da me applicato è aritmeticamente rigoroso.
Si tratta di far vedere che le superfici, i volumi e anche le varietà continue a r dimensioni possono mettersi in corrispondenza univoca con curve continuie, dunque con varietà a una sola dimensione. [...]. Questa opinione sembra opposta a quella generalmente accettata, soprattutto fra i rappresentanti della nuova Geometria,[...].

 

Dedekind a Cantor, 22 Giugno 1877, Halle

La sola obiezione che possa per ora trovare alla sia interessante argometazione, e che lei forse scarterà facilmente è la seguente. Lei dice “ogni numero x compreso tra 0 e 1 si può rappresentare in uno e in un sol modo sotto forma di frazione decimale infinita”. Il fatto che lei abbia sottolineato la parola infinita mi lascia supporre che escluda il caso di una frazione finita

 

Cantor a Dedekind, 23 Giugno 1877

Sfortunatamente, lei ha perfettamente ragione con la sua obiezione. Fortunatamente, essa riguarda la dimostrazione, non la cosa in sè. In effetti, dimostro in un certo modo più di quello che vorrei dimostrare.

 

Cantor a Dedekind, 25 Giugno 1877

Anch’io avevo creduto creduto a tale ipotesi {un segmento e un quadrato non si corrispondono}, persuaso della sua esattezza. [...]. La maggior parte di quelli cui ho sottoposto la questione si sono meravigliati molto che abbia solo potuta porla, perchè si comprendeva da sé. Chi però penetrava il senso della questione era costretto a riconoscere che occorreva almeno dimostrarla, perchè la risposta fosse evidentemente no. Come ho già detto, facevo parte di quelli che ritenevano verosimile una risposta negativa fino al momento recentissimo in cui, con una successione molto complessa di pensieri, sono arrivato alla convinzione che la risposta fosse affermativa, senza restrizione alcuna. Poco dopo trovai la dimostrazione che lei ha oggi sotto gli occhi. Si vede qui quale forza prodigiosa ci sia nei numeri reali abituali - razioneli e irrazionali - che permette di determinare in modo univoco, mediante una sola coordinata, gli elementi di una molteplicità continua r volte estesa.

 

Cantor a Dedekind, 29 Giugno 1877

La prego di scusare il mio zelo per quest’affare, se faccio così spesso appello alla sua bontà e condiscendenza. Ció che le ho comunicato recentemente è così inatteso per me e così nuovo che non potrei, per così dire, arrivare a una certa tranquillità di spirito prima di ricevere, molto stimato amico, il suo giudizio sulla sua correttezza. Fintanto che non mi avrà approvato non posso dire: je le vois, mais je ne le crois pas ([lo vedo ma non lo credo]). Per tale motivo, la prego di inviarmi una cartolina postale per dirmi quando potrebbe aver terminato l’esame della questione e se posso contare su di lei per vedere esaudita la mia domanda, certamente molto esigente.

 

Dedekind a Cantor, 2 Luglio 1877, Halle

Ho esaminato ancora una volta la sua dimostrazione e non vi ho trovato lacune; sono convinto che il suo interessante teorema è corretto e le faccio le mie felicitazioni.[...]

 

La lettera del 29 Giugno 1877 è rimasta famosa proprio per il passo: “Lo vedo ma non lo credo”.
Attraverso questa discussione entriamo in pieno a comprendere cosa è lo strutturalismo in matematica e in pedagogia. In quest’ottica (Klein) ci sono strutture ricche e strutture povere. Gli insiemi sono la struttura più povera di tutte! Come matematici questo ci aiuta a capire il concetto stesso di strutturalismo. Infatti siamo abituati che per capire un concetto, lo si porta alle sue estreme conseguenze. Così, tra tutte le strutture,  un insieme da solo significa: nessuna struttura! Questa lettura  storica serve anche a capire come non sia affatto naturale parlare di insiemi più qualcosa, cioè proporsi di arricchire la struttura di insieme. Infatti la difficoltà incontrata nell'Ottocento ad immaginare il piano come insieme, era che si sapeva già cosa è il piano, e si doveva impoverirlo, cioè l'insieme era dato da una struttura (già nota) meno qualcosa!  L’incredulità dei contemporanei di Cantor, e dello stesso Cantor, a credere che il piano sia in corrispondenza biunivoca con la retta è dovuta al fatto che la continuità di una funzione era data per scontata. Ed infatti non deve meravigliarci che ancora oggi la continuità è un concetto che crea difficoltà nell’apprendimento.

 

Bibliografia minima:
L. Lombardo Radice, L’infinito, Editori Riuniti
M. Pellerey, Oltre gli insiemi, Tecnodid, Napoli, 1989
Georg Cantor e Richard Dedekind: lettere 1872 – 1899, PRISTEM/Storia
Note di Matematica, Storia, Cultura 6