Fisica accelerazione

ACCELERAZIONE
In Natura moltissimi fenomeni – anzi, praticamente tutti – avvengono a causa del cambiamento di velocità degli oggetti. Pensate ad un fulmine: esso si genera quando gli elettroni che orbitano intorno ad un atomo sono spinti da una forza elettrica: la loro velocità aumenta, essi sfuggono dal centro attrattivo dell’atomo e si dispongono nell’atmosfera, liberi di scaricarsi al suolo. All’opposto, pensate alla nascita di un legame chimico: due atomi si muovono liberamente, dopodiché le forze molecolari li agganciano fra loro, obbligandoli a stare uno intorno all’altro. Se volete esempi più pratici, considerate pure un qualsiasi motore: esso ha come unica funzione quello di cambiare continuamente la velocità del macchinario che guida, mettendolo in moto, fermandolo, accelerandolo o rallentandolo. In tutti questi esempi, c’è stato un cambiamento di velocità.
Perciò, ora che abbiamo imparato a misurare le velocità istantanee, possiamo trattare il problema di definire il caso delle velocità che variano nel tempo: infatti, come visto negli esempi sopra, la velocità di un corpo non rimane costante ma può aumentare o diminuire.
Però quello che spesso interessa non è soltanto quanto cambia la velocità ma anche quanto rapidamente cambia. Pensa infatti a due moto che partono entrambe da ferme  e che giungono alla velocità di 50km/h, la prima in 3s la seconda… in 30s! Quale delle due è la più scattante? Quale delle due vorresti guidare durante il sorpasso di un’auto? La prima moto è in grado di cambiare velocità rapidamente: essa arriva subito alla velocità di sorpasso e supera velocemente l’auto: la seconda… aumenta velocità lemme lemme: quando giunge ad avere la velocità per il sorpasso… l’auto da sorpassare è già andata via!
E’ evidente che è necessario definire una nuova grandezza che misuri quanto cambia la velocità rispetto al tempo necessario per il cambiamento, cioè che misuri la rapidità del cambiamento di velocità. Tale grandezza è l'accelerazione.
ACCELERAZIONE E VELOCITA’
L’accelerazione (a) rappresenta la rapidità con la quale cambia il modulo della velocità. Se all’istante t1 la velocità assume il valore V1 e all’istante t2 essa invece ha il valore V2, il cambiamento di velocità (DV) è espresso come: DV=V2-V1 mentre il tempo impiegato per il cambiamento  (Dt) è Dt=t2-t1. La rapidità del cambiamento di velocità è dato dal rapporto fra quanto la velocità è cambiata(DV) rispetto al tempo di cambiamento (Dt), perciò scrivo:
a = DV/Dt ---> a = (V2- V1)/Dt                                 (1a)
L’eq. (1a) è facilmente invertibile come:
Dt  =   DV/a                            (1b)      
DV = a×Dt                                (1c)       
In particolar modo, l’eq. (1c) può essere riscritta per ottenere la velocità finale (V2) dopo un tempo di accelerazione Dt a partire da una velocità iniziale V1; sapendo infatti che DV = V2 - V1  si ha:
V2 – V1 = a×Dt  --->   V2 = a×Dt + V1                           (1d)
A sua volta, l’eq. (1d) può essere facilmente invertita per ottenere V1. Scrivi tu la formula!
ACCELERAZIONE E SPAZIO
“Una moto si muove alla velocità di 15m/s quando improvvisamente frena. Il freno applica sulla moto una decelerazione a//=3m/s2 opposta alla velocità. Quanto tempo impiega la moto  fermarsi? Qual è il suo spazio di frenata?”  Eccovi la domanda: rispondete! “Facile! – i mimmi si scatenano a risolvere il problema – il tempo necessario alla frenata è 5s. Lo spazio percorso… ???”
Le formule (1a)-(1d) permettono di conoscere soltanto le velocità, non gli spazi percorsi in un moto accelerato. Sicuramente lo spazio percorso durante la frenata non è  DP=15m/s×5s = 75m perché durante i 5s la velocità non è rimasta costante e perciò la formula DP = V×Dt non è applicabile!
Esiste un facile teorema che permette di calcolare lo spazio DP percorso in un moto accelerato durante un tempo Dt ma noi non lo dimostreremo: per brevità, troveremo la formula finale per DP partendo da semplici considerazioni cinematiche espresse nel seguente teorema:
Teorema del moto uniformemente accelerato
“Un corpo che si muove con accelerazione “a” per un tempo Dt a partendo da una velocità iniziale V1 ed arrivante ad una velocità finale V2 percorre un tratto DP=(V2+V1)/2×Dt = 1/2×a×Dt2 + V1”
Hp) un oggetto si muove con accelerazione “a” partendo da una velocità V1 per un tempo Dt fino a giungere ad una velocità finale V2
Ts) Lo spazio percorso è DP= (V2+V1)/2×Dt = 1/2×a×Dt2 + V1
Dim) Per prima cosa, calcoliamo la velocità al tempo metà dell’accelerazione (V1/2), cioè dopo un tempo Dt/2:      V1/2 = V1 + a×Dt/2 .   Ma: Dt = (V2 – V1)/a --->   (sostituendo Dt e dopo un facile calcolo) --->
      --->   V1/2 = (V2 + V1)/2
Dunque, a metà del tempo di accelerazione, la velocità dell’oggetto è a metà fra la velocità iniziale e quella finale. Adesso supponiamo di calcolare la velocità dopo un piccolo tempo dt oltre il tempo Dt/2: la velocità aumenterà rispetto a V1/2 di un valore dV=a×dt. Calcoliamo invece la velocità ad un tempo dt prima della metà: la velocità diminuirà rispetto a V1/2 di un valore dV=-a×dt.
Ma allora, rispetto al tempo metà, ciò che viene guadagnato dopo (cioè dV=a×dt) è esattamente uguale a ciò che viene perso prima (cioè dV=-a×dt)! Tutto ciò che il corpo guadagna quando ha una velocità oltre V1/2 è esattamente uguale a ciò che ha già perso quando aveva una velocità inferiore a V1/2. Questo significa che è come se il corpo fosse sempre andato di moto uniforme ad una velocità esattamente uguale a V1/2, cioè alla velocità (V2+V1)/2. Ma allora:
DP = (V2 + V1)/2×Dt                     (2a)
Posso ottenere una seconda formula equivalente alla (2a) se nell’eq.(2a) sostituisco V2 con l’eq. (1d): dopo brevi calcoli ottengo subito:
DP = 1/2×a×Dt2 + V1                      (2b)                                C.V.D.
Le eq.(2a) e (2b) sono del tutto equivalenti: quale delle due sia meglio usare dipende soltanto dal tipo di problema.
La formula (2b) permette di ottenere l’equazione per il calcolo di P2 (cioè della posizione finale) una volta note accelerazione (a) , tempo di accelerazione (Dt) , velocità e posizione iniziali (V1 e P1). Poiché sappiamo che DP = P2 – P1 ---> P2 = DP + P1 ---> P2 = 1/2×a×Dt2 + V1 + P1              (3)
Segno di a
Notiamo come, dalla definizione stessa di accelerazione, si ricava che a è positiva quando la velocità finale V2 è maggiore della velocità iniziale V1 , è zero quando la velocità finale coincide con la velocità iniziale e negativa quando la velocità finale è minore della velocità iniziale.

Attenzione al significato di “velocità maggiore” e “velocità minore” !!! Avere “velocità minore” non significa “andare più piano”! Di due corpi, uno con velocità V1=4m/s e l’altro con velocità V2=-8m/s, il più veloce è il secondo (in ogni secondo esso percorre 8m mentre il primo solo 4) anche se la sua velocità è minore (-8 < 4).
Il segno dell’accelerazione da solo non indica se l’oggetto sta aumentando o diminuendo la sua velocità. Considera ad esempio il caso di una moto con velocità iniziale V=25m/s che viene frenata fino all’arresto in 5.0 s, risulta a =   = -5.0m/s2: l’accelerazione è negativa e la moto ha rallentato.

“Benissimo! Ho capito: quando a è negativa ho sempre un rallentamento…”   “Nooo! Non hai capito nulla! Aspetta che io finisca gli esempi prima di giungere alla conclusione.”

Facciamo un secondo esempio: solita moto di prima ma stavolta si muove in verso opposto con V=-25m/s. Essa frena nuovamente in 5s… a =  = +5m/s2. Stavolta l’accelerazione è positiva ma la moto ha rallentato !!!!! In classe abbiamo fatto degli esempi riguardo al segno di a e siamo giunti a questa conclusione:
se i segni di velocità e accelerazione sono concordi l’oggetto accelera
se i segni di velocità e accelerazione sono discordi l’oggetto decelera
Quesito 1: Supponiamo che un corpo abbia velocità pari a 10 m/s. Dopo 20 s la sua velocità è aumentata a 30 m / s. Qual è la sua accelerazione?
Ris: Per trovare l'accelerazione tangenziale media del corpo è sufficiente applicare l’eq. (2):
a = (V2– V1) / (t2 – t1) = (30 m/s - 10 m/s) / (20 s) = (20 m/s) / 20 s = 1 m/s2.

Quesito 2: La posizione di un corpo in caduta libera viene misurata ogni secondo e si ottengono i seguenti risultati: P0 = 0 , P1 = 4.9 m , P2 = 19.6 m , P3 = 44.1 m. Si calcolino le velocità medie e le accelerazioni medie nei vari intervalli di tempo.
Ris: Andiamo per prima cosa a calcolare le velocità medie nei vari intervalli di tempo. Tra 0 e 1 s la velocità media è V1 = 4.9 m / 1 s = 4.9 m /s. Nel secondo intervallo di tempo, compreso tra 1 s e 2 s, la velocità media è V2 = (19.6 m - 4.9 m)/1 s = 14.7 m/s. Nel terzo intervallo di tempo, tra 2 s e 3 s, la velocità media è V3 = (44.1 m - 19.6 m)/1 s = 24.5 m/s.

Come si può notare la velocità di un corpo in caduta non è costante ma aumenta al passare del tempo. L'accelerazione nel primo intervallo di tempo è:   a1 = (V2 - V1)/(1 s) = (14.7 m/ s - 4.9 m/s)/(1s) = 9.8 m/s2

Analogamente possiamo facilmente calcolare l'accelerazione nel secondo intervallo di tempo:
a2 = (V3 - V2)/(1 s) = (24.5 m/s - 14.7 m/s)/(1s) = 9.8 m /s2. Scopriamo che l'accelerazione media non è cambiata! infatti, un corpo in caduta libera si muove con un'accelerazione costante e uguale a g = 9.8 m /s2.
( Parte degli appunti ripresi dal documento: “ACCELERAZIONE NEL MOTO CURVILINEO” del Liceo Classico Statale “Vincenzo Lanza” di Foggia. Quesiti ripresi ed adattato dal sito: http://digilander.libero.it/danilo.mauro/temi/cinematica2.html#sthash.xhofeCtL.dpuf )