Amplificatori a radiofrequenza

 

Il primo blocco attivo di un sistema di ricezione è l’amplificatore di antenna che, essendo sempre un amplificatore a basso rumore, viene solitamente indicato con l’acronimo LNA (Low Noise Amplifier). Si tratta di un amplificatore che lavora con un range dinamico (rapporto tra la potenza del massimo segnale amplificabile con basse distorsioni e quella del minimo segnale intelligibile) molto ampio (anche maggiore di 100 dB)  introducendo, al contempo, il minor contributo possibile al rumore.
La principale caratteristica di un amplificatore è la capacità di introdurre un guadagno di potenza significativamente maggiore di 1. Gli amplificatori a radiofrequenza sono caratterizzati da guadagni di potenza generalmente compresi tra 15 e 25 dB. Il cuore dell’amplificatore è il componente attivo che, di norma, è rappresentabile mediante un tripolo, ovvero un dispositivo con tre terminali che lo connettono al mondo esterno: è opportuno, pertanto, esaminare le diverse maniere di caratterizzarlo, tenuto anche conto del fatto che spesso esso viene schematizzato come un sistema a due-porte in cui uno dei tre terminali risulta comune all’ingresso e all’uscita.

 

 

1.  Caratterizzazione dei dispositivi a due-porte.

L’amplificatore è un dispositivo a due-porte caratterizzato da quattro grandezze elettriche: corrente e tensione di ingresso e corrente e tensione di uscita. Se il due-porte è lineare, è possibile esprimere due di tali grandezze come combinazione lineare delle altre due: per far questo è necessario conoscere i 4 parametri della combinazione lineare che caratterizzano un determinato circuito a due-porte.

 

Fig. 1.1:  Il LNA come sistema a due-porte. P(t) rappresenta la potenza istantanea di uscita ottenuta modulando, attraverso il segnale di ingresso, la potenza (Power) erogata dalla batteria di alimentazione

Un esempio tipico è la caratterizzazione mediante i parametri h di un tripolo, definiti dal sistema di equazioni:

                                                                                 (1.1)

La cui matrice è la matrice H

  

 

 

Il sistema definito dalle Eq. 1,1  fa riferimento allo schema di Fig. 1.2

Fig. 1.2: Due-porte ottenuto da un tripolo con un terminale a comune tra ingresso e uscita.

I parametri h sono ricavabili dalle seguenti definizioni operative:

 =  [Ω]                           : adimensionale

 : adimensionale        =  [Ω-1]

Questi parametri sono detti ibridi perché non hanno tutti le stesse dimensioni fisiche. Per applicare la definizione operativa si devono realizzare sia cortocircuiti (v=0) che circuiti aperti (i = 0).
I set di parametri possibili sono molteplici : h, z, y, S, ABCD. La scelta si fa sia in base alle modalità operative di misura, che possono risultare più o meno “comode” a seconda della frequenza di lavoro, sia in base alla potenzialità messe a disposizione del progettista da ciascun set di parametri. Anche queste potenzialità dipendono dalla frequenza di lavoro e dalla specificità degli obiettivi che il progetto deve conseguire.
Ad esempio un circuito aperto in bassa frequenza è facilmente ottenibile “tagliando” un filo di connessione o una pista. In realtà, i due monconi a distanza finita tra loro rappresentano una capacità, ovvero una reattanza  che, ad alte frequenze, fa si che i due fili non possano più essere considerati un circuito aperto:
1pF @ 1GHz  costituisce una reattanza pari a           
Operativamente, quindi, in alta frequenza un circuito aperto è difficilmente  realizzabile.
Un circuito chiuso può a sua volta introdurre un’induttanza. Qualche millimetro di conduttore corrisponde a un’induttanza dell’ordine del nano Henry, ovvero una reattanza di alcuni ohm nel range delle microonde:
1nH  @  1GHz  costituisce una reattanza pari a
A frequenze molto elevate anche i cortocircuiti diventano difficilmente realizzabili.
Nel campo delle radiofrequenze il set di parametri più utilizzato in passato è stato quello dei parametri Y che, negli ultimi anni, ha ceduto il passo ad un altro set di parametri: i parametri S utilizzati estensivamente nel campo delle microonde. In questa prima parte del Corso, per facilitare l’approccio ad una disciplina abbastanza specifica come quella della progettazione a radiofrequenza e microonde, si utilizzerà il set di parametri Y che, per la sua “somiglianza” con altri set di parametri utilizzati in corsi di base (parametri h e Z, per esempio)  permette una più immediata comprensione e  facilità di utilizzo. Nella seconda parte del Corso verrà, invece, introdotto ed utilizzato il set dei parametri S.

 Stabilità incondizionata

Definizioni e criteri:

1. Un sistema è stabile se a fronte di una sollecitazione finita in durata e ampiezza esso genera un’uscita finita in durata e in ampiezza.

 

1. Un oscillatore è un sistema in grado di produrre una forma d’onda periodica in assenza di sollecitazioni.

1. Il criterio di Barkhausen afferma che, se esiste una frequenza f0 alla quale:

                                                                              (1.11)
allora il sistema è in grado di auto sostenere, in assenza di sollecitazioni, una oscillazione a frequenza f0.

1. Se, invece, risultano verificate le cosiddette condizioni di Barkhausen all’innesco, ovvero se:

                                                                              (1.12)
allora nel sistema si auto-innesca una oscillazione a frequenza iniziale f0 che si auto-esalta.
Se per un dato due-porte ad una frequenza f0 pur collegando in ingresso e uscita tutte le possibili coppie di impedenze a parte reale positiva non si ottengono mai le condizioni di Barkhausen all’innesco, allora si dice che il due-porte è incondizionatamente stabile alla frequenza f0. Se esiste almeno una coppia di impedenze a parte reale positiva in corrispondenza delle quali si verificano tali condizioni, allora il due-porte si dice  potenzialmente instabile. Un due-porte potenzialmente instabile ha guadagno di trasduttore non limitato superiormente.
Si può dimostrare che il verificarsi delle condizioni sulle impedenze di ingresso e di uscita riportate nel seguito coincide con l’incondizionata stabilità.

Definizione equivalente di stabilità incondizionata:
                                  (1.13)

Lo dimostriamo solo in un senso, ovvero dimostriamo che il verificarsi delle condizioni suddette è condizione necessaria alla stabilità incondizionata. Ovvero, dimostriamo che se una di queste due condizioni non si verifica il due-porte è potenzialmente instabile e può essere utilizzato per realizzare un oscillatore.
Se esiste     , allora, con riferimento alla Fig. 1.8, scegliendo  ZL= -ZOUTh     con         RL= -ROUTh > 0     

 

 

 

 
Fig. 1.8: Realizzazione in uscita di una maglia a impedenza nulla.

si    realizza una maglia d’uscita con impedenza nulla e, pertanto, IOUT → ∞. Ovvero, a fronte di una sollecitazione finita, alla frequenza f0, si ottine una risposta non finita, oppure, detto in altri termini, la corrente nella maglia può essere diversa da zero al tendere a zero della sollecitazione. Si ottiene, pertanto, un oscillatore a frequenza f0 .
.
       - per VOUTh → 0  IOUT può essere ≠ 0
- per VOUTh ≠ 0    IOUT → ∞
.

Calcoliamo adesso il βA di un due-porte caratterizzato a parametri Y, utilizzando il teorema di scomposizione.

Fig. 1.9: Circuito equivalente a parametri Y del due-porte.

Per prima cosa dobbiamo individuare un taglio e, quindi, un anello di reazione. Il due-porte è intrinsecamente reazionato tramite la YR la quale riporta in ingresso l’effetto dell’uscita.
Con il taglio effettuato individuiamo la reazione.
                                    
                  
           
                                                             (1.14)

 dipende dal carico YL a dal generatore di segnale YS.

Esaminiamo alcuni casi particolari :
- due-porte unilaterale (YR=0) : βA=0 non c’è reazione
- cortocircuitando l’uscita (V2=0) : βA=0  (YL → ∞)
- cortocircuitando l’ingresso (V1=0) : βA=0  (YS → ∞)

Il βA ci permette di esaminare in termini analitici le condizioni di Barkhausen. Si tratta di verificare se esiste una coppia YS,YL che soddisfa il sistema:

                                                                 (1.15)
Ovvero
  con                                                                                   

Dal sistema 1.15, mediante elaborazioni algebriche di una certa complessità che in questa sede non vengono riportate, si ricava un criterio basato sul cosiddetto Fattore di Stern , K, definito nel seguito. Se
 

allora il  sistema 1.15 NON ha soluzione, ovvero, fissati due valori di gS e gL che rendono K>1 , non esiste alcuna coppia  bS e bL per la quale il sistema ha soluzione, dove:

In altri termini, una volta fissate gS, gL in modo tale che risulti K>1, anche variando le parti immaginarie delle ammettenze di sorgente e di carico le condizioni di Barkhausen all’innesco alla frequenza f0 non potranno essere verificate.

Osservazione: se la condizione sul fattore K vale per una data coppia di valori di gS,gL vale sicuramente anche per valori maggiori, infatti, per  gi>0 e go>0 K è una funzione crescente di gS e gL.
Questo perchè partiamo dal presupposto che siano go>0 e gi>0: in caso contrario, come è facile dimostrare, il due-porte sarebbe potenzialmente instabile.
Infatti:
    scegliendo YL→ ∞ (corto circuito) => YIN=YI (con parte reale negativa se gI<0).
Scegliendo, allora,  YS=-YI  (con parte reale positiva) si otterrebbe una maglia di ingresso ad impedenza nulla con ovvie conseguenze sulla stabilità, ovvero la coppia:
  verifica le condizioni di Barkhausen.

K è, quindi, una funzione crescente di gS e gL  dal momento che il denominatore è la somma di una parte reale di un vettore e del modulo dello stesso vettore che è, ovviamente, maggiore sia della parte reale che di quella immaginaria. Perciò il denominatore è sicuramente positivo.
La condizione sul fattore di Stern è molto utile alle radiofrequenze. Gli accoppiamenti capacitivi e induttivi spuri possono far variare le parti reattive delle impedenze di sorgente e di carico e generare le condizioni per l’innesco di oscillazioni, ma questo non accade se K>1.
Attenzione: K>1 non equivale a dire che il due-porte è incondizionatamente stabile perché K è calcolato in corrispondenza di una particolare coppia (gS,gL).
Se calcoliamo K nella situazione peggiore gS=0, gL=0 e verifichiamo che esso risulta maggiore di 1, sicuramente continuerà ad esserlo per ogni coppia gS>0, gL>0,  ovvero il due-porte risulterà incondizionatamente stabile
In altri termini, i due-porte che verificano la condizione:

  sono certamente Incondizionatamente Stabili.

 Con semplici elaborazioni si ottiene:

  ( il segno della disuguaglianza non cambia)
e
  
se il termine a destra della disuguaglianza è positivo si ottiene la seguente relazione che definisce anche il cosiddetto Fattore di Linvill C:

                                                          (1.16) 

Se e solo se    allora il due-porte è Incondizionatamente Stabile.

(La condizione  C≥0 deriva dalla necessità che risulti >0  per poter effettuare l’ultimo passaggio senza cambiare il segno della disequazione).

Il caso particolare   YR=0 → C=0   può essere trattato separatamente e in maniera estremamente semplice: infatti essendo il due-porte unilaterale l’impedenza di ingresso (uscita) non dipende da quella di carico (sorgente) e coincide con YI (YO). Pertanto basta verificare che le parte reali dell’impedenza di ingresso e di uscita risultino positive. Ovvero, bisogna verificare se:

In tal caso il due-porte è Incondizionatamente Stabile (IS). Il fattore di Stern dipende da gS e gL quindi non dipende solo dal dispositivo, mentre il fattore di Linvill dipende solo dal dispositivo e il costruttore del dispositivo, in genere,  ne fornisce sulle caratteristiche  l’andamento al variare della frequenza. Il range di frequenze in cui C è compreso tra 0 e 1 è il range di frequenze in cui il due-porte è caratterizzato da Incondizionata Stabilità (IS).

 

1.3.1 Effetto della stabilità incondizionata sui guadagni

Dalla IS discende che, qualunque sia la coppia di impedenze di carico e di sorgente, purchè a parte reale positiva, risulta:

        
Pertanto: