Sillogismo

 

 

 

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Sillogismo

 

Dal sillogismo aristotelico all’inferenza stoica         ( Prof. Giuseppe Balido)    Logica e Metodo             

Premessa

    La logica di cui ci occupiamo, in questo lavoro, è la logica formale che affonda le radici nel mondo antico e trova un rinnovato interesse nella seconda metà dell’ottocento grazie ai contributi di G. Boole, G. Frege e G. Peano . In tempi a noi più vicini, altri eminenti studiosi hanno intrapreso ricerche fondamentali per rivedere posizioni storiche, date come definitivamente acquisite, introducendo elementi innovativi non solo sul piano storico-ermeneutico ma anche su quello logico-matematico e simbolico. Si pensi ai risultati raggiunti da B. Mates per la logica stoica e da J. Łukasiewicz per la logica aristotelica .
Vale la pena ricordare che la logica aristotelica e quella stoica non devono essere confuse con la logica trascendentale di matrice kantiana, finalizzata a formulare giudizi sintetici a priori, né con la logica dialettica hegeliana, il cui sviluppo triadico di tesi, antitesi e sintesi rappresenta il processo che determina il costituirsi dell’equivalenza fra realtà e razionalità, poiché queste logiche non prescindono dai contenuti e non si occupano solo delle forme discorsive che sono, invece, oggetto di una ‘Logica pura’. Naturalmente, qui, non si prende in considerazione nemmeno la logica legata alla filosofia crociana, espressione dell’attività conoscitiva dello Spirito nel suo necessitato svolgimento storicistico, bensì una logica che è: 1)scienza nomologica, in quanto caratterizzata da leggi assertive 2)scienza deontologica, poiché prevede l’utilizzazione di regole prescrittive, 3) tecnica, poiché è possibile costruire espressioni enucleate da altre espressioni attraverso regole .
E’ altresì utile sottolineare che prenderemo in esame la logica classica o ortodossa, caratterizzata da due soli valori di verità (il vero e il falso) e dall’atemporalità, a differenza della logica eterodossa che invece può essere polivalente e temporale (contempla, cioè, più di due valori di verità ed enunciati analizzati nei vari istanti temporali). Infine non è un dato marginale evidenziare che la logica formale classica a differenza di altri tipi di logica si fonda su tre fondamentali principi: 1) principio di non contraddizione 2) principio di identità 3) principio del terzo escluso.
Tali principi non sono tre diversi principi ma solo diverse formulazioni di un unico principio ; in verità accettare l’ipotesi di una autonomia per ognuno di essi sarebbe una incongruenza filosofica, così come quando si ammette l’esistenza di più sostanze e si dà al termine sostanza il significato di «ciò che per esistere non ha bisogno di altro».
Da quanto esposto non dovrebbe suscitare meraviglia il vasto campo di applicazioni che la logica trova, in quanto il suo impiego non viene solo richiamato negli approcci di teorie logico-matematiche ma anche all’interno di teorie linguistiche per studiare la semantica dei linguaggi artificiali e di quelli naturali. La logica, oltre che a porsi come fondamento dell’informatica, identificandosi con i processi computazionali , si offre anche come strumento metodologico non solo nelle discipline filosofiche ma anche in ambito teologico per affrontare  impegnative questioni di ordine religioso da una prospettiva non fideistica .
In questa sede ci limiteremo a porre in evidenza le formulazioni che Aristolele offre del sillogismo, utilizzando una logica terministica (che fa uso di termini), e gli schemi argomentativi (inferenze) presi in esame dagli stoici che sviluppano una logica proposizionale o enunciativa (che fa uso di proposizioni o enunciati).
1. La logica di Aristotele                                                                                                                     

 

    Anche se i primi elementi cognitivi, utilizzati per affrontare problemi di carattere logico, furono formulati da Zenone di Elea, fondatore della dialettica, e da Socrate che introdusse rilevanti novità metodologiche, si deve a Platone una più compiuta sistemazione delle procedure argomentative, giungendo egli alla risoluzione di problemi logici con l’introduzione della definizione mediante il metodo della divisione (diairesis) . Ma è Aristotele che occupa un posto unico nella storia della logica poiché lo Stagirita, con la sillogistica (studio sistematico dei sillogismi), gettava le fondamenta della logica come sistema assiomatico .
Come è noto, gli scritti di logica prodotti da Aristotele sono raccolti in un corpus (Organon) di cui fanno parte le opere: Categorie, Dell’interpretazione, Analitici primi,  Analitici secondi,  Topici,  Elenchi sofistici. Ed è proprio nei Topici che Aristotele ci fornisce il significato di sillogismo affermando: «Sillogismo è propriamente un discorso in cui, posti alcuni elementi, risulta per necessità, attraverso gli elementi stabiliti, alcunché di differenti da essi» , mentre negli Analitici primi asserisce: «Occorre invero trattare del sillogismo prima che della dimostrazione, poiché il sillogismo ha un grado maggiore di universalità. La dimostrazione è infatti un particolare sillogismo, mentre non tutti i sillogismi sono dimostrazioni» . Nella stessa opera Aristotele sviluppa gli elementi concettuali di una teoria ben sviluppata della sintassi logica, scegliendo una terminologia che non si presta a contrastanti interpretazioni, ed elabora una rigorosa dottrina semantica, poiché la logica aristotelica ha come proprio oggetto parole dotate di senso , come si evince dal brano che segue: «La premessa, ordunque, è un discorso che afferma o che nega qualcosa rispetto a qualcosa … Chiamo termine, d’altro canto, l’elemento cui si riduce la premessa, ossia ciò che è predicato e ciò di cui è predicato, con l’aggiunta di essere o non essere» .
Da quanto esposto si deduce che è dunque il sillogismo l’oggetto della logica; «esso è una forma di discorso (logos) che è costituita da premesse (protaseis) composte a loro volta da termini (oroi)» . Per termine, come si evince dagli Analitici Primi, deve intendersi ciò che designa classi costituite da più individui e che in senso grammaticale corrisponde a ciò che viene definito “nome comune”; ciò vuol dire che nelle premesse (protaseis) di un sillogismo aristotelico non dovrebbero mai comparire termini che designano “nomi propri” e perciò individui o classi costituite da un solo individuo , come purtroppo si legge spesso nei manuali scolastici o in qualche lavoro a carattere divulgativo . Nei Topici, invece, possiamo capire che la struttura del sillogismo prevede delle premesse da cui necessariamente deriva una conclusione.
Prima di affrontare la formulazione dei sillogismi aristotelici dobbiamo precisare che per termine intenderemo quindi espressioni come: uomo, animale, cavallo, campano, mortale, ecc., e che ogni termine è caratterizzato da una maggiore o minore estensione nel senso che può essere predicato di un maggiore o minor numero di individui appartenenti a classi diverse. Così fra i termini:  italiano, campano, napoletano il termine di maggiore estensione è italiano perché tale termine si può estendere ad ogni napoletano e ad ogni campano; il termine di minore estensione è napoletano
perché si può estendere solo agli individui racchiusi nella classe dei napoletani; il termine medio sarà campano poiché si può estendere agli individui presenti nella classe dei napoletani e agli altri individui presenti nelle classi delle province campane. Naturalmente si predicherà sempre un termine di maggior estensione rispetto al termine di minor estensione; così italiano si predica di ogni campano e campano si predicherà di ogni napoletano.

1. Simbolizzazione

 

I termini del sillogismo, potendo assumere un significato diverso (italiano, campano, napoletano), sono variabili terministiche; tali variabili, utilizzando il linguaggio simbolico creato da G. Patzig , vengono indicate con ‘A’, ‘B’, ‘Γ’. Questo studioso ha anche simbolizzato gli operatori terministici e cioè ciò che collega (inerisce) due variabili terministiche; così nell’esempio precedente fra i termini italiano e campano se simbolizziamo italiano con ‘A’ e campano con ‘B’, “predicarsi di ogni” o “inerisce ad ogni” con ‘a’, l’espressione ‘AaB’ si legge: “A inerisce ad ogni B” oppure “A si predica di ogni B”; essa costituisce una protasidi unsillogismo. Il quadro completo degli operatori terministici è il seguente :

‘a’   che si legge  “inerisce a ogni”               (universaleaffermativa)
‘i’    che si legge   “inerisce a qualche”        (particolare affermativa)
‘e’   che si legge   “inerisce a nessun”          (universale negativa)
‘o’   che si legge   “non inerisce a qualche” (particolare negativa).

Da qui possiamo comporre le varie espressioni o protasi:

‘AaB’ = “A inerisce a ogni B”                oppure “A si predica di ogni B”
‘AiB’  = “A inerisce a qualche B”          oppure “A si predica di qualche B”
‘AeB’ = “A inerisce a nessun B”            oppure “A si predica di nessun B”
‘AoB’ = “A non inerisce a qualche B”    oppure “A non si predica di qualche B”. 
Tali espressioni sono rapportabili come segue:

       fra AaB  e  AeB esiste un rapporto di incompatibilità (non possono essere entrambe vere)
fra AaB  e  AoB esiste un rapporto di esclusione        (una è vera e l’altra falsa)
fra AaB e AiB esiste un rapporto di implicazione  (se italiano inerisce ad ogni campano allora italiano inerisce a qualche campano, cioè “se ogni campano è italiano allora qualche campano è italiano”. Non possiamo asserire però: “se ogni campano è italiano allora tutti gli italiani sono campani. Si osservi pure che AiB (italiano inerisce a qualche campano) equivale a BiA (campano inerisce a qualche italiano); l’equivalenza fra le due protasi costituisce la Seconda legge di conversione semplice che, utilizzando il segno bicondizionale o doppia implicazione(↔), si simbolizza AiB↔BiA. Dato che il segno di implicazione si rappresenta con il condizionale semplice (→) avremo AaB→AiB ma anche AaB→BiA quest’ultima implicazione costituisce la  Prima legge di conversione per accidente.
Fra AeB  e  AaB esiste un rapporto di incompatibilità
fra  AeB  e  AoB esiste un rapporto di implicazione
fra  AeB  e  AiB  esiste un rapporto di esclusione
fra  AiB   e  AoB esiste un rapporto di alternazione (possono essere entrambe vere).
Se il termine ‘A’ assume il significato di americano e ‘B’ quello di europeo la protasi AeB si legge “americano si predica di nessun europeo” è evidente che tale protasi è equivalente a BeA e cioè europeo si predica di nessun americano; utilizzando il segno della doppia implicazione avremo: AeB↔BeA che costituisce la Prima legge di conversione semplice.

                                 Tenendo presente che le protasi definite incompatibili sono contrarie, le protasi in rapporto di esclusione sono contraddittorie, le protasi in rapporto di alternazione sono subcontrarie, il condizionale semplice → si legge: “se … allora …”   oppure  “implica” e il bicondizionale ↔ si legge: “se e solo se”, i rapporti fra le protasi e le leggi da essi scaturiti possono essere raffigurati rispettivamente con i quadrati delle figure 1 e 2. Si sottolinea inoltre che il condizionale semplice o implicazione può anche essere simbolizzato con il segno             l’incompatibilità  con il segno│ , il rapporto di esclusione con il segno  ≡  , il rapporto di alternanza con il segno v  e che l’equivalenza AaB↔AoB rappresenta la Legge di opposizione contraddittoria .

1. Il sillogismo

 

Dopo quanto detto possiamo esplicitare tecnicamente il sillogismo aristotelico come sistema assiomatico e fare la distinzione fra assiomi non sillogistici (espressi dalla Prima e Seconda legge di conversione semplice, dalla Prima legge di conversione per accidente e dalla Legge di opposizione contraddittoria) e assiomi sillogistici da cui possiamo derivare i teoremi, utilizzando regole speciali e assumendo gli assiomi non sillogistici.
Gli assiomi sillogistici, detti anche di prima figura, sono formati da tre protasi di cui due fanno da premesse e una fa da conclusione. In questa figura le variabili utilizzate sono: ‘A’, ‘B’, ‘Γ’.
Tenendo presente che ‘A’ è la variabile di maggiore estensione ed è posizionata all’inizio della prima protasi (prima premessa) e all’inizio della protasi che fa da conclusione, ‘B’ è la variabile di media estensione ed è posizionata alla fine della prima premessa e all’inizio della seconda protasi (seconda premessa) e che ‘Γ’ è la variabile di minor estensione ed è posizionata alla fine della seconda protasi e alla fine della protasi che fa da conclusione del sillogismo, possiamo scrivere i quattro assiomi sillogistici che compongono la prima figura come segue, tenendo presente che il segno  &  è il simbolo di congiunzione:

 

                                                   AaB  &  BaΓ →  AaΓ     Barbara

                                                   AeB  &  BaΓ →  AeΓ     Celarent

                                                   AaB  &  BiΓ  →  AiΓ      Darii

                                                   AeB  &  BiΓ  →  AoΓ      Ferio

I nomi che figurano a lato di ogni sillogismo: Barbara, Celarent, Darii, Ferio sono nomi mnemonici attribuiti dagli scolastici per facilitare la memorizzazione delle figure. Come si nota in ognuno di essi compaiono gli operatori terministici nell’ordine assunto nelle varie protasi .

1. I teoremi

 

      Come si è detto in precedenza, dai sillogismi della prima figura si ricavano mediante una rigorosa dimostrazione i teoremi che formano la seconda e la terza figura. Ci limiteremo alla dimostrazione del Teorema I appartenente alla seconda figura.
Innanzitutto bisogna ricordare che la forma del sillogismo relativo alla seconda figura posiziona all’inizio della prima  e della seconda protasi il termine di media estensione, il termine di maggior estensione rispettivamente alla fine della prima protasi e all’inizio della protasi che fa da conclusione del sillogismo, il termine di minor estensione alla fine della seconda e della terza protasi. Simbolizzando il medio con Μ, il termine maggiore con Ν e il minore con Ξ si deve dimostrare la tesi:

 

                                                   ΜeΝ  &  ΜaΞ  →  ΝeΞ

      Si deve inoltre tener presente che ogni teorema ha un nome mnemonico che inizia con una delle consonanti iniziali relative agli assiomi sillogistici; nel nostro caso allora il teorema sarà denominato con un nome la cui lettera iniziale è C, poiché il teorema in questione presenta nelle protasi lo stesso ordine assunto dagli operatori terministici del sillogismo Celarent e tale assioma sillogistico si dovrà assumere nel procedimento di prova della tesi. Naturalmente un qualsiasi altro teorema  che avrà come lettera iniziale del nome mnemonico che lo connota la B dovrà assumere nel procedimento di prova della tesi il sillogismo Barbara, se sarà connotato dalla lettera F dovrà assumere il sillogismo Ferio, se sarà connotato con la lettera D dovrà assumere il sillogismo Darii.
Immaginiamo di dover provare la tesi:

                                                    MeN  &  MaΞ  →  NeΞ   Cesare
Da quanto detto in precedenza la prova ha inizio assumendo l’assioma Celarent segnando alla sua sinistra il numero del rigo, in questo caso il primo(1), preceduto dallo stesso numero senza parentesi per significare che l’espressione assunta dipende da se stessa; quindi scriveremo:

                                               1  (1) AeB  &  BaΓ  →  AeΓ      Ass. Celarent

si applica, poi, la regola secondo la quale si deve assumere la Prima legge di conversione semplice se il nome mnemonico che denomina il teorema (Cesare) presenta la lettera s dopo la lettera e; si sarebbe dovuto assumere la Seconda legge di conversione semplice se la lettera s si fosse trovata, nel nome mnemonico che denomina il teorema da provare, dopo la vocale i.
Nel nostro caso dobbiamo assumere la Prima legge di conversione semplice ( I Cn. Smp.) e avremo:

                                                2  (2) AeB  ↔  BeA                   Ass. I Cn. Smp.

Dalle espressioni (1) e (2) si ricava facilmente il terzo rigo del procedimento di prova applicando la Prima regola generale ( I Gn) secondo la quale: se la congiunzione di due protasi ne implica una terza e si asserisce che la prima protasi della congiunzione è equivalente ad una quarta protasi allora si può sostituire nell’implicazione la prima protasi con la quarta. Pertanto avremo:

                                      1, 2  (3)  BeA  &  BaΓ  →  AeΓ         Da (1) e (2) I Gn.

L’ultimo passaggio consiste nel sostituire le ricorrenze A, B, Γ rispettivamente con N, M, Ξ nel rigo (3) ottenendo                 1, 2  (4)  MeN  & MaΞ →  NeΞ         Da  (3) A/N, B/M, Γ/Ξ

La dimostrazione del teorema è così terminata. A completamento delle regole da applicare nei passaggi dimostrativi di qualsiasi altro teorema, appartenente alla seconda o terza figura, si ricorda che se in un nome mnemonico relativo alla tesi si incontra la lettera p come in Darapti allora si deve assumere al (2) rigo la Prima legge di conversione per accidente (I Cn. Acc.) ; se si incontra la lettera m come in Camestres allora al (2) rigo si deve assumere la Regola di trasposizione (Tr.) che dice: se la congiunzione di due protasi implica una terza protasi siamo autorizzati a dedurre che la congiunzione ottenuta scambiando la prima protasi con la seconda implica sempre la terza protasi. Se si incontra la lettera c si deve utilizzare una delle regole di Riduzione all’impossibile. La prima regola (I Rd. Imp.) dice che: se la congiunzione di due protasi ne implica una terza siamo autorizzati ad asserire che la congiunzione fra la negazione della terza protasi e la seconda implica la negazione della prima protasi. La seconda regola (II Rd. Imp.) dice che: se la congiunzione fra due protasi ne implica una terza siamo autorizzati ad asserire che la congiunzione fra la prima protasi e la negazione della terza implica la negazione della seconda protasi. Si utilizza la prima regola se la c segue la prima vocale nel nome mnemonico del sillogismo da dimostrare , si utilizza la seconda se la c segue la seconda vocale del nome mnemonico. Infine va ricordato che quando si assume, nella dimostrazione, un assioma non sillogistico, la sua protasi iniziale deve essere isomorfa alla corrispondente protasi quale risulta dal nome mnemonico come il lettore può constatare dall’esempio proposto in precedenza . Il lettore potrà verificare i teoremi di seconda e terza figura applicando le leggi e le regole fin qui menzionate partendo dalle tesi appresso indicate:

                                                                 Teorema II   Seconda figura
Tesi        
MaN  &  MeΞ  →  NeΞ     Camestres

                                                                Teorema III  Seconda figura
Tesi
MeN  &  MiΞ  →  NoΞ      Festino

                                                                  Teorema IV  Seconda figura
Tesi
MaN  &  MoΞ  →  NoΞ     Baroco

                                                                  Teorema V  Terza figura
Tesi
ΠaΣ  &  PaΣ  →  ΠiP        Darapti

Si tenga presente che la nuova simbolizzazione indica il termine maggiore con ‘Π’, il medio con ‘Σ’ e il minore con ‘P’; inoltre per terza figura si intende la forma del sillogismo in cui i termini assumono la posizione nelle protasi, come indicato in Darapti .

2. La logica stoica

 

       Con gli stoici ci troviamo di fronte ad una nuova tecnica logica. L’origine di questa tecnica è megarica. Il fondatore della scuola stoica, secondo Diogene, fu Zenone il quale per primo operò la divisione della dottrina filosofica in: fisica, etica, logica. Fu Crisippo (277 a.C. ca. – 204 a.C.), però, che sviluppò la logica stoica. Egli movendo dall’insegnamento dei megarici , formulò cinque schemi d’inferenza corretti denominati indimostrabili. Gli stoici non si occuparono, come i megarici, delle essenze e spostarono la loro attenzione dai termini alle proposizioni. La loro logica, quindi, non è come per Aristotele una logica dei termini ma è logica proposizionale o enunciativa. L’oggetto della logica non è più il sillogismo ma gli enunciati o proposizioni attraverso i quali possono essere formulati o costruiti schemi d’inferenza o argomentazioni.
Gli stoici elaborarono una teoria del significato e della verità in cui assumono un  particolare rilievo i lektáchiamati veri o falsi; ecco la testimonianza di Sesto Empirico:  «Gli stoici dicono che tre cose sono interconnesse: ciò che viene significato, ciò che significa, l’oggetto. Di esse, ciò che significa è l’espressione linguistica (ad esempio, “Dione”); ciò che viene significato è la cosa stessa che l’espressione linguistica rivela e che noi apprendiamo come sussistente con il nostro pensiero, ma che i barbari non comprendono, pur udendo la parola detta; l’oggetto è ciò che esiste fuori di noi (ad esempio Dione stesso): Di queste tre cose, due sono corporee: l’espressione linguistica e l’oggetto; una, incorporea: la cosa che viene significata, cioè il lektón, che è vero o falso» .
Gli stoici, dunque, prendono in considerazione un settore della logica più elementare di quello aristotelico, essendone un frammento. Non ci troveremo più fra variabili terministiche o nominali ma utilizzeremo variabili proposizionali, ovvero le variabili non saranno più simbolizzate con ‘A’, ‘B’, ‘Γ’ ma assumeranno il simbolo delle minuscole dell’alfabeto latino (‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, ‘t’)    e i significati di proposizioni dichiarative o affermative (mai dubitative o interrogative).
Ogni proposizione, come, “piove”, “Dione passeggia”, “c’è luce”, “è giorno”, ha due valori di verità il vero che simbolizziamo con 1 e il falso che simbolizziamo con 0.
Ogni singola proposizione è una proposizione atomica; la connessione fra due proposizioni dà luogo ad una proposizione molecolare che va studiata secondo una tavola detta di verità, attraverso la quale si risale alla matrice della funzione logica.

 

 

Nota bibliografica

Allwood J.-Andersson L.G. - Dahl ö, Logica e linguistica, a cura di G. Sandri, Il Mulino, Bologna 1981.
Agazzi E., La logica simbolica, La Scuola, Brescia 19904.
Aristotele , Gli analitici primi, a cura di M. Mignucci, Loffredo, Napoli 1969.
Balido G., Strutture logico-formali e analisi linguistiche di testi agostiniani, Institutum Patristicum augustinianum, Roma 1998.
Bockeński J., La logica formale, Vol. I, trad. ital. di A. Conte, Einaudi, Torino 1974.
Boole G., Analisi matematica della logica: Saggio di un calcolo del ragionamento deduttivo, trad. ital. di M. Trinchero, Silva, Milano 1965.
D’Agostini F., Le ali al pensiero - Corso di logica elementare, Paravia, Torino 2003.
Frege G., Logica e aritmetica, a cura di C. Mangione, Boringhieri, Torino 1977.
Lolli G., La logica come fondamento dell’informatica, in « Le Scienze quaderni», 60 (1991), pp. 61-95. 
Łukasiewicz J., Elements of mathemathical logic, trad. by O. Wojtasiewicz, Pergamon Press, Oxford 1963.
Malatesta M., Logistica I, Edizione della Libreria L’Ateneo, Napoli 1976.
Id., Logistica II, LER, Roma/Napoli 1978.
Id., Dialettica e logica formale, Liguori, Napoli 1982.
Id., La logica primaria – Strumenti per un dialogo tra le Due Culture, LER, Roma/Napoli 1988.
Id., La logica delle funzioni – Strumenti per un’indagine transculturale, Vol. I, Millennium Romae, Roma 2000.
Maritain J., Logica minore – Elementi di filosofia, Massimo, Milano1990.
Mates B., Stoic Logic, University of California Press, Berkeley- Los angeles 1973.
Kneale W.C-Kneale M., Storia della logica, a cura di Amedeo G. Conte, Einaudi, Torino 1972.
Patzig G., Aristotle’s Theory of Syllogism, A Logical-philological Study of Book A of the Prior Analytics, Reidel, Dordrecht 1968.

 

  

Fonte: ftp://www.cpo.uniparthenope.it/Ingegneria/files%20obsoleti/Dispense/Logica%20e%20Metodo/Dal%20sillogismo%20aristotelico%20all'inferenza%20stoica.doc

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