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1. Aspetti ondulatori della materia
Per diversi anni la teoria di Bohr – Sommerfeld ha rappresentato uno schema fondamentale per interpretare i fatti sperimentali della fisica atomica.
Nonostante ciò tale teoria lasciava aperte ancora alcune perplessità così riassumibili:
Per questi motivi la teoria era considerata come una teoria provvisoria di passaggio verso una nuova teoria differente nelle fondamenta dalla meccanica classica.
Il superamento di questa situazione di disagio avvenne nel periodo dal 1925 al 1927 per opera di alcuni dei maggiori fisici del nostro secolo tra cui Louis De Broglie, Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Wolfang Pauli, Max Born che portarono allo sviluppo di una nuova teoria denominata meccanica quantisitica.
Abbiamo già visto che ara stato necessario introdurre la dualità onda – corpuscolo nella spiegazione delle radiazioni elettromagnetiche che per essere spiegate debbono essere considerate entità fisiche caratterizzate da questo duplice aspetto.
I due aspetti della radiazione inoltre apparivano come complementari comparendo alternativamente a seconda dei fenomeni studiati; più precisamente ad alte frequenze tendeva a prevalere l’aspetto corpuscolare, mentre a basse frequenze l’aspetto ondulatorio (ad esempio nel fenomeno della diffrazione).
Tale dualità onda – corpuscolo non si era però mai presentata nella meccanica dei corpi materiali. Improvvisamente però l’aristocratico francese De Broglie avanzò un’ipotesi rivoluzionaria :
Se le radiazioni luminose possiedono oltre alla più evidente natura ondulatoria anche una natura corpuscolare, viceversa la materia (ad esempio un elettrone o un protone) oltre alla più evidente natura corpuscolare possiede anche una natura ondulatoria.
Tale duplice comportamento ondulatorio e corpuscolare risultava essere una nuova legge della fisica (e quindi della natura) del tutto generale che tra l’altro era in grado di riunire il settore dell’ottica e quello della meccanica.
Infatti introducendo la relazione fondamentale del principio onda – corpuscolo 
era possibile, utilizzando la costante di Planck h, legare le grandezze meccaniche di un corpuscolo (la massa m e la velocità v) con la grandezza più caratteristica di un’onda (la lunghezza d’onda 
).
Partendo da tale legge e dalla relazione di Einstein (
) De Broglie potè ricavare la velocità delle onde da lui ipotizzate w à 
.
Da tale relazione si ricava che le onde di De Broglie viaggiano a velocità maggiori rispetto alla velocità della luce e quindi non possono trasportare ne’ segnali ne’ energia. Si può osservare inoltre che per 
si ottiene 
e quindi l’onda associata perde significato, mentre per 
si ottiene 
e quindi l’onda viaggia insieme alla particella.
Riassumiamo le proprietà di cui godono tali onde:
A questo punto le onde di De Broglie funzionerebbero più come meccanismo cognitivo piuttosto che come vera e propria grandezza fisica essendo un pacchetto di vibrazioni teoriche che circonda ed irradia un corpo.
2. La teoria ondulatoria e il modello atomico di Bohr
Con l’introduzione della teoria di De Broglie è stato possibile giustificare il postulato di quantizzazione introdotto da Bohr nella teoria atomica.
Per De Brgolie infatti l’orbita di un elettrone è stabile se l’onda associata all’elettrone in moto sull’orbita si richiude su se stessa, quindi se la lunghezza dell’orbita ha una lunghezza pari ad un multiplo della lunghezza d’onda.
Formalizzando: 
in cui sostituendo la relazione 
si ottiene esattamente la quantizzazione del momento della quantità di moto postulata da Bohr:
In questo modo si riusciva a dare giustificazione teorica alla condizione di quantizzazione del momento angolare dell’elettrone che Bohr aveva introdotto arbitrariamente come postulato.
3. Esperimenti di diffrazione con elettroni
Nello stesso tempo in cui la teoria di De Broglie è stata pubblicata alcuni fra i maggiori fisici sperimentali si misero all’opera per cercare di verificare l’esistenza delle onde associate alle particelle. Qualche anno prima si erano già ottenute figure di diffrazione facendo incidere su appositi reticoli cristallini raggi X con lunghezze d’onda di 
chiudendo la lunga disputa sulla natura di tali raggi. George Thomson, figlio di Joseph John Thomson ripeté l’esperimento facendo incidere su un sottile foglio di mica un fascio di elettroni opportunamente accelerati in modo da avere lunghezze d’onda associate paragonabili a quelle dei raggi X; attraversata la mica gli elettroni giungevano su una lastra fotografica che risultava così impressionata. Una volta sviluppata mostrò figure di diffrazione del tutto simili a quelle ottenute con i raggi X.
4. Equazione d’onda di Schrodinger ed applicazione all’atomo di idrogeno
Le originali idee di De Broglie acquistarono un soddisfacente formalismo matematico per opera del viennese Schrodinger che sviluppando l’analogia tra il moto di una particella in un campo di forze e la propagazione di un raggio di luce in un mezzo rifrangente e dispersivo aveva ricavato un’equazione in grado di descrivere la propagazione delle onde di De Broglie nell’ipotesi che la velocità della particella stessa sia piccola rispetto alla velocità della luce (approssimazione non relativistica). In particolare per un elettrone nel campo colombiano del nucleo di idrogeno, l’equazione di Schrodinger prevede la formazione di ode stazionarie come richiesto dalle onde di De Broglie. Tuttavia a differenza dell’onda stazionaria immaginata da De Broglie (che era un’onda unidimensionale) l’onda di Schrodinger è un’onda in tre dimensioni caratterizzabile (dal punto di vista della quantizzazione) da tre numeri indicati da n, l, m.
Trovando le soluzioni per gli orbitali dell’atomo di idrogeno si determinò che che i numeri associati alle avrie soluzioni stazionarie potevano assumere solo i seguenti valori:
Come si può osservare i valori trovati da Schrodinger sviluppando il modello ondulatorio coincidono con quelli postulati dal modello meccanico – ibrido di Bohr – Sommerfield. Ora però le condizioni di quantizzazione non sono più postulate ma derivano in modo naturale dall’ipotesi della natura ondulatoria della materia.
In questa nuova teoria ad ogni terna di numeri quantici n,l,m corrisponde una particolare onda stazionaria tridimensionale 
detta orbitale alla quale è associata una certa energia 
.
Applicando come visto tale teoria all’atomo di idrogeno (o anche ad atomi più complessi) si è anche in grado di individuare quell’informazione energetica legata alla righe spettrali che nessuna altra teoria era stata in grado di giustificare.
5. Interpretazione fisica delle onde di De Broglie
Alla luce dei successi della nuova teoria nella giustificazione dei fenomeni atomici, rimaneva però aperto il problema dell’interpretazione fisica di queste onde. Le prime interpretazioni possono essere così schematizzate:
Entrambe queste prime due interpretazioni portarono però a conseguenze inaccettabili, per questo motivo ci si spostò verso una nuova interpretazione (forse meno intuitiva) proposta dal fisico Max Born che costituisce tuttora l’interpretazione più accreditata.
Alla luce di questa interpretazione si vede che occorrerà parlare di distribuzione di un corpuscolo nello spaio e nel tempo, in quanto nella meccanica quantistica il corpuscolo non è più un punto materiale al quale è sempre possibile assegnare una precisa e determinata posizione; infatti in base alla concezione quantistica si trova (con una certa probabilità) contemporaneamente in ogni punto investito dall’onda ad esso associata.
Secondo tale interpretazione se si tenta di rilevare sperimentalmente al tempo t la posizione x di un corpuscolo la probabilità di trovare l’oggetto in una regione infinitesima dV è proporzionale a 
in modo che il quadrato della funzione d’onda corrisponda ad una densità di probabilità.
Per individuare la posizione precisa l’unica possibilità è procedere alla misurazione.
Naturalmente ciò comporta la rinuncia all’aspetto deterministico che caratterizza la fisica classica ed accontentarci di un aspetto probabilistico.
Un altro aspetto inquietante è che con questa interpretazione ogni qual volta si individua un corpuscolo si modifica radicalmente la struttura delle onde che arrivano ad addensarsi completamente nel punto in cui il corpuscolo è stato individuato.
6. Applicazioni della meccanica quantistica
Riflessione parziale
Come sappiamo un raggio luminoso che incide su un corpo trasparente si divide in un raggio riflesso e uno trasmesso le cui intensità relative dipendono dall’angolo di incidenza. Il fenomeno è facilmente interpretabile dalla teoria ondulatoria della luce. Se invece consideriamo il raggio luminoso come uno sciame di fotoni sorge una difficoltà: anche nell’ipotesi che tutti i fotoni siano uguali e incidano esattamente nelle stesse condizioni bisogna ammettere che certi fotoni siano riflessi mentre altri trasmessi !
L’interpretazione di Born ci permette di conciliare l’aspetto corpuscolare con quello ondulatorio supponendo che ad un fascio di fotoni tutti uguali è associata un’onda monocromatica 
che quando giunge sulla superficie di separazione si divide in un’onda riflessa 
ed un’onda trasmessa 
di intensità calcolabili per mezzo della teoria ondulatoria. Ma le rispettive intensità 
e 
sono proporzionali alla probabilità che un singolo fotone sia rispettivamente riflesso o trasmesso.
Concludendo se inviamo n fotoni con n molto grande il rapporto tra il numero di fotoni riflessi e trasmessi sarà dato da 
; quando consideriamo pochi fotoni sarà evidenziato l’aspetto corpuscolare, altrimenti sarà evidenziato l’aspetto ondulatorio.
7. Microscopio elettronico
Il microscopio elettronico è simile a quello ottico solo che invece di utilizzare un fascio di luce utilizza un fascio di elettroni.
A causa dei fenomeni di diffrazione il potere risolutivo dei microscopi ottici si arresta a grandezze paragonabili a 
(Angstron); infatti non si può evidenziare un oggetto che abbia dimensioni più piccole di quelle della 
associata alla radiazione considerata (limite fisico non superabile con miglioramenti tecnici).
Per migliorare il potere risolutivo occorre utilizzare 
più piccole di quelle della luce. Se utilizziamo una sorgente di elettroni interpretati secondo la teoria ondulatoria per avere 
piccole secondo la relazione 
ci occorreranno velocità elevate.
Se consideriamo un fascio di elettroni emessi da una sorgente per effetto termoionico e successivamente accelerato riusciamo ad ottenere la velocità e di conseguenza la relativa lunghezza d’onda delle onde di De Broglie associate desiderata. Le particelle sono focalizzate sul preparato mediante un condensatore e attraversa una lente magnetica (obiettivo) che forma una prima immagine ingrandita successivamente da una seconda lente magnetica (proiettivo) al fine di poter essere osservata.
Esistono due tipi di microscopi elettronici:
8. I principi alla base della meccanica quantisitica
Secondo l’interpretazione di Born qualsiasi procedimento in grado di dirci la posizione di un corpuscolo modifica la distribuzione delle onde ad esso associate, ed in particolare distrugge tutte le onde che si trovano al di fuori del volume all’interno del quale si è determinata la posizione del corpuscolo. In altre parole ogni esperimento che compiamo per rilevare la natura corpuscolare dell’elettrone distrugge il suo aspetto ondulatorio, mentre viceversa ogni esperimento che ne riveli la natura ondulatoria ci impedisce di rilevarlo come particella.
Questo principio generale della fisica prende il nome di principio di complementarietà di Bohr e risulta essere uno dei capisaldi della meccanica quantistica.
Ogni esperienza capace di evidenziare una particella come corpuscolo esclude di determinare il suo aspetto ondulatorio e viceversa.
Ad esempio, un elettrone da una certa apparecchiatura può essere localizzato come corpuscolo, mentre da un’altra apparecchiatura ne può essere valutata solo la frequenza e quindi essere visto come onda.
Abbiamo visto che De Broglie introduce la relazione fondamentale 
. Tale relazione però vale solamente quando l’onda associata al corpuscolo è monocromatica.
In generale l’onda associata alla particella non sarà monocromatica, ma può sempre essere considerata come sovrapposizione di un pacchetto di onde monocromatiche.
Quale sarà allora l’energia di una particella a cui è associato un pacchetto d’onde ?
A questa domanda risponde sempre Born con una seconda assunzione fondamentale:
la probabilità che la particella sia associata ad una particolare componente monocromatica è proporzionale all’intensità relativa della componente stessa.
In conclusione, se la prima assunzione di Born esprime la probabilità relativa alla posizione della particella attraverso l’intensità dell’onda complessiva, la seconda assunzione esprime la probabilità relativa all’energia e alla quantità di moto attraverso le intensità delle singole componenti monocromatiche dell’onda.
Come abbiamo visto, eseguire una misura significa trasformare in certezza la probabilità che la grandezza abbia una certo valore e ciò equivale a distruggere una o più componenti del gruppo d’onda associati alla particella stessa.
Queste considerazioni iniziali hanno portato alla formulazione del principio di indeterminazione di Heisenberg che recita:
La determinazione simultanea di due grandezze coniugate tra loro sono sempre suscettibili di indeterminazione.
Ricordiamo ora che mentre un pacchetto d’onda occupa una regione limitata di spazio l’onda sinusoidale monocromatica si estende ovunque. In particolare vale 
con 
intervallo dei numeri d’onda associati al pacchetto.
Da ciò segue che non è possibile realizzare un’operazione di misura che ci permetta di conoscere contemporaneamente la posizione x e la quantità di moto Q di una particella con un grado di precisione grande a piacere. La stessa cosa si può affermare per quanto riguarda l’energia della particella ed il relativo istante di tempo.
In modo formale si può dimostrare che:
Ad esempio se vogliamo misurare L’energia e il tempo nel quale l’energia stessa è stata irradiata saremo soggetti ad un errore 
.
Nell’esempio dell’elettrone, se vogliamo determinarne la posizione precisamente dobbiamo inviare una radiazione con 
piccolo che però farà variare in modo consistente la quantità di moto Q dell’elettrone.
Aumentando 
riduco l’energia incidente e di conseguenza si ridurrà la variazione della quantità di moto, ma risulterà meno precisa la posizione rilevata. In conclusione avrò sempre: 
Fonte: http://www.visus01.altervista.org/files/ottica%20fisica/13%20Meccanica%20quantisitica.doc
Sito web da visitare: http://www.visus01.altervista.org
Autore del testo: non indicato nel documento di origine
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