Appunti insiemi numerici

Introduzione
In questa unità didattica vogliamo riprendere rapidamente le nostre conoscenze sugli insiemi numerici (N, Z e Q), e successivamente ampliarle a comprendere i numeri irrazionali e i numeri reali. A tal fine riprenderemo in maniera organica le motivazioni, storiche e non, che hanno portato, a partire dall’insieme dei numeri naturali, all’introduzione di insiemi numerici più vasti, piuttosto che ripassare la definizione delle operazioni e le relative proprietà in tali insiemi. Vedremo quindi che motivazioni analoghe portarono (e portano) all’introduzione dei numeri irrazionali, sui quali si può operare in maniera consueta. Definito l’insieme R dei numeri reali (unione degli insiemi di numeri razionali e irrazionali), ci occuperemo di un aspetto operativo fondamentale del calcolo numerico, ossia degli errori di approssimazione.

3.2 Dai naturali ai razionali
I numeri naturali,  sono stati creati dalla mente umana per contare gli oggetti di vari insiemi, e non hanno alcun riferimento alle caratteristiche individuali degli oggetti contati; ad esempio il numero “6” è un’astrazione di tutti gli effettivi insiemi contenenti sei oggetti, e non dipende né dalle qualità specifiche di tali oggetti né dal simbolo utilizzato.
I numeri interi relativi, , di cui si ha traccia già nel VI secolo d.C., sono stati utilizzati per rappresentare grandezze che possono essere considerate in due versi opposti, per la prima volta da Newton nel ‘600. Ad esempio:

• la temperatura di una località o di un corpo può essere al disopra o al disotto dello zero (essendo 0° la temperatura del ghiaccio fondente);
• l’altitudine di un punto della terra può trovarsi al disopra o al disotto del livello del mare (livello che si assume, per convenzione, come altitudine zero).

A fianco di questa motivazione pratica dell’estensione dei numeri naturali agli interi relativi ve n’è un’altra, più sottile e prettamente aritmetica: nell’insieme dei numeri naturali si possono sempre eseguire le operazioni fondamentali di addizione e moltiplicazione, ma non le “operazioni inverse”, ossia la sottrazione e la divisione. Limitiamoci per ora a considerare la sottrazione: la differenza , perché solo in tal caso la differenza x è un numero naturale. I passi fondamentali per rimuovere tale restrizione furono l’introduzione dei simboli –1, -2, -3,… e la definizione

Ciò ha reso la sottrazione possibile senza restrizioni nell’insieme dei numeri interi positivi e negativi. Per poter lavorare con questa aritmetica più “estesa” abbiamo dovuto ovviamente definire le operazioni sui numeri interi relativi in modo tale che fossero mantenute le proprietà originarie delle operazioni aritmetiche.
Tutte le “regole di calcolo” che permettono di operare con i numeri interi (come la “regola dei segni” per il prodotto, oppure la definizione di differenza tra due interi come somma del primo con l’opposto del secondo) non devono essere “dimostrate”, in quanto sono state create dagli uomini per avere libertà nelle operazioni e mantenere le proprietà fondamentali dell’aritmetica; ciò che invece è stato dimostrato (e che anche noi avremmo dovuto dimostrare) è solo che, sulla base di tali definizioni, si mantengono le proprietà commutativa, associativa, distributiva dell’aritmetica.

Anche l’introduzione dell’insieme dei numeri razionali,
,
come estensione dei numeri interi è stata dettata da una doppia necessità. Una necessità pratica, cioè quella di non dover soltanto contare singoli oggetti, ma di dover misurare delle quantità, come lunghezze, aree, pesi, tempi; tali misure ammettono suddivisioni in parti "piccole quanto si vuole". Per risolvere il problema, il primo passo è ridurre la questione del misurare al problema del contare. Cominciamo con lo scegliere un’unità di misura del tutto arbitraria, secondo, metro, grammo, a seconda del caso, a cui attribuiamo la misura 1. Contiamo poi il numero di tali unità che sono contenute nella quantità da misurarsi. Un certo corpo, ad esempio, può pesare esattamente 54 grammi. In generale, però, questo procedimento non conduce ad un risultato esatto, cioè la quantità data non avrà una misura che si possa esprimere esattamente con multipli interi dell’unità di misura prescelta. Al massimo potremo dire che essa è compresa tra due multipli successivi dell’unità, ad esempio tra 32 e 33 grammi. Quando questo accade, si compie un altro passo introducendo nuove unità di ordine inferiore, ottenute con la suddivisione dell’unità originaria in un numero n di parti uguali. Nel linguaggio ordinario queste nuove unità possono avere nomi speciali; ad esempio, il metro si suddivide in 10 decimetri, l’ora in 60 minuti, il grammo in 10 decigrammi, etc. In matematica, comunque, un’unità di ordine inferiore ottenuta suddividendo l’unità originaria in n parti uguali si indica con il simbolo . Tale simbolo si chiama frazione (o rapporto).
L’altra motivazione per l’estensione dei numeri interi ai numeri razionali è prettamente aritmetica, e deriva dal fatto che in Z il quoziente tra due numeri a e b è definito solo se esiste un terzo numero intero q tale che , detto frazione, che per definizione è tale che
,
risolve il problema (restando l’unica restrizione ). Anche nel caso dei numeri razionali, come nel caso degli interi relativi, abbiamo a suo tempo definito le operazioni su di essi in modo tale da mantenere inalterate le proprietà formali valide in N (® generalizzazione).
Prima di affrontare il passo successivo, ossia di estendere ulteriormente il nostro insieme numerico Q, soffermiamoci ancora un momento sull’insieme Q stesso per riprenderne la rappresentazione geometrica, poiché ci sarà utile nel seguito.

 

3.3 Rappresentazione geometrica dei numeri razionali. Q è denso

Data una retta, fissiamo l’origine O, e prendiamo un segmento U come unità di misura, ad esempio il centimetro. Riportiamo più volte U  consecutivamente a partire da O sia verso destra che verso sinistra:

Ai punti …, B’, A’, O, A, B,… facciamo corrispondere i numeri interi …,-2, -1, 0, 1, 2,…. Ognuno di tali punti si dice immagine del corrispondente numero. Con procedimento analogo si può determinare il punto immagine di un numero frazionario qualsiasi  e lo si riporta sulla semiretta OA o OA’ a seconda del segno. Il termine di questo segmento è il punto immagine della frazione considerata.
È evidente che i punti immagine delle frazioni si inseriscono tra i punti immagine dei numeri interi. Osserviamo un particolare fondamentale:

Ad esempio consideriamo le frazioni
,
che sono “vicinissime”; ebbene la frazione  è ancora più vicina!
Questa proprietà si esprime dicendo che

A questo punto si potrebbe ragionevolmente pensare che i punti immagine dei numeri razionali riempiano completamente la retta, INVECE NON È COSÌ!!!

 

Infatti se ad esempio riportiamo sulla retta numerica il segmento ipotenusa del triangolo rettangolo i cui cateti misurano entrambi 1 otteniamo un punto che non è immagine di alcun numero razionale, ossia .

 

3.4 I numeri irrazionali

Dimostriamo innanzitutto che  non è un numero razionale, ossia che esistono numeri che non sono razionali.

Abbiamo dunque almeno un’entità non appartenente a Q, quindi dobbiamo ampliare l’insieme dei numeri razionali, ed anche in questo caso abbiamo due motivazioni per farlo.

 

3.5 Esigenza “pratica” di estendere Q

Abbiamo la necessità di misurare quantità che non sono esprimibili come frazioni dell’unità di misura; ad esempio dobbiamo poter misurare la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurino 1 e 2, oppure la lunghezza della diagonale di un quadrato il cui lato abbia misura 1.
Il problema della misura delle grandezze geometriche è ovviamente fondamentale nella trattazione di tutta la geometria e pertanto necessita di una unità didattica dedicata. Comunque, dal momento che tale problema è strettamente correlato ai numeri reali lo introduciamo brevemente adesso.
Un insieme di figure si dice costituire una classe di grandezze geometriche se è possibile definire per esse il concetto di uguaglianza e disuguaglianza, somma e differenza. A seconda delle particolari grandezze che si considerano, variano le definizioni di uguaglianza e somma, ma esse devono essere tali che continuino a valere le note proprietà formali dell’uguaglianza (riflessiva, simmetrica e transitiva) e della somma (commutativa e associativa). Le grandezze appartenenti ad una stessa classe sono dette omogenee, quelle appartenenti a classi diverse sono dette eterogenee. Ad esempio, costituiscono classi di grandezze omogenee tutti i segmenti, tutti gli angoli, etc.
Due grandezze omogenee si dicono commensurabili se esiste una terza grandezza contenuta un numero esatto di volte in entrambe le grandezze considerate (sottomultipla di entrambe). Ad esempio, i segmenti A e B in figura sono commensurabili perché hanno come sottomultipla comune il segmento C.

Come abbiamo già visto esistono grandezze omogenee incommensurabili, come ad esempio il lato e la diagonale di un quadrato, ed è per poter esprimere il rapporto tra grandezze di questo tipo che si introducono i numeri irrazionali.

3.6 Esigenza aritmetica di estendere Q e calcolo approssimato di

A livello prettamente aritmetico, la necessità di estendere l’insieme dei numeri razionali nasce ancora una volta dall’esigenza di effettuare senza restrizioni l’inversa di una operazione razionale, ossia dell’elevamento a potenza. Sappiamo che è possibile estrarre “esattamente” solo la radice n-esima di un numero che sia potenza n-esima, mentre negli altri casi è possibile estrarre la radice solo con un certo grado di approssimazione. Ad esempio, sappiamo che .
Possiamo però utilizzare il seguente metodo per calcolarlo approssimato. Cominciamo con un’approssimazione decisamente “grossolana”: consideriamo i due numeri interi dei quali sappiamo estrarre la radice quadrata (che sono cioè quadrati perfetti), che più si avvicinano al numero 2 (per eccesso e per difetto), ossia i numeri 1 e 4; poiché 1< 2 < 4, si ha che

Possiamo dunque scrivere che . Ciò significa che
.
Scrivendo ~1,41 commettendo un errore che è al massimo un centesimo.
È evidente che si può continuare in questo procedimento per quanto si vuole, ottenendo via via numeri che approssimano  sempre meglio.
Torneremo nel seguito sui calcoli approssimati e sugli errori di approssimazione; per ora limitiamoci ad osservare che i numeri utilizzati nel procedimento di approssimazione sono ancora razionali e che tale procedimento può andare avanti indefinitamente dando luogo ad un allineamento decimale illimitato non periodico.
Ai simboli , etc,  diamo il nome di numeri irrazionali; il termine ha origine dalla contrapposizione con razionale, da “ratio” = rapporto (esprimibile tra grandezze omogenee commensurabili, Euclide 300 a.C.).

Su questi nuovi enti, in accordo al principio di generalizzazione, si opera come su quelli già noti col nome di numeri, ossia si definiscono le operazioni ed il concetto di uguaglianza in modo tale che siano conservate le proprietà formali.

3.7 I numeri reali. Esempi di successioni numeriche contigue

L’insieme dei numeri razionali e di quelli irrazionali costituisce l’insieme dei numeri reali (il termine viene da Cartesio, 1600, in contrapposizione ad immaginario), che si indica con R.

 

Consideriamo il numero reale (intero) 6, e ragioniamo come se volessimo “approssimarlo”. A partire da una approssimazione decisamente grossolana, commettendo un errore che è al più di due unità, possiamo approssimarlo con il numero razionale 5 o con il numero razionale 7; affiniamo ora la nostra operazione: se aggiungiamo 9 decimi a 5 e togliamo 9 decimi a 7, otteniamo altri due numeri razionali, 5.9 e 6.1, che approssimano il numero 6 meglio dei due precedenti (l’errore che si commette in questo caso è al più di . Evidentemente, possiamo procedere in questo modo quanto a lungo vogliamo, ottenendo le due sequenze
5                 5.9                5.99              5.999             5.9999           ….      (1)
7                 6.1                6.01              6.001             6.0001           ….
di numeri razionali che approssimano il numero 6 sempre meglio.
Passiamo ad approssimare il numero reale (razionale) : con un ragionamento del tutto simile al precedente si determinano le due sequenze di numeri razionali
2                   2,3                2,33              2,333             2,3333           …       (2)
3                   2,4                2,34              2,334             2,3334           …
che lo approssimano a meno di , ….
Consideriamo infine il numero reale (irrazionale) , e le due sequenze di numeri razionali che abbiamo incontrato nel calcolarlo approssimato
1                 1,4                1.41              1.414             1.4142           ….      (3)
2                 1,5                1,42              1.415             1.4143           ….
che approssimano il numero , ….
Analizziamo con attenzione le tre coppie di sequenze costruite (1), (2) e (3):

• esse sono costituite interamente da numeri razionali;
• la prima sequenza di ogni coppia è crescente, la seconda decrescente;
• tutti i numeri della prima sequenza di ogni coppia sono minori di tutti quelli della seconda sequenza;
• fissato un numero positivo e piccolo quanto vogliamo è comunque possibile trovare una “posizione” nelle due sequenze di ogni coppia per cui la differenza tra i due numeri in quella posizione sia minore di e. Ad esempio, nella (3), se fissiamo e =  e consideriamo la quinta posizione delle due sequenze, si ha che:

1.4143-1.4142 =
Le coppie di sequenze che verificano le proprietà appena esposte prendono il nome di successioni contigue di numeri razionali.
È intuitivamente evidente che gli elementi di due successioni contigue vadano sempre più avvicinandosi (per valori via via crescenti quelli della prima successione e via via decrescenti quelli della seconda)  ad un numero che, maggiore di tutti quelli della prima successione e minore di tutti quelli della seconda, costituisce quello che si dice l’elemento separatore delle due successioni. Nei tre casi visti negli esempi gli elementi separatori sono rispettivamente 6, .
Fermiamo la nostra attenzione su quanto abbiamo fatto. Siamo partiti da tre numeri ben determinati, 6, , abbiamo costruito le corrispondenti coppie di successioni contigue, ed abbiamo concluso che i tre numeri sono gli elementi separatori delle tre coppie di successioni. Se ora in qualche modo “ribaltiamo “ il discorso, e lasciamo da parte gli esempi concreti, possiamo pensare che prendendo comunque due successioni contigue di numeri razionali, ossia due sequenze numeriche che verifichino le proprietà a)-d) prima esposte, sia possibile identificare un numero maggiore di tutti i numeri della prima successione e minore di tutti quelli della seconda, che sia l’elemento separatore delle due successioni. Ebbene questa è proprio la definizione di numero reale:

 

3.8 Rappresentazione geometrica di due successioni numeriche contigue;

corrispondenza biunivoca retta-R
Quanto detto sulle successioni contigue di numeri razionali riesce più chiaro ed evidente ricorrendo alla rappresentazione geometrica dei numeri sulla retta. Consideriamo una qualunque coppia di successioni contigue di razionali ; tali successioni, essendo costituite da numeri razionali, sono rappresentabili geometricamente sulla retta numerica come successioni contigue di punti; inoltre le proprietà b)-d) di cui godono le due successioni, si traducono in analoghe proprietà sui punti immagine degli elementi delle successioni:

• i punti immagine degli elementi della prima successione (ossia i punti A1, A2, A3,…) si susseguono verso destra, mentre i punti immagine della seconda successione (i punti B1, B2, B3,…) si susseguono verso sinistra;
• ogni punto della prima successione precede tutti quelli della seconda;
• dato un segmento l piccolo a piacere, si possono trovare due punti corrispondenti delle due successioni la cui differenza sia minore di l.

 

Le proprietà b) e c) ed il concetto intuitivo che abbiamo della retta come linea continua ci suggeriscono che tra i punti della prima successione e quelli della seconda non deve esserci alcuna lacuna, quindi deve esistere almeno un punto P che separa i punti delle due successioni. Questa nozione intuitiva è formalizzata nel

Inoltre, grazie alla proprietà d), si può dimostrare che tale punto è unico.

Grazie al postulato di Cantor, ogni numero reale x ha la sua rappresentazione geometrica (o immagine), corrispondente al punto P di separazione al quale tendono le due successioni contigue di punti razionali che definiscono x.
Viceversa, possiamo far corrispondere ad ogni punto P della retta orientata un determinato numero reale x, corrispondente alla misura del segmento orientato  rispetto al segmento unitario fissato U; x prende il nome di ascissa del punto P.

Rimane così stabilita una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ed i punti di una retta.

3.9 Cenni sulle operazioni e proprietà in R
Abbiamo esattamente definito che cosa sia un numero reale, ossia l’elemento separatore di due successioni numeriche contigue; possiamo quindi indicare il generico numero reale x con la coppia di successioni che lo definisce:

A questo punto dovremmo studiare come sono definite tutte le operazioni sui numeri reali, ossia, dati due numeri reali , con

A1

3

A2	A3	A4	A5	A6	…
3,3	3,31	3,316	3,3166	3,31662	…

B1

4

B2	B3	B4	B5	B6	…
3,4	3,32	3,317	3,3167	3,31663	…

C1

0

C 2	C 3	C 4	C 5	C 6	…
0,7	0,79	0,791	0,7916	0,79166	…

D1

1

D 2	D 3	D 4	D 5	D 6	…
0,8	0,8	0,792	0,7917	0,79167	…

risulta  con

 

E1

3

E2	E3	E4	E5	E6	…
4	4,1	4,107	4,1082	4,10828	…

F1

5

F2	F3	F4	F5	F6	…
4,2	4,12	4,109	4,1084	4,1083	…

Successivamente dovremmo dimostrare che, avendo così definito le operazioni, continuano a valere per esse tutte le note proprietà. Tutta questa trattazione richiederebbe un tempo di notevole entità ed inoltre esula dalle finalità del nostro modulo. Pertanto non approfondiamo l’argomento, e nel seguito opereremo coi numeri reali in maniera “consueta”, senza fare ricorso alle successioni numeriche contigue. Peraltro abbiamo effettuato un “salto logico” di questo tipo anche in prima, quando abbiamo lavorato sui numeri interi e razionali: pur sapendo che un numero intero è definito come coppia formata da un numero naturale e da un segno, e che un numero razionale è definito come insieme infinito di frazioni equivalenti, li abbiamo trattati tutti alla stessa stregua, anche se ognuno con le proprie peculiarità operative. In conclusione, d’ora in avanti il nostro insieme numerico di riferimento sarà l’insieme dei numeri reali, di cui N, Z, Q, e J costituiscono sottoinsiemi:

 

3.10 Bibliografia essenziale

• R. Courant,  H. Robbins: Che cos’è la matematica, Boringhieri Ed., 1971.
• U. Russo: Operando con gli insiemi, Vol. 1, Le Monnier Ed., 1971.
• E. Fischbein, R. Jehian, D. Cohen: “Il concetto di numero irrazionale in studenti di scuola superiore ed in futuri insegnanti”, La matematica e la sua didattica 3/1996, Pitagora Ed., 282-297.