Calcolo della massa della terra

 

 

 

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Calcolo della massa della terra

 

Calcolo della Massa della Terra dalla misura di g

 

 

La forza di attrazione gravitazionale su di una massa m è:

     dove G è la costante di gravitazione universale, M_T  la massa della Terra, R_T il raggio terrestre.

L’accelerazione gravitazionale g è dunque   , e la massa M_T può quindi essere calcolata dalla relazione:  .

 

I valori da inserire nella formula per trovare la massa M_T sono:

 

R_T = 6314 km,  trovato da Eratostene nel 240 a.C

 

G = 6,7 10^-11   S.I.,  trovato da H. Cavendish nel 1798.

 

g =  il valore trovato da voi.

 

Misura di g

• Identificare  i 10 dischi di Piombo.
• Appendere almeno 5 dischi al supporto e contare il numero delle spire “libere” e di quelle fissate al supporto inferiore (numero frazionario ±  ¼  di spira).

 

 

In condizioni di equilibrio la massa m appesa alla molla di costante elastica k, la allunga di x₀  rispetto alla posizione di equilibrio senza massa appesa.

Se si sposta delicatamente la massa dalla posizione di equilibrio, e si lascia andare, la massa comincia ad oscillare verticalmente, con un moto armonico di periodo T.

Le relazioni matematiche sono:

 

 

Dove le grandezze misurate sono:

m= la massa dei pesi appesa alla molla  ;    x(m) l’allungamento corrispondente  ; T= il periodo di oscillazione con la massa m appesa.

m_e = massa equivalente appesa alla molla= m(pesi)+m_s(massa del supporto)+m_sl(massa delle spire fissate al supporto in basso)+ m_m(massa delle spire libere della molla)/3

quindi:       

Le grandezze incognite (da trovare), sono:   g= l’accelerazione di gravità,   k= la costante elastica della molla.

 

 

 

 

MISURE da fare

Mettere le varie masse m_i  (di cui avete già misurato la massa) sul supporto della molla e misurare, per ogni gruppo di masse (4 dischi-5 dischi-6 dischi…..-10 dischi):

•  l’allungamento x_i della molla.
•  n periodi di oscillazione [n=5-10] nT_i . Per ogni massa rifare la misura almeno 3  volte.

 

ELABORAZIONE

• Riportare su di un grafico lineare le coppie (m_ei, x_i); m_e in orizzontale, x in verticale.
• Subito (in laboratorio):

• Tracciare la retta migliore ad occhio che passa per i punti sperimentali.
• Calcolare il coefficiente angolare a della retta, che sarà uguale a g/k.
• Dovrebbe venire circa 0,19<a<0,27  [m/Kg]. Se è molto al di fuori dell’intervallo indicato vuol dire che è stato commesso un errore grossolano in qualche misura, o in qualche unità di misura, o nel riportare i punti sul grafico, o nel valutare il coefficiente angolare.

• A casa:

• Per ogni massa calcolare il valor medio del periodo T_i , facendo la media aritmetica dei valori ottenuti.
• Riportare su di un  grafico, lineare,  le coppie (T²(i)), m_i ); T²  in orizzontale, m in verticale.
• Calcolare il coefficiente angolare b=k/(2p)²,  e da questo la costante elastica k della molla.
• Utilizzare il valore di k  per  calcolare g= a k

 

Caratteristiche della molla utilizzata: (le incertezze sono deviazioni standard)

 

Massa della molla:     m_m(N=97 spire) = 26,6 ± 0,1 g  PER 97 SPIRE! Per calcolare la massa delle vostre spire dovete fare una proporzione.

Massa del supporto per i Piombi:    m_s = 33,3 ± 0,3  g

 

 

Calcolo dei parametri per una funzione del tipo:  y(x)=ax+b

(ovvero,  caso in cui i punti sperimentali stanno su di una retta in scala lineare)

La funzione è una retta, quindi y=ax+b ;  i due parametri si trovano così:  si scelgono due punti della retta “lontani”.

• Calcolo di a,  dalla definizione di coefficiente angolare, utilizzando i due punti P₁(-2,26)  , P₂(7,0) :

 

• La costante b  della funzione si trova leggendo direttamente sul grafico  il valore di y per x=0      b=y(0)=20,5  V

 

La massa della terra è M_T ~ ₆×10²⁴ kg.

 

Fonte: http://www.roma1.infn.it/exp/webmqc/Misura%20di%20g%20-%20filosofi.doc

Sito web da visitare: http://www.roma1.infn.it

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