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MISURA DELLA COSTANTE ELASTICA DI UNA MOLLA E SUA TARATURA PER COSTRUIRNE UN DINAMOMETRO
CENNI TEORICI
Consideriamo un molla di massa trascurabile appesa ad un gancio in posizione verticale, consideriamo un sistema di riferimento y coincidente con l’asse verticale della molla e sia L0
la lunghezza a riposo della molla. Si può osservare che allungando o comprimendo la molla, cioè applicando una forza alla sua estremità libera, otteniamo una variazione della sua lunghezza rispetto alla lunghezza a riposo.
In particolare possiamo ottenere tale allungamento appendendo un oggetto di massa M all’estremità inferiore del gancio della molla. Indichiamo con L-L0 la variazione di lunghezza della molla dove L è la lunghezza della molla nella nuova posizione. Quando L è diverso da L0, la molla tende a riportare la lunghezza al valore L0 sviluppando una forza di richiamo, che risulta proporzionale alla variazione di lunghezza. Indichiamo con k>0 la costante di proporzionalità e con Fy la componente della forza lungo l’asse y diretta verso l’alto, otteniamo dunque la seguente relazione:
Fy =k(L- L0)
dove k è detta costante elastica della molla e Fy forza elastica di richiamo.
Imponendo le condizione di equilibrio della molla otteniamo la seguente relazione
Mg=k(L- L0)
dove Mg è la forza peso (che denotiamo Fp) ed è opposta a Fy. Possiamo osservare che la variazione di lunghezza della molla è legata alla massa appesa in modo lineare.
Confrontando le due relazioni precedenti possiamo dedurre che Fy e Mg sono uguali.
Variando la lunghezza della molla rispetto alla sua posizione di equilibrio e lasciandola libera di muoversi, la molla si muove di moto armonico con periodo:
T=2π√ (M/k)
ESPERIMENTO N.1: Verifica della legge di Hooke
Obiettivi
Lo scopo di questo esperimento è di verificare la proporzionalità diretta tra le forze e gli allungamenti della molla e calcolare sperimentalmente il valore della costante elastica.
Materiale utilizzato
Esecuzione dell’esperimento
Fissiamo le condizioni iniziali che devono rimanere invariate durante l’esperimento:
Appendiamo la molla ad un sostegno e agganciamo ad essa un cestello porta dischi e misuriamo la lunghezza della molla nella nuova posizione L.
Aggiungiamo uno alla volta i dischi forati nel cestello con attenzione, senza lasciarli andare bruscamente, in modo da non determinare eccessive oscillazioni della molla.
Misuriamo con una riga le nuove posizioni di equilibrio della molla rispetto alla scala, usando sempre lo stesso riferimento per la misurazione, controllando accuratamente che la riga sia posta sempre verticalmente parallelamente alla molla.
Costruiamo successivamente un grafico (∆L; Fp) con lo scopo di verificare la proporzionalità diretta tra le forze e gli allungamenti e calcolare il valore della costante elastica della molla.
Ripetiamo lo stesso esperimento con una molla diversa ed osserviamo che la nuova costante elastica è diversa da quella della molla precedente.
Dati misurati ed elaborazione
Molla 1
Eseguendo quanto indicato precedentemente, misuriamo il valore di L0=20.7±0.1 cm senza il cestello porta dischi e raccogliamo i dati sperimentali in una tabella.
Eseguiamo 7 misure con 7 masse diverse di cui la prima è il cestello.
Ogni volta che si aggiunge una massa, la massa risultante ha un errore derivante dalla somma (e quindi cresce via via che si aggiungono le masse). L’errore su ∆L è dato dalla somma degli errori su L e su L0.
Riportiamo nella seguente tabella i valori delle misure effettuate con i relativi errori
m (kg* |
F_p=m*g (N) |
L±0.1 (cm) |
∆L=(L-L0)±0.2 (cm) |
k=F_p/∆L (N/m) |
52±1 |
510±10 |
22,6±0,1 |
1,9±0,2 |
27±3 |
88±2 |
870±20 |
24,1±0,1 |
3,4±0,2 |
25,4±1,6 |
140±3 |
1370±30 |
26,1±0,1 |
5,4±0,2 |
25,4±1,1 |
192±4 |
1880±40 |
28,3±0,1 |
7,6±0,2 |
25,9±0,8 |
250±5 |
2450±50 |
30,4±0,1 |
9,7±0,2 |
25,2±0,7 |
316±6 |
3100±60 |
33,0±0,1 |
12,3±0,2 |
25,2±0,6 |
389±7 |
3820±70 |
35,9±0,1 |
15,2±0,2 |
25,1±0,6 |
L’errore su k si calcola mediante la formula in quadratura
dove
Con
Costruiamo il grafico riportando i valori di ∆L sull’asse delle ascisse ed i valori di Fp sull’asse delle ordinate misurati con i relativi errori. La pendenza della retta rappresenta la costante elastica della molla che confronteremo con la media del rapporto Fp/∆L.
Calcoliamo l’errore sul valore medio di k della prima molla con (kmedio= 25,432 N/m):
Applicando il metodo dei minimi quadrati, dei quali ne riportiamo le relazioni alla fine della relazione, alla funzione FP=kDL+A, otteniamo i seguenti risultati per coefficiente angolare e intercetta:
Possiamo notare che il termine noto è compatibile con 0 e che la costante elastica è compatibile con la media calcolata.
Molla 2
Ripetiamo lo stesso esperimento con una molla diversa per osservare se abbiamo a che fare con una molla dello stesso tipo o con una molla completamente diversa.
Riportiamo qui di seguito la tabella con le misure relative ad una seconda molla:
m (kg*10^3) |
F_p=m*g (N) |
L ± 0,1 cm |
∆L=(L-L0)±0.2 (cm) |
k=F_p/∆L (N/m) |
52±1 |
510±10 |
25,0 |
2,0 |
25±3 |
88±2 |
870±20 |
26,3 |
3,3 |
26,2±1,7 |
140±3 |
1370±30 |
28,6 |
5,6 |
24,5±1,0 |
192±4 |
1880±40 |
30,7 |
7,7 |
24,4±0,8 |
250±5 |
2450±50 |
32,9 |
9,9 |
24,7±0,7 |
316±6 |
3100±60 |
35,8 |
12,8 |
24,3±0,6 |
389±7 |
3820±70 |
38,6 |
15,6 |
24,5±0,5 |
Calcoliamo l’errore sul valore medio di k per la seconda molla con (kmedio=24,869 N/m)
Per avere una stima di k più accurata troviamo i valori di A e B con il metodo dei minimi quadrati,dove Y=A+BX.
Applicando il metodo dei minimi quadrati, dei quali ne riportiamo le relazioni alla fine della relazione, alla funzione FP=kDL+A, otteniamo i seguenti risultati per coefficiente angolare e intercetta:
Possiamo notare che il termine noto è compatibile con 0 e che la costante elastica è compatibile con la media calcolata.
Confrontando i valori delle costanti elastiche delle due molle possiamo dire che entro gli errori le due costanti elastiche sono uguali, quindi anche le due molle sono dello stesso tipo.
Minimi quadrati
=
=
=
=
ESPERIMENTO 2:Taratura di una molla per la costruzione di un dinamometro
Obiettivo
Lo scopo di questa seconda parte dell’esperimento è la taratura della molla per la costruzione di un dinamometro e la misurare di una forza relativa a una massa incognita.
Materiale utilizzato:
Esecuzione dell’esperimento:
Fissiamo le condizioni iniziali :lunghezza a riposo della molla L0 e il punto della molla a cui riferirsi per misurare l’ allungamento relative alla prima molla dell’esperimento 1. Appendiamo la molla utilizzata nell’esperimento 1 ad un sostegno sul quale appoggiamo una striscia di carta millimetrata incollata su un cartoncino. Segnamo la posizione della molla in condizione di riposo e appendiamo delle massa indicando su carta millimetrata la nuova posizione dovuta all’allungamento per ciascuna massa. Poi misuriamo il valore della forza di intensità non nota (poiché la massa è incognita), mediante due procedimenti diversi: uno diretto utilizzando la taratura della molla, e uno indiretto utilizzando il k ottenuto dal grafico dell’esperimento numero 1.
Dati misurati:
Misuriamo il valore della forza di intensità non nota (poiché la massa è incognita), mediante due procedimenti diversi:
1)misurazione diretta: utilizzando la taratura della molla determinata nella prima parte dell’esperienza, determiniamo in corrispondenza della lunghezza segnata il valore della forza applicata alla molla.
2)misurazione indiretta: utilizzando il k ottenuto dal grafico dell’esperimento numero 1.
Diciamo che i punti 1 e 2 sono pressoché equivalenti, in quanto facciamo sempre uso della costante elastica determinata nella prima esperienza per determinare la forza applicata alla molla. Abbiamo voluto appositamente utilizzare i risultati precedenti per determinare le masse (riportate nella seguente tabella) che servirebbero per tarare la molla.
Riportiamo qui di seguito la tabella con le nuove misure:
L(cm) |
Delta L (m) |
F_p (N) |
masse (gr) |
20,70 |
0,000 |
0,00 |
0,00 |
22,70 |
0,020 |
0,50 |
499,60 |
24,70 |
0,040 |
1,00 |
999,20 |
26,70 |
0,060 |
1,50 |
1498,80 |
27,60 |
0,069 |
1,72 |
1723,62 |
35,00 |
0,143 |
3,57 |
3572,14 |
Nel calcolo della F_p nella tabella precedente abbiamo utilizzato k=24,98 ottenuto nel grafico relativo alla prima molla.
Presa una massa incognita abbiamo ottenuto un allungamento ∆L=0,0690, il quale corrisponde per lettura diretta sulla scala graduata ad una forza peso di circa 1,7 N. Utilizzando invece la costante elastica possiamo calcolare che F_p=1,72 e la massa associata è pari a 1723,14g.
Conclusioni
Questa esperienza permette di verificare con buona approssimazione la legge di Hooke. Confrontando 2 molle abbiamo verificato che hanno la stessa costante elastica. È inoltre interessante procedere con la taratura di una molla per la costruzione di un dinamometro approssimato, risulta infatti più preciso determinare la massa incognita a partire dalla misura dell’allungamento con l’utilizzo della costante elastica determinata in precedenza.
Fonte: http://www.fe.infn.it/u/mandreot/SSIS/LabFisicaModuloII/RelazioneLeggediHooke.doc
Sito web da visitare: http://www.fe.infn.it/
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