TERMODINAMICA

Prima di passare ad illustrare le macchine termiche è necessario affrontare lo studio dei fenomeni che governano la trasformazione dell’energia termica in energia meccanica; le leggi e i principi che sorreggono tali fenomeni formano l’oggetto di studio della termodinamica.
La termodinamica si occupa dei fenomeni fisici in cui intervengono variazioni sia delle grandezze meccaniche sia delle grandezze termiche.
Il volume massico, la pressione e la temperatura del corpo oggetto del fenomeno fisico non sono costanti ma dovrà essere considerata la mutua influenza fra tutte le grandezze in giuoco.
Il sistema, il contorno, l’esterno
Si dice sistema l’assieme dei corpi fisici (solidi, liquidi, aeriformi) sui quali operiamo per raggiungere uno scopo prefissato.
Se, ad esempio, riscaldiamo una data quantità di acqua, sarà tale quantità a costituire il sistema; infatti operiamo su di essa per ottenere un determinato scopo: aumentandone la temperatura.
Il sistema è, quindi, una entità fisica dotata di peso ed occuperà un certo volume limitato da una superficie chiusa che chiameremo contorno del sistema.
Lo spazio non occupato dal sistema è l’esterno.
Tale esterno non è illimitato, ma è formato solo dai corpi ad immediato contatto con il sistema e che possono interagire fisicamente con esso.
Considerando la figura individuiamo:

• il sistema (S) formato dalla massa d’acqua contenuta nel recipiente,
• il contorno (C) formato dalla superficie interna del recipiente e dal pelo libero dell’acqua,
• l’esterno (E) costituito dall’elemento riscaldante (Q), dal materiale del recipiente e dall’aria immediatamente circostante.

Esistono due tipi di sistemi:

• sistemi chiusi,
• sistemi aperti.

Un sistema si dice chiuso quando attraverso il suo contorno non vi è passaggio della materia costituente il sistema stesso,cioè il contorno è permeabile solo agli scambi di calore e lavoro fra il sistema e l’ambiente esterno.
Il concetto si può esemplificare considerando un recipiente chiuso ermeticamente (fig. a) contenente un gas: il contorno è permeabile all’energia – è possibile infatti riscaldare il gas attraverso esso – ma non è permeabile alla materia. Nella figura b il pistone, essendo mobile, può fare variare il volume del sistema ma non la massa.
In conclusione il sistema chiuso si può dilatare o comprimere ma rimane, comunque, a massa invariata, non essendo il contorno permeabile alla materia.
Diremo invece aperto un sistema quando il suo contorno (o una o più parti di esso) sono permeabili sia all’energia sia alla materia. Consideriamo nella (fig. c)  il tronco di tubazione in cui fluisce un gas: il sistema è costituito dal fluido contenuto nel tubo fra le sezioni S1 e S2, il contorno sarà individuato dalla parete interna del tubo e dalle due sezioni S1 e S2 queste appunto permeabili alla materia cioè al fluido.
Nel caso in cui il moto è permanente (stazionario) la massa del sistema rimane invariata perché nello stesso tempo attraverso la sezione S1 entra la stessa massa che esce dalla sezione S2.

Gli scambi di energia

Attraverso il contorno del sistema (chiuso o aperto) possono avvenire scambi di energia  termica o lavoro che può attuarsi in entrambi i sensi: dall’esterno al sistema e dal sistema all’esterno.
Essendo gli scambi energetici in entrambi i sensi, è necessario stabilire il segno algebrico da attribuire loro nei due casi.
Poniamo le seguenti convenzioni:

• Scambio di calore:
• Positivo se lo scambio va dall’esterno al sistema (riscaldamento);
• Negativo se lo scambio va dal sistema all’esterno (raffreddamento).
• Scambio di lavoro:
• Positivo se lo scambio ha la direzione sistema-esterno (espansione);
• Negativo se va dall’eterno al sistema (compressione).

In termodinamica gli scambi energetici vengono riferiti all’unità di massa e misurati in J/kg.

Le grandezze di stato

Lo stato fisico attuale in cui si trova un sistema sarà individuato se si conoscono i valori che in corrispondenza di tale stato assume un opportuno numero di grandezze fisiche.
In termodinamica lo stato fisico attuale di un sistema fermo nello spazio è noto quando si conoscono i valori che in corrispondenza di esso assumono: la pressione assoluta p, la temperatura assoluta T, il volume massico.
Tali grandezze prendono il nome di grandezze di stato proprio perché individuano lo stato fisico di un sistema.
Quando siano date due delle tre grandezze p, v e T la terza è univocamente determinata – può cioè assumere uno ed un solo valore- il sistema viene detto termodinamico; esisterà allora una equazione del tipo:
T = f(p,v)
che lega fra loro le tre grandezze di stato, in modo che date due di loro la terza assume uno ed un solo valore.
Tale equazione si dice equazione di stato.

Diagramma di stato (p-v), trasformazioni e cicli

Poiché per un sistema termodinamico è sufficiente conoscere due delle tre grandezze di stato, il suo stato fisico potrà essere rappresentato graficamente da un punto su un diagramma cartesiano recante sugli assi i valori delle due grandezze note.
Così, ad esempio, se di un sistema termodinamico conosciamo i valori p1 e v1 che pressione e volume massico assumono in corrispondenza di un dato stato, tale stato sarà rappresentabile su un diagramma, recante in ascisse i volumi massici ed in ordinate le pressioni, con il punto contraddistinto da 1 in figura. Il diagramma ora proposto costituisce il diagramma di stato pressione-volume massico (diagramma p-v).
Consideriamo ora il caso in cui il sistema – che si trova nello stato caratterizzato da p1, T1, v1 e rappresentato dal punto 1 – attui scambi energetici; lo stato fisico del sistema cambia continuamente finché vi è scambio di energia con l’esterno.
Quando gli scambi di energia si interrompono il sistema si troverà in uno stato fisico,  caratterizzato da p2, T2, v2, e rappresentato dal punto 2 diverso dallo stato iniziale 1; diremo allora che il sistema ha subito una trasformazione aperta.
Nel passare dallo stato 1 allo stato 2, il sistema è passato per infiniti successivi e distinti stati fisici intermedi: una trasformazione aperta è quindi la successione degli infiniti stati fisici che il sistema attraversa nel passaggio dallo stato fisico iniziale 1 allo stato finale 2 per effetto degli scambi di energia con l’esterno.
Ad ogni stato fisico corrisponde sul piano p-v  un punto: il luogo geometrico di questi

punti costituisce una linea che è la rappresentazione grafica della trasformazione aperta.

Supponiamo ora che il sistema dopo essere passato per stadi per stati fisici successivi e distinti ritorni allo stato iniziale: diremo che il sistema ha compiuto una trasformazione chiusa o ciclo.  Il sistema presenta gli stessi valori delle grandezze di stato nel punto 1 e nel punto 2.

Il gas perfetto

Per i gas in termodinamica si fa riferimento ad un modello ideale, non esistente in matura, che prende il nome di gas perfetto.
I gas esistenti in natura si dicono gas reali ed il loro comportamento si differenzia notevolmente da quello del modello costituito dal gas perfetto; l’uso di questa finzione risulta tuttavia utile in molti casi della termodinamica tecnica.
Si dica gas perfetto un gas caratterizzato dall’equazione di stato:
p v = R T
nella quale:
p = pressione assoluta
v = volume massico
R = costante caratteristica del gas in esame
T = temperatura assoluta
Il valore di R varia da gas a gas ed il suo valore dipende dalla costituzione chimica del sistema.

 

ENTALPA   ED  ENTROPIA.

Nelle considerazioni termodinamiche riesce utile introdurre l’uso di una nuova funzione di stato detta entalpia e indicata con il simbolo h.
Tale funzione viene definita dalla relazione:
h = U + pv                     (1)

L’entalpia di un sistema, per un determinato stato fisico, è data dalla somma fra l valore che in corrispondenza di quello stato assume l’energia interna e il prodotto fra la pressione ed il volume massico relativi a quello stato.
Il prodotto  pv  prende il nome di lavoro di pulsione.
Anche l’entalpia viene riferita ad un chilogrammo di sistema e misurata in  J/kg.
L’entalpia, essendo una funzione di stato, dipenderà solo dai valori assunti da p,v, T, negli estremi della trasformazione:
Dh =  h2 – h1                            (2)
L’introduzione di questa funzione di stato torna molto utile perché una delle caratteristiche principali è che se la trasformazione è isobara la variazione di entalpia eguaglia lo scambio termico:
(Q1,2)p = h2 – h1                        (3)
Il termine (Q1,2)p rappresenta lo scambio termico a pressione costante lungo la trasformazione isobara 1 2.
La dimostrazione della espressione (3) verrà esposta al 5° anno.

ENTROPIA

Se somministriamo ad un kg di sostanza lungo una trasformazione una certa quantità di calore ci aspettiamo, in genere, un aumento di temperatura.
Supponiamo, invece, che la trasformazione sia infinitesima e quindi lo scambio di calore dQ molto piccolo (al limite infinitesimo).
Dato che la trasformazione è infinitamente breve possiamo ammettere che lo scambio di calore avvenga a temperatura costante ed uguale a T  °K.
Si definisce entropia, e la si indica con la notazione  S, una funzione di stato la cui variazione infinitesima è data da:

cioè dal rapporto fra lo scambio termico elementare e la temperatura assoluta a cui avviene lo scambio.
Considerando la trasformazione finita dal punto 1 al punto 2 come somma di tante trasformazioni di ampiezza infinitesima, il Clausius definì la variazione di entropia: la sommatoria di tutti gli infiniti rapporti estesi all’intera trasformazione.
Possiamo, quindi, scrivere in termini finiti:

Dato che la temperatura assoluta è una grandezza sempre positiva: la variazione di entropia ha perciò sempre lo stesso segno dello scambio termico.
Dell’entropia (come per l’energia interna e l’entalpia) non è possibile valutare il valore assoluto, né tale ricerca interessa ai fini pratici nei calcoli termodinamici; riveste, invece, importanza la variazione di entropia che un corpo subisce durante una trasformazione perché (come vedremo in seguito) la variazione di entropia rappresenta un indice della degradazione dell’energia termica.
Cerchiamo, al momento, di dare una spiegazione dell’entropia, utilizzando delle analogie con grandezze meccaniche ed elettriche.

• Sappiamo che una variazione dell’energia potenziale può essere scritta come:

DEP = gm Dh = PDh                            (1)
in cui P  rappresenta  il peso e Dh la variazione di quota subita dal corpo per produrre lavoro.

• Egualmente, una variazione di energia elettrica può essere considerata può essere considerata come il prodotto tra il potenziale elettrico  V  e una variazione di carica elettrica DI:                                      DEe = VDI            (2)

Possiamo, quindi, concludere che, in linea generale, ogni variazione di una qualsiasi forma di energia può essere espressa come il prodotto di due fattori, un fattore intensivo (il peso P   nella formula (1) e nella (2) il potenziale V )  ed un fattore estensivo rappresentato rispettivamente nelle due formule da Dh  e  DI.
Essendo il calore una forma di energia, possiamo esprimere la sua variazione come prodotto di un fattore intensivo T  ed uno estensivo DS
DQ = T DS
L’entropia può quindi essere considerata come uno dei due fattori fondamentali nella conversione del calore in lavoro, essendo l’altro fattore costituito dalla temperatura.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA QUANTITA’ DI CALORE Q

Tenendo conto della espressione dQ=TdS, la rappresentazione grafica della quantità di calore scambiata dal fluido con l’esterno lungo una trasformazione qualsiasi si può ottenere ricorrendo alla rappresentazione dello stato fisico del fluido nel piano cartesiano, ove si scelgano per l’ascisse i valori dell’Entropia S, e per la ordinate quelli della temperatura assoluta T.
Infatti, per una trasformazione elementare lungo la quale si ha la variazione dell’entropia dS, anch’essa elementare, per lo scambio di calore dQ  potendo ritenere  costante la temperatura,
l’area della strisciolina tratteggiata in figura sarà data dal prodotto TdS, e quindi rappresenterà graficamente la quantità di calore dQ.
Così pure per una trasformazione finita che evolva il fluido fra i due stadi qualsiasi 1 e 2, la quantità totale Q di calore scambiata con l’esterno verrà data da tutta l’area (E1-1-2-E2).

Notiamo che la quantità di calore Q è positivase la trasformazione avviene con aumento dell’entropia (DS>0), è negativa, cioè sottratta al fluido, nel caso contrario (DS<0).
Concludendo, ad ogni adduzione o sottrazione di calore al fluido, lungo qualsiasi trasformazione, corrisponde una variazione positiva o negativa d’entropia; cioè a dire il fluido operante non può scambiare calore con l’esterno senza che vari il valore della sua entropia, similmente il fluido non può compiere lavoro esterno senza che nello stesso tempo vari il suo volume.
Osserviamo, infine, che, mentre l’entropia S dipende unicamente dallo stato fisico del fluido e quindi dalle grandezze caratteristiche di quest’ultimo per cui la variazione finita S2 – S1   è sempre la stessa qualunque sia la trasformazione che porti il fluido dallo stato fisico 1 allo stato fisico 2, la quantità di calore Q, scambiata dal fluido con l’esterno, non dipende soltanto dagli stati fisici estremi di esso, ma dipende anche, come il lavoro esterno, dalla particolare trasformazione eseguita dal fluido.
RENDIMENTO CICLO TERMICO

Nella pratica industriale il lavoro sviluppato da una macchina termica deve avere carattere di continuità.
Il fluido, una volta compiuta la trasformazione 1-2 (come in figura), non ha la possibilità di espandersi perché ha incrementato talmente il proprio volume massico da non essere in condizione
fig.1

di produrre altro lavoro con rendimento accettabile.
Per produrre in modo continuo lavoro bisogna riportare il fluido allo stato fisico iniziale (1) mediante una seconda trasformazione che proceda nel senso dei volumi decrescenti, percorrendo però una trasformazione inversa che segua una linea più bassa di quella descritta in figura (1).
fig.2

Seguendo la linea più bassa (2-E-1), il lavoro di compressione, uguale all’area (A-1-E-2-B), risulta minore del lavoro di espansione [area (A-1-C-2-B)].
Si può, quindi, concludere che il lavoro utile, nel diagramma p-v, è dato dalla differenza fra le due aree sottese alle rispettive linee di trasformazione, differenza che è ovviamente uguale all’area del ciclo termico.

Dalla figura 2 possiamo notare che il lavoro è tanto più grande quanto maggiore risulta l’area del ciclo stesso.
In genere per sviluppare un certo lavoro di espansione viene somministrato del calore (Q1) da una sorgente a temperatura più alta; mentre nella fase di compressione il fluido deve cedere del calore all’esterno del calore (Q2) che viene assorbito da una sorgente (refrigerante) a temperatura più bassa, seguendo la linea di trasformazione più bassa (come in figura 2).
La differenza  Q1 – Q2 = Q    fra il calore introdotto nel ciclo, ceduto al fluido (intermediario), e la quantità di calore ceduta dal fluido al refrigerante viene trasformata in lavoro per cui possiamo scrivere che:     L = Q1 – Q2
o, ciò che è lo stesso:   L = Le – Lc

• Le  lavoro di espansione,
• Lc  lavoro di compressione.

Per quanto è stato detto in questa introduzione possiamo, adesso, esporre il principio fondamentale su cui sono basate tutte le macchine termiche e cioè il secondo principio della termodinamica.
Secondo principio della termodinamica

Consideriamo la macchina termica motrice, per la sua maggiore importanza, e la definiamo come un complesso meccanico capace di trasformare in modo continuo il calore in lavoro.
Affinché possa realizzarsi la trasformazione continua di calore in lavoro sono necessari:
una sorgente a temperatura elevata (focolaio) dalla quale si deve prelevare il calore da trasformare in lavoro, un fluido intermediario, che, agendo nel complesso meccanico, compie un ciclo chiuso di trasformazioni, assorbendo lungo una o più trasformazioni calore dal focolaio, e una sorgente a temperatura bassa (refrigerante) alla quale il fluido deve cedere parte del calore ricevuto dal focolaio per poter ritornare nelle condizioni iniziali.
Il lavoro sviluppato dalla macchina (come abbiamo visto nell’introduzione) è dato dalla differenza di Q1-Q2,  ove Q1 è la quantità di calore ceduto dal focolaio al fluido intermediario e Q1 la quantità di calore ceduta dal fluido al refrigerante.
La trasformazione del calore in lavoro è accompagnata, inevitabilmente,  dal passaggio di una certa quantità di calore, sempre maggiore di zero, da alta a bassa temperatura.
L’energia termica, passando a temperatura più bassa, subisce una degradazione perché la quantità di calore Q2, restituita  dal fluido intermediario al refrigerante, non avendo più la possibilità di essere trasformata in lavoro nella medesima macchina, è da considerare perduta.
Il primo principio della termodinamica stabilisce la trasformabilità reciproca del calore in lavoro, mentre le considerazioni esposte ci permettono di asserire che  la trasformazione di calore in lavoro non può avvenire in modo completo (rendimento inferiore a 1) al contrario della trasformazione del lavoro in calore .
Attraverso i concetti esposti si perviene al secondo principio della termodinamica il quale viene a condizionare il primo principio, imponendo la necessità di due sorgenti a temperatura diversa e la inevitabile degradazione di parte della energia termica impiegata nella trasformazione del calore in lavoro.
Da quanto precede il secondo principio della termodinamica si può enunciare nel seguente modo:
In una macchina termica il calore non può mai trasformarsi interamente in lavoro meccanico, ma una parte di esso deve sempre passare da alta a bassa temperatura.

Rendimento termico ideale

In considerazione del fatto che ogni ciclo termico, percorso in senso orario, comporta l’introduzione di calore  Q1 , la perdita di calore  Q2 e la produzione di lavoro utile  L, possiamo calcolare il
rendimento di un ciclo come il rapporto fra il lavoro utile e il lavoro introdotto nel ciclo e lo chiameremo rendimento termico ideale:

ed essendo:
L = Q1 – Q2
ne segue:

La precedente relazione può essere scritta nella forma:

Da questa espressione scritta però in altri termini (ciclo di Carnot) potremo in seguito trarre interessanti conclusioni.
Al momento ci limitiamo a dire l’ovvia conclusione che all’aumentare della quantità di calore Q1, introdotta nel ciclo, e al diminuire della quantità di calore Q2, ceduta dal fluido intermediario al refrigerante, il rendimento aumenta perché diminuisce il rapporto delle quantità di calore.
Infatti, aumentando Q1 e diminuendo Q2 , aumenta l’area del ciclo e quindi la quantità di calore Q1 trasformata in lavoro.

Macchine frigorifere

Sappiamo che il calore passa spontaneamente dai corpi a temperatura più alta a quelli a temperatura più bassa; è possibile il passaggio da temperatura più bassa a temperatura più alta a condizione che si impieghi una macchina che compia un ciclo termodinamico inverso (senso antiorario), introducendo, però, una certa quantità di lavoro (postulato di Clausius).
Quanto è stato affermato è un altro modo di esprimere il secondo principio della termodinamica.

Come si vede dalla figura il fluido intermediario assorbe dal refrigerante il calore Q2 a bassa temperatura e cede alla sorgente ad alta temperatura la quantità di calore Q1 maggiore di quella assorbita; ciò è possibile perché, durante lo svolgimento del ciclo, occorre somministrare lavoro dall’esterno pari all’area del ciclo stesso.

 

TRASFORMAZIONE ISOMETRICA
Consideriamo 1 kg di gas perfetto, racchiuso in un recipiente indeformabile come in figura, il cui stato fisico sia caratterizzato dalle condizioni p1, v1 e T1.
Supponendo di somministrare al fluido la quantità di calore Q, la temperatura e la pressione aumenteranno sino al valore finale T2 e p2.
Il fluido subisce una trasformazione a volume costante perché v1 = v2.
Lungo la trasformazione 1-2 è comunque valida l’equazione caratteristica dei gas perfetti. Scriviamo l’equazione sia nel punto iniziale 1 sia nel punto finale 2:
p1 v1 = RT1            (1)
p2 v1 = RT2            (2)
Dividendo membro a membro la (1) e la (2) si ottiene:
           (3)
scriviamo la (3) nella forma seguente:
            (4)
questa relazione è valida in qualsiasi punto della trasformazione isometrica per cui possiamo la relazione (4) scrivere in forma generica:
         (5)
la (5) rappresenta la legge con cui si evolve la trasformazione isometrica (o isocora).
L’equazione (5) dell’isocora stabilisce la costanza del rapporto, in ogni istante della trasformazione, tra la pressione e la temperatura.
Nel piano p-v l’isometrica è rappresentata da una retta verticale perché v1 = v2.

Ricordando che l’area sottesa alla linea di trasformazione nel piano p-v rappresenta il lavoro di dilatazione,  il grafico (2) mette in evidenza che il lavoro è uguale a zero perché l’area sottesa alla linea di trasformazione 1-2 è nulla.

Consideriamo, adesso, l’equazione del І° principio della termodinamica applicata ad una trasformazione isocora:
Q = U2 – U1 + L
essendo il lavoro L = 0, l’espressione precedente diviene :
Q = U2 – U1                 (6)
L’equazione (6) stabilisce che in una trasformazione isocora tutto il calore scambiato fra sistema ed ambiente esterno serve a far variare l’energia interna del fluido.
La precedente espressione porta ad un’altra interessante conclusione.
Sapendo che il calore somministrato ad 1 kg di fluido si esprime con:
Q = cv (T2 – T1 )
ed eguagliando tale espressione con la (6) si perviene :
cv ( T2 – T1 ) = U2 – U1         (7)
la relazione precedente ci permette di calcolare la variazione di energia interna subita da un gas durante una trasformazione.

TRASFORMAZIONE ISOBARA

Consideriamo 1 kg di gas perfetto racchiuso in un cilindro indeformabile munito di stantuffo, che può scorrere senza attrito, su cui agisce una forza di intensità costante data dalla somma:

S F =  forza esterna (F) + peso dello stantuffo + pressione atmosferica sullo stantuffo

Le condizioni iniziali siano p1, T1 e v1 legate dalla relazione caratteristica dei gas perfetti:
p1 v1 = RT1
Somministrando adesso una certa quantità di calore Q, le condizioni del gas variano.
La temperatura aumenta, la pressione rimane costante e il volume massico aumenta per soddisfare la relazione:
p2 v2 = RT2

Essendo p1 = p2, possiamo dire che il gas ha subito una trasformazione a pressione costante (isobarica o isobara). In questa trasformazione il calore somministrato è servito ad aumentare la temperatura e il volume massico.

Dividendo membro a membro le due relazioni soprascritte si ha:

L’eguaglianza scritta è valida per qualsiasi stato intermedio della trasformazione per cui possiamo scrivere in generale:
                      (8)
In conclusione possiamo dire che in una trasformazione isobara il rapporto tra il volume massico e la temperatura si mantiene costante.

Nel piano p-v la linea di trasformazione è una linea orizzontale perché la trasformazione è a pressione costante.
L’area rettangolare tratteggiata, sottesa alla linea 1-2, rappresenta il lavoro unitario di dilatazione nella trasformazione isobara ed è dato analiticamente da:
L = p (v2 – v1 )                       (9)
Il primo principio della termodinamica  Q = U2 – U1 + L applicato alla trasformazione isobara diviene:
Q = Cv (T2 –T1 ) + p (v2 – v1 )             (10)
sapendo che la quantità di calore scambiata a pressione costante ( m=1 kg) è data da:
Q = Cp ( T2 – T1 )
sostituendo nella (10) si ottiene:
Cp ( T2 – T1 ) = Cv (T2 –T1 ) + p (v2 – v1 )             (11)
Partendo dall’equazione precedente si perviene ad una interessante relazione che lega Cp, Cv ed R. Consideriamo il gas sia nello stato fisico iniziale:
p1 v1 = RT1
sia in quello finale:
p2 v2 = RT2
sottraendo membro a membro ed essendo p1 = p2 si ottiene:
p1 (v2 – v1 ) = R ( T2 – T1 )
e sostituendo nella relazione (11):
Cp ( T2 – T1 ) = Cv (T2 –T1 ) +  R ( T2 – T1 )
e semplificando:
Cp = Cv + R                         (12)
Da questa relazione si deduce che il calore massico a pressione costante è più elevato di quello a volume costante per cui se somministriamo la stessa quantità di calore alla stessa massa (1 kg) di gas a volume costante e successivamente a pressione costante la temperatura finale a volume costante è più elevata che a pressione costante.
Se infatti:                              Qpressione costante = Qvolume costante
si ha:
cp (T2 – T1) = cv (T2’ – T1)                    ed essendo               cp  > cv
T2 – T1 < T2’ – T1                          per cui                    T2 < T2’

 

TRASFORMAZIONE  ISOTERMA
Consideriamo 1 kg di gas perfetto racchiuso in un cilindro indeformabile munito di stantuffo, che può scorrere senza attrito, come in figura.

La trasformazione isoterma è caratterizzata dalla costanza della temperatura in tutti i punti della linea di trasformazione 1-2; in particolare risulta T1 = T2.
Nel caso in cui comprimiamo il fluido la pressione aumenta e il volume massico diminuisce.
La temperatura anch’essa tenderebbe ad aumentare se contemporaneamente non sottraiamo gradualmente una ben determinata quantità di calore tale che la temperatura si mantenga costante.
Lungo la trasformazione di compressione isoterma 1-2 è comunque valida l’equazione caratteristica dei gas perfetti.
Scriviamo l’equazione sia nel punto iniziale 1 sia nel punto finale 2:
p1 v1 = RT1
p2 v1 = RT2
Dividendo membro a membro le due espressioni si ottiene:
p1 v1 =  p2 v2          (13)
essendo i secondi membri uguali.
L’eguaglianza scritta è valida per qualsiasi stato intermedio della trasformazione per cui possiamo scrivere in generale:
pv = costante        (14)

In conclusione possiamo dire che in una trasformazione isoterma il prodotto tra il volume massico e la pressione si mantiene costante.
L’equazione (14) nel piano p-v rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi p e v (vedi figura).
Notiamo nel caso di espansione isoterma (volumi crescenti) che la temperatura tenderebbe a diminuire se contemporaneamente non introduciamo gradualmente una ben determinata quantità di calore tale che la temperatura si mantenga costante.
Nella figura sottostante è rappresentato un fascio di isoterme a temperature crescenti che si incontrano all’infinito.

Consideriamo, adesso, l’equazione del І° principio della termodinamica applicata ad una trasformazione isoterma:
Q = U2 – U1 + L

essendo la variazione di interna U2 – U1 = 0  (ricordiamo che U2 – U1 = cv(T2 -T1 ), l’espressione precedente diviene:
Q = L                        (15)

Dalla espressione (15) si deduce che per mantenere costante la temperatura in una trasformazione isoterma la quantità di calore scambiata deve essere uguale al lavoro.

 

 

TRASFORMAZIONE ADIABATICA
Supponiamo che il gas sia racchiuso in un cilindro munito di stantuffo entrambi isolati termicamente.
Diremo che il gas subisce una trasformazione adiabatica quando non avviene alcun scambio di calore fra il gas (sistema) e l’ambiente esterno.

Essendo Q = 0, il primo principio della termodinamica diviene:
0 = U2 – U1 + L
da cui:
L = - (U2 – U1)
Dall’ultima espressione possiamo dedurre che il lavoro è uguale alla variazione di energia interna del sistema.
Il lavoro risulta negativo perché è somministrato dall’esterno (compressione).
Nella compressione adiabatica il gas aumenta la pressione e la temperatura mentre il volume massico diminuisce; viceversa nella espansione adiabatica la pressione e la temperatura diminuiscono e il volume massico aumenta.
L’equazione caratteristica della adiabatica è:

in generale si può scrivere:
p vk = costante     (17)

l’esponente k rappresenta il rapporto fra il calore massico a pressione costante e quello a volume costante.
Il rapporto k dipende anche dal tipo di molecola:

• monoatomica K=1.666;
• biatomica K = 1,4.

La espressione (17) rappresenta una iperbole non equilatera che in fase di espansione interseca le isoterme a temperatura più bassa; mentre in fase di compressione taglia le isoterme a temperatura più alta (vedi figura).

L’equazione della adiabatica si può scrivere oltre che in termini di p-v anche in termini di
T-v e di T-p.

Per scrivere l’equazione della adiabatica in termini di T-v partiamo dalla equazione (17), sostituendo al posto di p la temperatura T; dall’equazione di stato, si ricava infatti:

e sostituendo nella (17) si ha:

inglobando la costante R con la costante al secondo membro:
               (18)
o anche fra i punti 1 e 2:

Per  scrivere l’equazione della adiabatica in termini di T-p procediamo nello stesso modo, sostituendo al posto di v la temperatura T; dalla equazione di stato ricaviamo:

e sostituendo nella (17):

da cui:

che possiamo scrivere:
            (19)
o anche fra i punti 1 e 2:

Consideriamo, adesso, l’equazione del І° principio della termodinamica applicata ad una trasformazione adiabatica:
Q = U2 – U1 + L

essendo lo scambio di calore con l’esterno Q = 0,  l’espressione precedente diviene:
L  = U1 – U2                     (20)
Concludendo:

• In una espansione adiabatica il lavoro si sviluppa a spese della energia interna del sistema;
• In una compressione adiabatica il lavoro introdotto nel sistema serve ad incrementare l’energia interna del sistema.

Dalla espressione (20) si perviene tramite passaggi alle espressioni del lavoro:
                              (21)
                              (22)
                                (23)
Concludiamo facendo notare nel grafico di figura che nel piano entropico T-S la trasformazione adiabatica è caratterizzata da una linea verticale S1=S2.

Trasformazioni politropiche

Qualsiasi trasformazione si può esprimere come il prodotto fra la pressione e il volume massico elevato ad un esponente n che può assumere tutti i valori compresi fra n=0 ed n=∞.
In generale una trasformazione del tipo descritto viene chiamata politropica  e viene espressa dalla equazione:              p vn = costante                   (24)

Le trasformazioni studiate in precedenza sono casi particolari della politropica.
In particolare se l’esponente n è uguale a:

• n = k     si ottiene  una adiabatica;
• n = 1     si ottiene  una isoterma;
• n = 0     si ottiene  una isobara;
• n = ∞    si ottiene  una isovolumica.

Cicli termodinamici

Quando un ciclo a massa e costituzione chimica costante subisce una serie di trasformazioni che lo riportano allo stato iniziale, si dice che il sistema stesso ha compiuto un ciclo.
Il ciclo può essere:

• Diretto o ciclo motore se il lavoro scambiato fra sistema ed ambiente esterno è positivo. In questo caso il ciclo è percorso in senso orario (vedi figura).
• Inverso se il lavoro scambiato è negativo. In questo caso il ciclo è percorso in senso antiorario (vedi figura).

Trasformazioni reversibili ed irreversibili

Prima di procedere alla trattazione dei cicli è opportuno stabilire il concetto di reversibilità e di irreversibilità di una trasformazione.
Per definire una trasformazione non basta dire che essa è una successione di stati fisici ma bisogna precisare anche come tale successione sia di fatto realizzata.
Trasformazione reversibile: se si realizza una trasformazione in modo che tutti gli stati fisici del sistema siano costantemente in equilibrio con il sistema con cui si scambia calore o lavoro allora essa si dirà reversibile e sarà indifferente il senso con cui si compie tale trasformazione.
Il concetto di reversibilità è sostanzialmente il concetto di equilibrio statico perché, se si vuole costantemente in equilibrio fra loro sorgente e fluido, è necessario che le trasformazioni avvengano con una infinitesima differenza di pressione, di temperatura e di volume  fra sorgente e fluido.
Trasformazione irreversibile: se, viceversa, si realizza la trasformazione in modo da avere costantemente differenze finite di pressione, di temperatura e di volume fra il sistema che compie il ciclo e quello che riceve calore o lavoro, il senso della trasformazione è unico, per cui essa si dice irreversibile.
Nei cicli ideali consideriamo le trasformazioni reversibili per comodità perché ciò porta a una notevole semplificazione nell’impostazione delle leggi.
Infatti le leggi ricavate per le trasformazioni reversibili si sono dimostrate applicabili alle trasformazioni irreversibili attraverso l’uso di opportuni coefficienti.

Ciclo di Carnot

Nella trattazione consideriamo un gas perfetto e supponiamo che le trasformazioni siano reversibili.
Il ciclo di Carnot si evolve, come in figura, fra due isoterme e due adiabatiche.
La prima trasformazione è una adiabatica di compressione 1®2 ed avviene a spese del lavoro meccanico L1; in tale fase il gas aumenta la sua temperatura fino a T1 nel punto 2.

La seconda trasformazione 2®3 è una isoterma di espansione in cui viene introdotto il calore Q1, ceduto dalla sorgente a temperatura T1 più alta e costante. Essendo una isoterma, il calore si trasforma interamente in lavoro perché l’energia interna rimane costante.
La terza trasformazione 3®4 è una adiabatica di espansione in cui viene compiuto sull’esterno il lavoro L2 . In questa fase il gas aumenta di volume ma diminuisce la pressione e la temperatura che si porta al valore T2 della sorgente a temperatura più bassa.
La quarta trasformazione 4®1 è una isoterma di compressione che riporta il gas nelle condizioni iniziali al fine di poter ripetere il ciclo.
Ovviamente nell’ultima trasformazione si ha cessione di calore Q2 alla sorgente a temperatura più bassa T2.
Il lavoro L = Q1 – Q2 è dato dall’area racchiusa dal ciclo (tratteggiata in figura).
Calcoliamo il rendimento:

sostituendo si ha:

essendo S4=S3  e  S2=S1, si ottiene:

Possiamo concludere che: il rendimento del ciclo di Carnot sempre minore dell’unità  dipende soltanto dalle due temperature estreme tra cui si evolve il ciclo.

Questa considerazione è importante perché può essere estesa a qualunque ciclo reale costituito da qualsiasi trasformazioni e diverse da quelle del ciclo di Carnot.
Confrontando fra loro un ciclo di Carnot ed un ciclo qualsiasi, purché entrambi che si evolvono fra le stesse temperature estreme, risulta che il rendimento del ciclo qualsiasi è sempre minore di quello del ciclo di Carnot corrispondente.
Possiamo concludere che, fissate le temperature estreme del ciclo, il rendimento del ciclo di Carnot è quello più elevato fra tutti i cicli che si evolvono fra tali temperature.
Se vogliamo stabilire quanto un ciclo sia valido sarà sufficiente fare il rapporto fra il rendimento del ciclo realizzato con quello di Carnot (a parità di temperature). Questo rapporto lo chiamiamo coefficiente di bontà del ciclo. Se il rapporto si avvicina ad 1 allora abbiamo realizzato un buon ciclo.
Analizziamo ora quali sono le condizioni che fanno aumentare il valore del rendimento.
Dalla espressione del rendimento si può dedurre che esso aumenta quanto più elevata è la temperatura T1 a cui si somministra il calore Q1 e quanto più bassa è la temperatura T2 a cui si estrae dal ciclo il calore Q2.
Questo significa che tanto maggiore è la differenza di temperatura delle sorgenti tanto più elevato è il rendimento.
Esaminiamo graficamente quanto è stato detto.
Confrontiamo prima il rendimento di due cicli di Carnot a parità di Q1 e di T2 , somministrando il calore Q1 a temperature T1 diverse.
Dal grafico possiamo notare che le quantità di calore cedute a temperatura T2 sono diverse (Q2’ < Q2) e differiscono dell’area tratteggiata per cui il rendimento è più alto nel ciclo in cui abbiamo somministrato Q1 a temperatura T1’ > T1 .
Nel secondo confronto consideriamo il rendimento di due cicli di Carnot a parità di Q1 e di T1 , sottraendo il calore Q2 a temperature T2 diverse.
Dal grafico possiamo notare che le quantità di calore Q2 , cedute a temperature diverse rispettivamente T2 e T2’ , differiscono dell’area tratteggiata 1-2-4-4’ per cui il rendimento è più alto nel ciclo in cui sottraiamo il calore Q2 a temperatura più bassa T2’ .
Il secondo metodo dal grafico appare più efficace perché la Q2 si riduce notevolmente.

Considerazioni sull’entropia.

La rappresentazione dello stato fisico di un fluido in coordinate (T,S), cioè così detto
<piano entropico> ci permette di trarre delle interessanti conclusioni.
Consideriamo in detto piano il ciclo di Carnot (1a-1’a-2a-2’a), nel quale il fluido intermediario riceve dal focolaio a temperatura T1a la quantità di calore Q1 = area(S1a 1a 1’a S2a) e cede al refrigerante a temperatura T2a la quantità di calore Q2 = area(S2a 2a 2’a S1a).

Consideriamo, quindi, un secondo ciclo di Carnot (1b 1’b 2b 2’a) in cui il fluido intermediario riceve la stessa quantità di calore Q1 da un focolaio a temperatura T1b>T1a e cede una certa quantità di calore Q’2 allo stesso refrigerante di prima a temperatura T2a.
Dovendo risultare area(S1a 1a 1’a S2a) = area(S1b 1b 1’b S2b) l’adiabatica 1’b-2b cadrà alla sinistra della adiabatica 1’a-2a e in conseguenza la quantità di calore ceduta al refrigerante col secondo ciclo Q’2 = area(S2b 2b 2’a S1a) sarà minore della quantità di calore Q2 = area(S2a 2a 2’a S1a) ceduto con il primo ciclo; avremo, cioè Q’2<Q2.
Segue immediatamente che la quantità di calore trasformata in lavoro nel secondo ciclo è maggiore di quella col primo ciclo.
E’ se si osserva che nel secondo ciclo la variazione di Entropia che il fluido subisce durante la cessione di calore Q1 è minore di quella subita dal fluido nel primo ciclo, resta chiarito che alla minore variazione della entropia del fluido durante lo scambio positivo di calore fa riscontro una maggiore attitudine del calore scambiato  a trasformarsi in lavoro.
Posiamo concludere <<la variazione di Entropia mette in evidenza la maggiore o minore attitudine posseduta dal calore scambiato a trasformarsi in lavoro>>.
ΔS è tanto più piccola quanto più elevata è la temperatura a cui si somministra Q .

Ciclo Otto
Nella analisi del ciclo ideale si pensa di elaborare 1 Kg. di gas perfetto, considerando un cilindro ideale in cui scorra senza attrito uno stantuffo, che possa essere messo a contatto alternativamente con una sorgente (S) di calore e con un refrigerante (R).
Con tali assunzioni i risultati sono superiori a quelli che poi si ritrovano nel caso reale. Tuttavia l’analisi del ciclo ideale fornisce utili indicazioni concernenti le prestazioni dei cicli reali.
Il funzionamento dei motori alternativi ad accensione comandata è basato sul ciclo termodinamico  Otto.
Il ciclo si sviluppa attraverso due trasformazioni isovolumiche e due adiabatiche, rappresentate nei diagrammi  p-v  e  T-S.
Siano  p1 ,  v1  e  T1  le condizioni iniziali del gas, esaminiamo separatamente le quattro trasformazioni ideali secondo cui si evolve il ciclo:

• fase di compressione adiabatica dallo stato fisico iniziale, corrispondente al punto  (1), fino al punto  (2);
• somministrazione di calore  Q1  a volume costante, da parte della sorgente  S, con aumento della temperatura e della pressione, fino a raggiungere il punto (3);
• espansione adiabatica dal punto  (3)  al punto (4), fino a raggiungere il volume iniziale  v1 ;
• cessione di calore  Q2  a volume costante ad un refrigerante  (R), riconducendo il gas alle condizioni iniziali  (p1  e  T1 ).

Il ciclo è così concluso e può essere ripetuto, ottenendo con continuità lavoro meccanico, tanto maggiore quanto più è estesa l’area  1-2-3-4  racchiusa dal ciclo stesso.

Il rendimento ideale del ciclo Otto viene espresso in funzione del rapporto di compressione
  secondo la seguente espressione:

L’espressione precedente evidenzia che il rendimento aumenta all’aumentare del rapporto di compressione.
Questa conclusione è valida anche nel caso reale.
Vedremo in seguito che nei motori alternativi ad accensione comandata il rapporto di compressione non và oltre certi valori che dipendono dal numero di ottani del combustibile ed inoltre per valori alti del rapporto di compressione il rendimento meccanico diminuisce.

Ciclo Diesel
Il funzionamento dei motori alternativi ad accensione per compressione è basato sul ciclo termodinamico Diesel.
Nel ciclo Diesel l’introduzione di calore avviene a pressione costante.
Il ciclo è rappresentato in figura nei diagrammi in funzione di p-v  e  T-S.
Siano  p1 ,  v1  e  T1  le condizioni iniziali del gas, esaminiamo separatamente le quattro  trasformazioni ideali secondo cui si evolve il ciclo:

• fase di compressione adiabatica dallo stato fisico iniziale, corrispondente al punto  (1), fino al punto  (2);
• somministrazione di calore  Q1  a pressione costante, da parte della sorgente  S, con aumento della temperatura e del volume massico, fino al il punto (3);
• espansione adiabatica dal punto  (3)  al punto (4), fino a raggiungere il volume iniziale  v1 ;
• cessione di calore  Q2  a volume costante ad un refrigerante  (R), riconducendo il gas alle condizioni iniziali  (p1  e  T1 ).

Il rendimento ideale del ciclo Diesel viene espresso in funzione del rapporto di compressione     secondo la seguente espressione:

L’espressione precedente evidenzia che il rendimento aumenta all’aumentare del rapporto di compressione e diminuisce all’aumentare del rapporto di combustione.

CONFRONTO OTTO DIESEL.

Confrontando i rendimenti del ciclo Otto e Diesel, sembrerebbe a prima vista che il ciclo Otto offra un utile più elevato perché il suo rendimento supera quello del ciclo Diesel:

Il rendimento del ciclo Otto è superiore al rendimento del ciclo Diesel perché la combustione avviene a volume costante e quindi raggiunge temperature più elevate.
In effetti un simile confronto non ha alcun valore perché siamo partiti dall’ipotesi che il rapporto di compressione r  avesse lo stesso valore nei due cicli.
Questa ipotesi non solo è improbabile ma è contraria alle esigenze pratiche di funzionamento perché, come vedremo in seguito, i due tipi di motori che seguono i cicli suddetti richiedono rapporti di compressione ben diversi tra loro.
Possiamo indicare mediamente:
ρOtto = 6 ÷ 9 per motori a scoppio lenti, 10 ÷ 12 ed oltre per quelli veloci;
ρDiesel = 16 ÷ 22 per motori Diesel.

I valori sopraccitati conducono alla conclusione opposta a quella iniziale.
Infatti il rendimento di un motore Diesel è lievemente superiore a quello del motore a scoppio.