Variabili casuali

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Variabili casuali

LE VARIABILI CASUALI

In molti fenomeni aleatori il risultato di un esperimento è una grandezza che assume valori in modo casuale. Pensa ad esempio al numero di auto che si presentano ad un casello autostradale in un dato intervallo di tempo, al numero “X” nella schedina del totocalcio, al guadagno che un giocatore può realizzare in un certo numero n di partite. Come sappiamo, in una data prova non si può conoscere quale valore assumerà la nostra variabile casuale; ma se conosciamo tutti i possibili valori che la nostra variabile può assumere e le loro rispettive probabilità di presentarsi, allora possiamo dire di conoscere la variabile aleatoria (=casuale)! Vediamo ora qualche definizione:

VARIABILE CASUALE. Si definisce variabile casuale una funzione dello spazio degli eventi che ad ogni evento, appartenente ad una partizione di , associa uno e un solo numero reale.

Una variabile casuale si dice:

DISCRETA se può assumere un numero finito o un’infinità numerabile di valori;
CONTINUA se può assumere tutti i valori di un intervallo limitato o illimitato.

Notazione: solitamente si indicano con la lettera maiuscola (X,Y,…) le variabili casuali e con la minuscola i valori che esse assumono (x_i,y_i,…). Tali valori x_i,y_i,…vengono chiamati anche “determinazioni” o “realizzazioni” della variabile.

N.B. Usiamo indifferentemente come sinonimi “variabile casuale” e “variabile aleatoria”!

La nostra trattazione d’ora in poi riguarderà soltanto le variabili casuali discrete.

VARIABILI CASUALI DISCRETE

Ad ogni valore x_i si fa corrispondere il valore p_i della probabilità dell’evento al quale x_iè associato:

DISTRIBUZIONE DI PROBABILITà. Si definisce distribuzione di probabilità della variabile casuale discreta X, l’insieme dei valori x_i e dei valori p_i ad essi associati.

La distribuzione di probabilità può essere rappresentata con una tabella e con un grafico (diagramma a bastoncini).

N.B. poiché gli eventi costituiscono una partizione di .

Abbiamo visto, nel nostro breve corso di statistica descrittiva, come sia possibile calcolare le frequenze cumulate relative di una variabile. Scopriamo ora che nel caso di una variabile aleatoria la probabilità cumulata assume un’importanza fondamentale!

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE: Si chiama funzione di ripartizione di probabilità della variabile casuale X una funzione F(x) che è uguale, per ogni valore della x, alla probabilità che X assuma un valore minore o uguale a x, cioè:

Ovvero:

per si ha F(x)=0

per si ha F(x)=p₁

per si ha F(x)=p₁+p₂

………………………………………………………

per si ha F(x)=p₁+p₂+………….+p_n=1

N.B.

Ora che abbiamo messo tanta carne al fuoco, vediamo un semplice esempio.

ESEMPIO. Nell’esperimento del lancio di due dadi si consideri la variabile casuale X che assegna a ciascun lancio il massimo fra i valori delle due facce.

FUNZIONE DI PROBABILITà

X	P(X=x)
1	1/36
2	3/36
3	5/36
4	7/36
5	9/36
6	11/36
	1

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

X	F(X)
1	1/36
2	4/36
3	9/36
4	16/36
5	25/36
6	36/36

VALORI DI SINTESI DELLE VARIABILI CASUALI DISCRETE

MODA

Si definisce moda di una variabile casuale discreta X quel valore di X per cui è massima la funzione di probabilità.

MEDIANA

La mediana di una variabile casuale discreta X è quel valore x_m di X tale che:

In modo analogo può essere ricavato qualsiasi percentile x_p di X. Ad esempio, il 25 percentile (detto PRIMO QUARTILE) di X sarà quel valore x_0.25 di X tale che:

VALOR MEDIO (detto anche VALORE ATTESO o SPERANZA MATEMATICA)

Sia X una variabile casuale discreta avente la seguente distribuzione di probabilità:

X	P(X=x)
x₁	p₁
x₂	p₂
…….	…….
…….	…….
…….	…….
x_i	P_i
…...	…….
…….	…….
x_n	p_n
	1

Si definisce valore medio (o valore atteso, o speranza matematica) di X:

Il valore medio di una variabile casuale discreta è dunque la media aritmetica ponderata dei suoi valori pesati per le rispettive probabilità.

Vediamo ora brevemente alcune proprietà del valor medio:

PROPRIETà I

Se a è una costante reale, allora:

PROPRIETà II

Se a e b sono costanti reali, allora:

PROPRIETà III

Il valore atteso della somma di due variabili casuali X e Y è uguale alla somma dei valori attesi delle singole variabili:

Dalle proprietà I e III: se e X e Y sono due variabili casuali, allora

SCARTO QUADRATICO MEDIO e VARIANZA

Si definisce varianza di una variabile casuale il valore atteso del quadrato degli scarti dal valore atteso:

Nel caso discreto: dove

Inoltre, come sappiamo, esiste un metodo rapido per il calcolo della varianza:

Vediamo ora brevemente alcune proprietà della varianza:

PROPRIETà I

Se a e b sono costanti reali, allora:

PROPRIETà II

Se X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti, allora:

Per concludere, ricordiamo che lo scarto quadratico medio di una variabile casuale è la radice quadrata della varianza.

Fonte: http://www.galileicrema.it/intraitis/documenti/MaterialeDidattico/LE%20VARIABILI%20CASUALI.doc

Sito web da visitare: http://www.galileicrema.it/

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