I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore
Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).
Supponiamo di andare a misurare la larghezza dei banchi presenti nella classe. Effettuare una misura significa andare a confrontare la larghezza del banco con un campione di riferimento, ad esempio un righello. Riportiamo di seguito un tipico esempio di risultati che si possono ottenere:
x1 = 62.8 cm, x2 = 62.3 cm, x3 = 63.3 cm, x4 = 63 cm, x5 = 62.4 cm, x6 = 63 cm.
Un'altra osservazione che possiamo trarre dalle misure che abbiamo effettuato è che non tutti i risultati ottenuti sono uguali, anche se nella maggioranza dei casi essi differiscono di poco. Questo è dovuto al fatto che ogni misura fisica deriva da un'interazione fra l'osservatore e l'oggetto mediata dallo strumento di misura. Ogni interazione di questo tipo è soggetta a degli errori. Questi errori fanno sì che non esista il concetto di valore corretto della larghezza del banco.
Nonostante ciò possiamo comunque dare la migliore stima della larghezza del banco che coincide con il valore medio delle singole misure. Il valor medio viene definito come la somma di tutte le misure effettuate divisa per il numero totale delle misure. Nel nostro caso particolare:
(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) / 6 cm = 62.8 cm.
Come si vede dalla formula precedente tutte le misure effettuate, senza alcuna esclusione, contribuiscono in ugual misura al valor medio della larghezza del banco. Nella prossima sezione analizzeremo invece un po' meglio il concetto di errore associato a una misura.
Strumenti di misura
Sono apparecchiature in grado di misurare delle grandezze fisiche.
Le caratteristiche di ogni strumento di misura sono:
Come abbiamo detto nella precedente sezione ogni misura fisica è associata ad un errore. Gli errori che commettiamo nelle nostre misure possono essere ridotti al minimo scegliendo in maniera opportuna gli strumenti di misura oppure operando con criterio. Gli errori però non possono mai essere del tutto eliminati.
Ci sono due categorie principali di errori che si possono commettere in una misura:
Incertezza nelle misure:
Ad ogni misura è sempre associata un incertezza, cioè una misura non sarà mai esatta al 100%, ci sarà sempre un errore. Gli errori di misura si suddividono in due tipologie:
Per scrivere il risultato di una misura riporteremo prima di tutto l'esito (che coincide con il valor medio nel caso di misure ripetute), poi il simbolo ± seguito dall'errore ea e dall'unità di misura):
RISULTATO DI UNA MISURA = (ESITO ± ea) · UNITÀ DI MISURA.
Ad esempio se la misura della larghezza del tavolo fornisce come risultato (62.8 ± 0.9) cm vuol dire che la larghezza del tavolo è compresa tra (62.8 - 0.9) cm e (62.8 + 0.9) cm, ossia tra 61.9 cm e 63.7 cm.
(Valore misura ± incertezza) ∙ unità di misura
L’incertezza viene chiamata anche errore assoluto della misura.
Si possono verificare due casi:
Caso 1
Si è effettuata una sola misura della grandezza fisica, oppure una serie di misure con il medesimo valore, allora il suo errore assoluto è rappresentato dalla sensibilità dello strumento.
Valore misura = valore misurato
Incertezza = errore assoluto = sensibilità dello strumento
Es.: misuro la lunghezza di un foglio di carta con un righello di sensibilità 1mm, trovo un valore di 17,5 cm.
Il valore della misura sarà scritto come: (17,5±0,1)∙cm
Caso 2
Vengono effettuate una serie di misure di una medesima grandezza fisica, si avranno una serie di valori tutti diversi fra di loro. Per ottenere il valore della misura si fa una media aritmetica delle misure rilevate. L’errore assoluto, invece, viene determinato considerando la differenza fra il valore max delle misure e il valore minimo, diviso 2. L’intervallo di misura attorno al valore medio rappresenta l’incertezza della misura rilevata, chiamato anche semidispersione massima.
Riassumendo il risultato di una misura si scrive:
Valore misura = valore medio delle misure = (somma di tutti i valori misurati) / (numero delle misure)
Incertezza = errore assoluto = (valore max – valore min) / 2
Es.: si è effettuata la misura ripetuta del tempo che impiega una pallina da tennis a toccare terra da un’altezza di 2m. Si sono effettuate 5 misure: 1,56 s; 1,61 s;1,58s; 1,62s; 1,57s.
Valore misura = Vm= (1,56+1,61+1,58+1,62+1,57)s / 5 = 1,588 s= 1,59s
Errore assoluto = ea = (1,62-1,56)s / 2 = 0,06s
Il valore della misura sarà quindi scritto: (1,59±0,06)∙s
La precisione di una misura viene invece stimata con l’errore relativo o percentuale.
Esso è dato dal rapporto dell’errore assoluto con il valore della misura.
Errore relativo = errore assoluto / valore misura
Quanto minore sarà l’errore relativo tanto maggiore sarà la precisione della misura.
Es: un auto è pesata con una bilancia con sensibilità pari a 1 Kg, il peso dell’auto è di 1000 Kg
Della pasta invece è pesata con una bilancia da casa con sensibilità pari a 10 g e il peso della pasta è di 500 g. Quale delle due misure è più precisa?
Bisogna considerare gli errori relativi.er1= 1kg / 1000 kg per l’auto e .er2=10g / 500g (= 1/50) per la pasta, da qui concludiamo che la misura dell’auto è più precisa di quella della pasta, .er1.< er2.
Infine abbiamo: errore relativo percentuale = errore relativo x 100.
Nelle precedenti sezioni abbiamo visto che, nel caso di misure ripetute, la migliore stima per l'esito di una misura è dato dal suo valore medio. In generale, il risultato della divisione, che ci consente di calcolare il valor medio delle misure, può essere costituito da parecchie cifre. In questa sezione vogliamo chiarire quante di queste cifre sono significative per la misura di una grandezza fisica.
Il punto di partenza è sempre costituito dall'analisi dell'errore. Abbiamo detto che l'errore nel caso di misure ripetute è dato dalla semidispersione. Come abbiamo visto nella precedente sezione, anche la semidispersione è il risultato di un'operazione matematica: come regola generale andremo sempre ad arrotondare la semidispersione a una sola cifra significativa. Pertanto se la semidispersione o, più in generale, l'errore in una misura contiene più di una cifra significativa è necessario arrotondare l'errore a una cifra significativa. L'arrotondamento dell'unica cifra significativa viene fatto:
Ad esempio 1.3 e 2.4 vengono arrotondati rispettivamente a 1 e a 2. Viceversa 3.8 e 8.5 vengono arrotondati a 4 e a 9.
Una volta arrotondato l'errore a una cifra significativa, si procede ad arrotondare l'esito della misura in modo tale che la posizione dell'ultima cifra significativa coincida con la posizione dell'unica cifra significativa dell'errore. Le regole per arrotondare l'esito della misura sono quelle appena viste per l'errore: si arrotonderà per eccesso se la prima cifra non significativa è compresa tra 5 e 9, si arrotonderà per difetto se invece la prima cifra non significativa è compresa tra 0 e 4. Ad esempio se la semidispersione nella misura della larghezza del banco vale 9 mm e la media delle larghezze fornisce 628.38 mm allora tale media andrà approssimata per difetto a 628 mm, ossia x = (628 ± 9) mm. Se invece la media delle larghezze è 628.72 mm allora l'arrotondamento dovrà essere fatto per eccesso e la misura fornirà x = (629 ± 9) mm.
Vogliamo ora fare alcune precisazioni: prima di tutto è importante sottolineare come in fisica le cifre significative vengano contate sempre a partire dalla prima cifra diversa da 0. In altre parole i numeri 3, 0.2, 0.04 e 0.009 contengono tutti un'unica cifra significativa. La seconda precisazione invece riguarda gli zeri finali. Supponiamo di aver ottenuto 199.6 mm in una misura di lunghezza effettuata con il normale metro a nastro avente una sensibilità pari a 1 mm. In questo caso particolare, la misura va arrotondata a 3 cifre significative e fornisce (200 ± 1) mm. Dovrebbe essere chiaro da quanto abbiamo detto finora che i due 0 che compongono il numero 200 sono cifre significative a tutti gli effetti. Tali 0 hanno infatti un significato fisico ben preciso: ci dicono che sia i centimetri che i millimetri sono stati misurati e hanno fornito 0 come risultato.
Supponiamo ora di voler usare come unità di misura per la larghezza del banco il micron (μm) anziché il millimetro (mm). Se un millimetro è pari a un millesimo di metro, un micron è pari a un milionesimo di metro. Pertanto 1 mm = 1000 μm. Di conseguenza la larghezza del banco verrà ad essere uguale a (628000 ± 9000) μm. Quante sono le cifre significative in questo caso? Le cifre significative rimangono 3 nel caso della misura e una nel caso dell'errore. In questo caso infatti i tre 0 presenti sia nella misura che nell'errore sono solo una conseguenza della conversione di unità di misura ma non sono cifre significative. Dal momento che abbiamo misurato la larghezza del banco con il metro a nastro l'unica cifra significativa rimane quella dei millimetri. Per eliminare gli zeri non significativi andremo ad introdurre nella prossima sezione il concetto di notazione scientifica.
Come abbiamo anticipato nella precedente sezione, in fisica è molto comodo utilizzare la cosiddetta notazione scientifica. Un prerequisito importante per poter utilizzare bene la notazione scientifica è quello di conoscere le potenze positive e negative del 10:
Come emerge dalla precedente tabella, nel caso di potenze positive il numero che sta ad esponente ci dice quanti sono gli 0 presenti dopo l'1 iniziale; ad esempio 103 equivale a 1000 in cui l'1 iniziale è seguito da tre 0 consecutivi. Nelle potenze negative, invece, il numero che sta ad esponente conta il numero degli 0 presenti alla sinistra della prima cifra significativa. Ricordiamo invece che un numero elevato alla 0 è uguale a 1 per preservare le proprietà delle potenze. Infatti 10x : 10x = 100 ma ogni numero diviso per se stesso è anche uguale ad 1.
In generale, un numero è scritto in notazione scientifica quando è il prodotto di un numero compreso tra 1 e 10, moltiplicato per un'opportuna potenza di 10. Come esempio possiamo scrivere i 628000 μm della sezione precedente in notazione scientifica. Avremo:
628000 μm = 6.28 · 105 μm.
Quando i numeri sono espressi in notazione scientifica è immediato contare il numero di cifre significative presenti. Nell'esempio citato sopra, una volta trascritto il numero in notazione scientifica, sono scomparsi i tre 0 spuri e pertanto le cifre significative sono le tre cifre che compongono il numero che va a moltiplicare la potenza di 10, vale a dire 6.28.
Un altro vantaggio della notazione scientifica risiede nella facilità con cui si possono eseguire operazioni che coinvolgono numeri molto grandi oppure molto piccoli, che compaiono spesso in fisica, soprattutto quando ci forziamo ad usare sempre le unità del Sistema Internazionale. Ad esempio, la distanza tra la Terra e il Sole, espressa in metri, è pari a 1.5 · 1011 m. La potenza di 10 che compare in un numero scritto in notazione scientifica prende anche il nome di ordine di grandezza. Ad esempio possiamo dire che l'ordine di grandezza della distanza Terra-Sole è pari a 1011 m.
Prima di concludere questa sezione, andiamo a ripassare alcune regole importanti per eseguire operazioni tra numeri in notazione scientifica. Per moltiplicare due numeri scritti in notazione scientifica useremo la proprietà commutativa della moltiplicazione e il fatto che il prodotto di due potenze aventi ugual base è uguale a una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Ad esempio: 3 · 104 · 2 · 105 = 6 · 109. Analogamente nelle divisioni useremo la regola che il rapporto tra due potenze aventi stessa base fornisce una potenza di ugual base avente per esponente la differenza degli esponenti: (3 · 104) : (2 · 105) = 3/2 · 104-5 = 1.5 · 10-1.
Se vogliamo invece sommare o sottrarre due numeri in notazione scientifica è fondamentale fare in modo che i due numeri abbiano lo stesso ordine di grandezza prima di usare la proprietà distributiva per andare a effettuare la somma. Ad esempio:
3.7 · 104 + 4.85 · 103 = 3.7 · 104 + 0.485 · 104 = (3.7 + 0.485) · 104 = 4.185 · 104.
Infine, per quel che riguarda le potenze dobbiamo ricordarci che per elevare a un certo esponente una potenza dobbiamo mantenere inalterata la base e andare a moltiplicare gli esponenti:
(5 · 103)2 = 52 · 103·2 = 25 · 106 = 2.5 · 107.
L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 che più si avvicina a quel numero.
Es.: la distanza Bologna-Milano è 210 km = 2,1x102 km
In questo caso l’ordine di grandezza è 102 km = 100 km oppure si dice grandezza di ordine 2
la distanza Bari-Milano è 880 km = 8,8x102 km
In questo caso l’ordine di grandezza è 103 km = 1000 km oppure si dice grandezza di ordine 3
Questo perché 880 è più vicino a 1000 che non a 100.
Fonte: http://digilander.libero.it/quantum2008/APPUNTI/Nuova_cartella/Errori_di_misura.doc
Sito web da visitare: http://digilander.libero.it/quantum2008
Autore del testo: non indicato nel documento di origine
Il testo è di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente i loro testi per finalità illustrative e didattiche. Se siete gli autori del testo e siete interessati a richiedere la rimozione del testo o l'inserimento di altre informazioni inviateci un e-mail dopo le opportune verifiche soddisferemo la vostra richiesta nel più breve tempo possibile.
I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore
Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).
"Ciò che sappiamo è una goccia, ciò che ignoriamo un oceano!" Isaac Newton. Essendo impossibile tenere a mente l'enorme quantità di informazioni, l'importante è sapere dove ritrovare l'informazione quando questa serve. U. Eco
www.riassuntini.com dove ritrovare l'informazione quando questa serve