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ESERCIZI SULLA LEGGE DI ARCHIMEDE
Intanto, sapete tutti che la densità d è definita come il rapporto massa/volume e perciò:
r=M/V (Ia). Le formule inverse sono: M=r·V (Ib) ; V=M/r (Ic)
La densità dell’acqua è praticamente rAcqua = 1 kg/dm3 = 1000 kg/m3. La densità dell’aria è circa 700 volte minore: rAria = 1,4 kg/m3 circa.
Il peso specifico g è definito come il rapporto fra peso e volume:
g=Peso/V (IIa) => g = M·g/V (IIb)
Le formule inverse sono: Peso = g·V (IIc) ; V = Peso/g (IId)
Come sempre, g=9,81 N/kg circa.
Il peso specifico dell’acqua è dunque gAcqua= 9,81 N/Kg·1kg/dm3 => gAcqua= 9,81 N/dm3
Il peso di un corpo lo si trova usando la formula (IIc) : Peso = g·V.
La forza di Archimede è uguale al peso del liquido spostato. Poiché un corpo immerso nell’acqua sposta un volume uguale al suo volume immerso (Vimm), la forza di Archimede è uguale al peso del liquido contenuto nel volume immerso. Per l’equazione (IIc) si ha:
FARC = gliq·Vimm = g·rliq·Vimm
Se tutto il corpo è immerso allora Vogg = Vimm ed allora (ma solo in questo caso!!) si ha:
FARC = gliq·Vogg = g·rliq·Vogg
1) Sei un ingegnere navale! Ti danno l'incarico di progettare una nave la cui massa, carico compreso, deve essere di 4.000 kg. Quanto volume deve contenere la nave se non vuoi che affondi?
La nave deve galleggiare. Allora bisogna usare la formula del galleggiamento:
FARC = FPESO (1)
FARC=gACQUA×VIMM Þ (sostituisco FARC) Þ gACQUA×VIMM = FPESO Þ (risolvo per VIMM) Þ VIMM = FPESO/gACQUA
Conosco gACQUA = 9,81 N/dm3; per calcolare il peso ho due formule:
FPESO = MNAVE×g (2a)
FPESO = gNAVE×VNAVE (2b)
La formula (2a) deve essere usata quando conosco la massa dell'oggetto di cui voglio sapere il peso, la formula (2b) quando conosco il volume ed il suo peso specifico (o la sua densità, poiché g=g×r). In questo caso per trovare il peso conosco la massa e perciò uso la formula (2a):
FPESO = 4.000 kg × 9,81 N/kg = 39.240 N
Sostituisco i valori numerici : VIMM = 39.240 N/(9,81 N/dm3) = 4000 dm3.
Notate che in questo caso VIMM è uguale, come numero, alla massa della nave! Non è un caso: 1 dm3 d'acqua ha la massa di 1 kg e perciò è in grado di far galleggiare un oggetto di 1 kg; dunque per far galleggiare 4.000 kg bisogna spostare 4.000 dm3 d'acqua! (E se invece dell'acqua avessi avuto un liquido di densità r=0,5 kg/dm3, quanta acqua avrei dovuto spostare? Pensateci un po'... [Risposta: 8.000 dm3])
2) Adesso vogliamo costruire una bella zattera per andare sul fiume. La zattera è composta da tronchi di pino, sono un po' resinosi ma siamo vicino al mare e ci sono solo pini. La zattera ha una massa di 50 kg ed un volume di 120 dm3. Quanta massa può trasportare prima di andare a fondo?
Stessa formula di partenza: FARC = FPESO.
La zattera può immergersi al massimo fino a 120 dm3 e perciò la sua forza di Archimede massima è:
FARC = gAcqua×VZattera = 9,81 kg/dm3×120dm3 = 1177,2 N.
Il peso totale della zattera è dato dal peso della zattera più il peso della massa che trasporto (MX), che è proprio ciò che voglio trovare:
FPESO = MZattera×g + MX×g
Uso la formula (1): FARC = FPESO Þ (sostituisco i valori) Þ 1177,2 N = 50 kg×9,81 N/kg + 9,81 N/kg×MX Þ
Þ 1177,2 N = 490,5 N + 9,81 N/kg×MX Þ (trovo MX) Þ MX = 686,7 N/(9,81 N/kg) = 70 kg.
Dunque, se la massa trasportata sopra la zattera (MX) è minore o uguale a 70 kg la zattera galleggia, sennò... va a picco!!
Notate una cosa: la zattera ha un volume di 120 dm3 e riesce a trasportare una massa massima di 50 kg (la propria massa) + 70 kg (il carico) = 120 kg. I numeri del volume e della massa sono uguali! Stesso motivo di prima: 1 dm3 di acqua riesce a far galleggiare 1 kg di massa e perciò un volume immerso di 120 dm3 riesce a sostenere fino a 120 kg ( e se avessi fatto galleggiare la zattera su di un liquido la cui densità è doppia rispetto a quella dell'acqua, cioè r=2kg/dm3, quanta massa totale avrei potuto sostenere spostando un volume di liquido di 120 dm3? Pensateci... [Risposta: 240 kg])
3) Siete degli astronauti e siete arrivati su di un pianeta lontano dove i mari non sono fatti d'acqua ma di olio! La vostra astronave è andata a fondo proprio in mezzo ad una pozza; se volete tornare indietro dovete farla ritornare a galla. Ma non avete un argano! Come si fa? Idea: si infila un sacco dentro l'astronave e poi lo si gonfia. La spinta di Archimede farà tornare su l'astronave. Ma qual è il volume del sacco da immergere? Eccovi i dati da usare: MRAZZO = 2.000 kg, rOlio = 0,85 kg/dm3.
Per il galleggiamento vale sempre la solita formula: FARC = FPESO
Per calcolare FARC ho un'unica formula: FARC = gOlio×VSACCO. Per calcolare il peso uso la formula (2a) perché conosco la massa: FPESO = MRAZZO×g Þ (sostituisco FARC e FPESO) Þ gOlio×VSACCO = MRAZZO×g Þ (trovo VSACCO) Þ
Þ VSACCO = MRAZZO×g/gOlio
Non conosco gOlio però conosco rOlio. Posso perciò calcolare il peso specifico: gOlio = rOlio×g.
Potrei fare il calcolo subito, ma è meglio lasciarlo stare così ed inserirlo nella formula...
VSACCO = MRAZZO×g/gOlio = MRAZZO×g/rOlio×g = MRAZZO/rOlio
Adesso sostituisco i valori: VSACCO = 2.000 kg /(0,85 kg/dm3) = 2353 dm3 circa.
4) Sempre sul pianeta di prima, dovete fare degli importanti rilievi scientifici. Sul mare d'olio galleggia un misterioso blocco di roccia. Potrebbe essere pericoloso: bisogna scoprirne il volume totale e la massa! La sua densità è r=0,5 kg/dm3 e il sonar ci dice che il volume immerso è di 2.000 m3.
Quest'esercizio chiede di trovare il volume dell'oggetto (Vogg) conoscendo il volume immerso.
La formula da usare è quindi quella dei volumi:
Vimm = dogg/dliq×Vogg (3)
ATTENZIONE!!!! Questa formula (3) va usata solo se il corpo galleggia!!! Se non galleggia ma affonda allora il volume immerso è uguale a Vogg!!
Ricavo Vogg = dliq/dogg×Vimm
Fate voi la sostituzione e trovate il valore di Vogg! E per trovare la massa? Pensateci... sapete il volume e la densità dell'oggetto... (Risposta: Vogg = 3400 m3 ; Mogg = 1.700.000 kg)
PESO IN ACQUA
5) Un macigno la cui densità è dogg=3 kg/dm3 sta per cascare dentro il mare d'olio! Bloccherà le operazioni di recupero dell'astronave. Bisognerà tirarlo fuori dall'acqua e farlo galleggiare. Il volume del macigno è 1800 m3; qual è il peso di tale macigno in aria e quando è immerso nell'olio?
La formula del peso nel liquido, in questo caso olio, è data da:
Peso nell'olio = FPESO - FARC (4)
Dunque, devo trovare FPESO e FARC e poi fare la differenza.
Questa volta per trovare il peso ho il volume e la densità; dunque uso la formula (2b): FPESO = gogg×Vogg.
Per prima cosa, calcolo gogg = 9,8 N/kg×dogg Þ gogg = 9,8 N/kg×3kg/dm3 =29,4 N/dm3.
Poi calcolo FPESO = 29,4 N/dm3×1800 m3 ATTENTI!!! Il volume è in m3 mentre il peso specifico è in dm3. Faccio l'equivalenza: 1800 m3 = 1.800.000 dm3.
Adesso faccio i calcoli: FPESO = 29,4 N/dm3×1.800.000 dm3 = 52.920.000 N
Ora calcolo FARC = gOlio×Vogg .
Per prima cosa calcolo gOlio = 9,8 N/kg×0,85 kg/dm3 = 8,33 N/dm3.
Poi calcolo FARC = 8,33 N/dm3×1.800.000 dm3 = 14.994.000 N
Infine calcolo il Peso nell'olio = 52.920.000 N - 14.994.000 N = 37.926.000 N
6) Siete tornati sulla Terra con dei campioni scientifici molto importanti. Uno di questi è un animaletto che si è infilato dentro una provetta piena d'acqua e che non vuole più uscire. Bisogna pesarlo ma lui non vuole proprio venir via! Allora lo si pesa in acqua: il peso risulta essere di 200 N. Il volume dell'animaletto, ottenuto con una fotografia, risulta essere di 12 dm3. Quanto pesa l'animaletto in aria?
Bisogna trovare il peso. Uso l'equazione (4), stavolta ho acqua e non più olio:
Peso in acqua = FPESO - FARC
Ricavo FPESO = Peso in acqua + FARC.
Il peso in acqua lo conosco di già (200 N); trovo FARC con la solita formula: FARC = gAcqua×Vimm Þ (sostituisco i valori) Þ 9,81 N/dm3×12dm3 = 117,7 N
Dunque: FPESO = 200 N + 117,7 = 317,7 N
7) Nel laboratorio scientifico vi hanno dato un altro campione misterioso: una scatolina tutta strana della quale non si riesce a misurare il volume. Allora vi viene un'idea: se misuriamo il peso in aria della scatolina e poi quello in acqua, la differenza è la spinta di Archimede. Se la calcoliamo, conoscendo il peso specifico dell'acqua possiamo ottenere il volume. All'opera! Fatte le misure, risulta: peso in aria (FPESO) = 250 N, Peso in acqua = 110 N. Adesso troviamo il volume!
Per prima cosa calcoliamo la spinta di Archimede: Peso in acqua = FPESO - FARC Þ FARC = FPESO - Peso in acqua Þ
Þ FARC = 250 N - 110 N = 140 N.
Adesso troviamo il volume: FARC = gAcqua×Vimm = gAcqua×Vogg (la scatolina è tutta immersa) Þ Vogg = FARC/gAcqua. Svolgo i calcoli: Vogg = 110 N/(9,8 N/dm3) = 11,2 dm3 circa.
Fonte: http://digilander.libero.it/amaccioni1/Legge%20di%20Archimede/ESERCIZI%20SULLA%20LEGGE%20DI%20ARCHIMEDE%20IVF.doc
Sito web da visitare: http://digilander.libero.it/amaccioni1
Autore del testo: non indicato nel documento di origine
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"Ciò che sappiamo è una goccia, ciò che ignoriamo un oceano!" Isaac Newton. Essendo impossibile tenere a mente l'enorme quantità di informazioni, l'importante è sapere dove ritrovare l'informazione quando questa serve. U. Eco
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