Carga y descarga de un condensador

Carga de un condensador

Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito.
En el circuito de la figura tendremos que la suma
Vab+Vbc+Vca=0

El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm Vab=iR La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativa c, de modo que Vbc=q/C. El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativo c, de modo que Vca=-Ve , donde Ve es la fem de la batería

La ecuación del circuito es
iR+q/C-Ve =0
Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar


Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo

La carga tiende hacia un valor máximo C·Ve al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.
La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando el condensador adquiere la carga máxima.
La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial.
Un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte es la analogía hidráulica de la carga de un condensador.

Balance energético

• La energía aportada por la batería hasta el instante t es

• La energía disipada en la resistencia hasta el instante t es

• La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico es

Comprobamos que Eb=ER+EC. Parte de la energía suministrada en la batería se disipa en la resistencia, y otra parte se acumula en el condensador.
Cuando se completa el proceso de carga t→∞, la mitad de la energía suministrad por la batería se disipa en la resistencia y la otra mitad se acumula en el condensador.
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C=1.5 mF en serie con una resistencia de R=58 kW y una batería de Vє=30 V. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms

• La carga del condensador es

• La intensidad es

• La energía suministrada por la batería es

• La energía disipada en la resistencia es

• La energía acumulada en el condensador es

Cuando se completa el proceso de carga t→∞,

• La carga del condensador es

q=CVє=1.5·10-6·30=45μC

• La energía suministrada por la batería es

Eb=13.5·10-4 J

• La energía acumulada en el condensador es

Ec=6.75·10-4 J

• La energía total disipada en la resistencia es

ER=6.75·10-4 J
:

Actividades

Se introduce

• La capacidad C del condensador, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Condensador
• La resistencia R, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Resistencia
• La fem Vede la batería está fijada en el valor de 10

Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa la carga del condensador, su color pasa gradualmente de blanco (sin carga) a rojo (carga positiva) y azul (carga negativa). A la derecha del applet, se traza la gráfica de la carga q y de la intensidad i en función del tiempo.
Observar

• que la carga máxima no depende de la resistencia R,
• que la intensidad máxima no depende de la capacidad C

Elegir dos valores de la resistencia R1 y R2 y dos valores de la capacidad C1 y C2 de modo que R1·C1=R2·C2.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Descarga de un condensador

Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I.
La ecuación del circuito será la siguiente.
Vab+Vba=0

Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a es más alto que el potencial de b. Por la ley de Ohm Vab=iR. En el condensador la placa positiva a tiene más potencial que la negativa b, de modo que Vba=-q/C.

La ecuación del circuito es
iR-q/C=0
Como la carga disminuye con el tiempo i=-dq/dt. La ecuación a integrar es

La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad, en el sentido indicado en la figura.

que disminuye exponencialmente con el tiempo.
La descarga tubo-capilar es la analogía hidráulica de la descarga del condensador.

Balance energético

• La energía inicial del condensador es

• La energía disipada en la resistencia hasta el instante t es

• La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico en el instante t es

Comprobamos que Ec=E0-ER. La energía en el condensador se disipa en la resistencia. Cuando se completa el proceso de descarga t→∞, toda la energía almacenada en el condensador se ha disipado en la resistencia
Ejemplo: 
Sea un condensador de capacidad C=1.5 mF en serie con una resistencia de R=58 kW cargado inicialmente con Q=45μC. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms

• La carga del condensador es

• La intensidad es

• La energía almacenada inicialmente en el condensador es

• La energía disipada en la resistencia es

• La energía acumulada en el condensador es

Actividades

Se introduce

• La capacidad C del condensador, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Condensador
• La resistencia R, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Resistencia
• La carga inicial Q del condensador se ha fijado en el programa

Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa la descarga del condensador, su color pasa gradualmente de rojo (carga positiva) y azul (carga negativa) a blanco (descargado) . A la derecha del applet, se traza la gráfica de la carga q y de la intensidad i en función del tiempo.
Elegir dos valores de la resistencia R1 y R2 y dos valores de la capacidad C1 y C2 de modo que R1·C1=R2·C2. Observar como decrece la carga y la intensidad.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Carga y descarga de un condensador

Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal la fem tiene un valor constante e igual a V0. El condensador se carga durante un tiempo P/2.
La carga q1 final del condensador en el instante t=P/2 se calcula a partir de la fórmula

En el instante t=P/2 la fem se hace cero, el condensador se descarga. La carga del condensador q2 en el instante t=P se calcula a partir de la fórmula,

En el siguiente proceso de carga, la integración no es entre los límites 0 y q, sino entre la carga remanente q2 y q.

Calculamos la carga final q3 en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.

Actividades

La carga y descarga del condensador la podemos observar, introduciendo una señal cuadrada en el circuito RC, y haciendo llegar la señal resultante a un osciloscopio.
Se introducen los siguientes datos

• La resistencia R en W
• La capacidad C en mF (10-6 F)
• La fem Ve , en V
• La frecuencia f en Hz de la señal cuadrada. El periodo P es la inversa de la frecuencia, P=1/f . Por ejemplo, si la frecuencia es 2000 Hz el periodo es 0.0005 s ó 0.5 ms (milisegundos)

Se pulsa el botón titulado Gráfica