Evoluzione del disegno

 

 

 Evoluzione Del Disegno: Dalla Magia Della Geometria Proiettiva All’impiego Di Varie Logiche Nella Progettazione Industriale

Antonio Donnarumma

Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Università degli Studi di Salerno

1.                                   PREMESSA

Non è un caso che molti tra i maggiori matematici del nostro secolo abbiano avuto quale interesse centrale la geometria, in particolare la geometria proiettiva. Basta citare, trai  gl’italiani, Federigo Enriques, Francesco Severi, Cremona, Fano, Burali Forti, Castelnuovo, Guido Zappa. Non è nemmeno un caso che Russell dedichi il secondo dei tre volumi della trilogia matematica ai “Fondamenti della Geometria” che è poi sostanzialmente la geometria proiettiva; anche gran parte dei “Principia” è dedicata alla geometria proiettiva e descrittiva.
Opera meritoria della Casa editrice Zanichelli è la ristampa anastatica delle “Lezioni di geometria proiettiva“ di Enriques, e, dello stesso Autore, del volume “Per la storia della logica“. Il contenuto filosofico della geometria proiettiva, di questa geometria “non metrica”, le cui proprietà non derivano da alcuna misura è immenso e allo stesso tempo affascinante.
Per quanto ci riguarda più da vicino, la “geometria descrittiva”, riporto le parole di Enriques: “Abbracciando insieme i vari problemi tecnici di una teoria scientifica, Monge creò la geometria descrittiva (1795) nella quale seppe fondere armonicamente vari indirizzi della matematica pura ed applicata (sublime caratteristica di un uomo di genio!) E quanto anche nella teoria egli si sia levato in alto, viene attestato dal fatto che egli poté fare dell’Algebra con la Geometria come Cartesio aveva fatto della Geometria con l’Algebra”
La geometria proiettiva nasce, per così dire ufficialmente, nel 1822, ed è pertanto posteriore alla descrittiva; ma si tratta di date convenzionali.
Si potrebbe piuttosto affermare che il disegno tecnico, per essere legato alla realtà, ha fatto, e fa tuttora, uso di una geometria non metrica, completata da informazioni metriche, quali la quotatura, e poi da tolleranze ed altre indicazioni.
Anche con l’avvento dei calcolatori, e con le varie tecniche di modellazione, si è fatta poi Geometria con l’algebra e con l’analisi.
In fondo il problema delle tolleranze è oggi un problema di geometria analitica. Una superficie ideale, quando è possibile, può definirsi solo con le equazioni che la rappresentano.
Ma non si può spogliare la sostanza dalla forma; la geometria proiettiva con i suoi assiomi, le sue proprietà gruppali, i birapporti, le coniche, sembra ancora alla base del mondo della rappresentazione, e ancora suscettibile di approfondimenti utili in vari campi della conoscenza, quali ad esempio, oltre a quello della Logica, quello dell’Analisi delle immagini ed altri ancora.
Il disegno ha nel nostro tempo acquistato il significato più ampio di progetto; anche in questo caso molti argomenti strettamente legati alla progettazione, quali ad esempio, la probabilità come credenza (belief), la logica bi-e plurivalente, ed altri, presentano un profondo contenuto logico filosofico. Si può dedurre che un approfondimento della conoscenza delle nostre radici, oltre che ad arricchirci culturalmente, può farci riscoprire (ed utilizzare) potenzialità non del tutto spente, e forse convincerci che le metodiche moderne sono legate al nostro passato in un modo più stretto e “atemporale”, di quanto non si pensa comunemente.

2.                                   FONDAZIONE DEL DISEGNO TECNICO

2.1                                 Fondazione della Geometria Moderna

Uno studio sulla “Fondazione del Disegno tecnico” deve necessariamente poggiare sulla Geometria Descrittiva, la Geometria Proiettiva e su quella metrica, strettamente interrelate tra loro. L’attributo “tecnico”, che accompagna il sostantivo Disegno, ci evita di partire da troppo lontano. I nostri riferimenti sono soprattutto il logicista Bertrand Russell e Federigo Enriques ma abbiamo tenuto sempre presente l’opera del formalista  David Hilbert, soprattutto i “Grundlagen der Geometrie”. Possiamo così entrare subito in argomento.
Russell afferma, nei “Principia mathematica”, che i fondamenti della geometria hanno subìto, alla fine dell’ottocento, un triplice esame, imposto dai seguenti eventi:

• La critica dei sostenitori delle geometrie non euclidee, da cui è venuta la constatazione che gli assiomi della Geometria euclidea, a lungo ritenuti sufficienti, erano anche necessari, nel senso che i risultati non congruenti con i risultati usuali (attesi), ma congruenti con ogni altro dei risultati non usuali, derivano dalla negazione di quelli euclidei. Un esempio per tutti: la possibilità di tracciamento di infinite o nessuna parallela ad una retta data, non congruente con il quinto postulato di Euclide, è invece congruente con la geometria iperbolica o con quella ellittica;
• La revisione della geometria analitica indotta dai risultati di Dedekind e Cantor sulla natura della continuità, che ha distrutto il pregiudizio di una geometria “atomica” ed ha reso possibile la trattazione di problemi connessi con grandezze tra loro incommensurabili, prime fra tutte quelle connesse con il teorema di Pitagora;
• I mutamenti introdotti dalla scuola italiana sulle serie chiuse, che inducono il Russell ad affermare “…in geometria, la costruzione quadrilatera di Von Staudt e l’opera di Pieri sulla geometria proiettiva hanno mostrato il modo di dare a punti, rette e piani un ordinamento indipendente da considerazioni metriche e di quantità, mentre la geometria descrittiva mostra che grandissima parte della geometria richiede solo la possibilità di una sistemazione seriale. Inoltre, l’intera filosofia dello spazio e del tempo dipende dal modo di vedere che si ha riguardo all’ordine; di conseguenza la filosofia dell’ordine diventa essenziale per la comprensione dei fondamenti della matematica”.

3.                                   RELAZIONI

Le tre condizioni sopra riportate non possono trattarsi senza l’introduzione di alcuni concetti base.
Tali concetti sono apparentemente semplici; in realtà coinvolgono molti problemi filosofici, logici e matematici.
Ciò premesso, riportiamo alcune considerazioni sulle relazioni.
Il Russell definisce una relazione come “un concetto che ricorre in una proposizione con due termini che non vi compaiono come concetti e nella quale lo scambio tra due termini genera una proposizione differente”. Questa definizione dovrebbe a nostro avviso essere completata dall’avverbio “generalmente”, se vogliamo introdurre tra le relazioni anche quella tra un termine e sé stesso, cioè l’identità, su cui il Russell stesso si sofferma molto in seguito.
Il vincolo della diversità tra le proposizioni conseguenti allo scambio dei termini è imposto dalla necessità di evitare relazioni del tipo ”a e b sono due entità”, uguali alla relazione “b e a sono due entità”. Una proposizione del tipo ora citato impedisce di stabilire il verso della relazione, fondamentale per introdurre il concetto d’ordine.
Allora, indicando con a R b la proposizione “a è in relazione con b”, si può dire che la precedente è una relazione che va da a verso b. Essa implica ed è implicata dalla relazione a R’ b, che va da b verso a; R’ indica la relazione inversa. Il primo termine della relazione diretta viene dal Russell chiamato referente, il secondo relato.
Il concetto di verso viene assunto come primitivo.

3.1.                                Simmetria e transitività

Se R è uguale a R’, allora la relazione è simmetrica. Nell’esempio: ”Carlo è amico di Luigi“, la relazione R è espressa dal predicato”è amico”; la relazione R’ è uguale ad R se è vera anche la relazione ”Luigi è amico di Carlo”. Il valore di verità delle due proposizioni non si deduce immediatamente dal contesto (bisognerebbe avere delle informazioni sui rapporti tra Carlo e Luigi!); di tipo diverso è la relazione matematica espressa ad esempio da a<b, che ha per inversa la relazione b> a. Le due relazioni possono leggersi: ”a precede b” e “b segue a”.
La proprietà della transitività è evidente: se a R b e b R c allora a R c.
Una relazione è asimmetrica se è a R b, ma non b R’a. Esiste in questo caso un verso unico, come nel caso della Geometria Descrittiva, in cui il verso è determinato dal raggio che va dal centro di proiezione (proprio o improprio) al quadro; ma il punto immagine non è in relazione univoca con il punto proiettato.

3.2.                                Relazione d’ordine

Abbiamo chiarito il senso dei concetti “relazione”, “ordine” e quindi di “relazione d’ordine” Sul termine “serie” che compare anch’esso nelle proposizioni citate, il Russell si dilunga molto, e in termini piuttosto complessi. In forma ingenua, e molto “restrittiva” potremo dare al termine serie il significato di progressione (o successione) generata da una relazione asimmetrica e transitiva per cui, dati due soli termini a e b, si può dire se un terzo termine è tra essi oppure no. Le serie matematiche sono sempre aperte; le serie chiuse hanno un significato più filosofico, e sono, sempre semplificando, progressioni col primo termine arbitrario. Ciò giustifica l’ordinamento seriale della retta descrittiva, in questo diversa dalla retta proiettiva, che richiede 4 punti per definirne l’ordinamento.
Le relazioni d’ordine sono per Enriques come per Russell, alla base del modo di pervenire agli assiomi della geometria proiettiva.
In realtà, se la retta può concepirsi come generata dal moto di un suo punto nei due sensi, essa può anche intendersi come una linea chiusa generata dal movimento di un punto A della retta a, che ritorni in A dall’altra parte, passando per il punto all’infinito. Con maggior riguardo all’intuizione, si può intendere la retta a come limite di una circonferenza, tangente in A ad a e di raggio crescente all’infinito.
La corrispondenza diventa perfetta se si pensa al movimento di un raggio r (inteso come retta e non come semidiametro) di una circonferenza intorno al suo centro, e a quello del punto A intersezione dello stesso raggio r con a: la posizione di rparallela ad a definisce il punto improprio di a; ma ciò che appare più interessante, almeno a quelli che non hanno dimestichezza eccessiva con la geometria, è la concezione dei punti della retta in una disposizione circolare (naturale) che ha due versi.
Da questa nuova concezione si può ottenere una estensione del concetto di segmento. e di complementare del segmento stesso. Sia ad esempio il segmento A B (di lunghezza finita); il suo complementare è il segmento A B di lunghezza infinita. Per eliminare ogni ambiguità è pertanto necessario introdurre un punto (ad es. C) interno ad AB, e un punto D esterno. Per una migliore
comprensione del processo si pensi, coerentemente a quanto detto poco sopra ad una circonferenza. (sia pure di raggio infinito). Allora il segmento ACB corrisponde all’arco (finito) AB, mentre il complementare (rispetto all’intera retta ADB corrisponde all’arco infinito A D B, percorso da un punto che procede in senso opposto ad ACB.

4.                                   RIFORMA DELLA LOGICA CONTEMPORANEA

4.1                                 Rivolta contro l’idealismo

Per quanto riguarda l’aspetto puramente logico, l’Enriques sostiene che vanno presi in considerazione e ravvicinati alcuni movimenti di pensiero che, pur da origini distinte interagiscono e s’incontrano in un medesimo concetto riformatore.
La data di nascita della geometria proiettiva viene posta 1822, anno in cui compare la prima opera organica sull’argomento: il “Traité des proprietés projectives des figures” di Poncelet; molti dei concetti esposti nel “Traité” erano però noti o discussi da gran tempo.
Possiamo certo riportarci ad Euclide ed alla Scuola Eleatica ma per non andare troppo lontano si può partire da Desargues e Pascal nel seicento, e, attraverso Newton, arrivare a Poncelet. Ma già Monge critica il principio di continuità del Poncelet. E’ però sul principio di dualità che occorre, a nostro avviso, focalizzare l’attenzione; esso raggiunge un altissimo livello anche nelle considerazioni sulle trasformazioni e corrispondenze (Moebius) e sull’uso delle coordinate introdotte da Pluecker per rappresentare enti geometrici qualsiasi.
Sorvolando sulle questioni relative al V postulato di Euclide, (Lobacewski) e agli spazi pluridimensionali (Riemann. Helmotz), ci pare di grande interesse, dal punto di vista filosofico, il riconoscimento di una possibilità geometrica che si accorda con la nostra intuizione dello spazio. Con questo viene inferto l’ultimo colpo al razionalismo metafisico del 700. Potremmo forse dire che viene negato ogni forma di idealismo dal platonico al gentiliano, passando per Kant.
La realtà non può essere determinata a priori, in quanto la scelta tra le geometrie possibili si riduce ad una verifica sperimentale

5.                                   LA GEOMETRIA PROIETTIVA SECONDO ENRIQUES

5.1.                                L’intuizione come base della Geometria

E’ notevole per la coerenza con le idee logico – filosofiche dell’Autore, l’incipit delle celeberrime lezioni di geometria proiettiva dell’Enriques:
“Dall’ordine delle cose esterne, nella rappresentazione data alla mente dai sensi, scaturisce il concetto di spazio. La geometria studia questo concetto già formato nella mente del geometra, senza porsi il problema (psicologico ma non matematico) della sua genesi. Sono dunque oggetto di studio, nella geometria, i rapporti intercedenti fra gli elementi (punti, linee, superficie, rette, piani, etc.) che costituiscono il concetto complesso di spazio: a tali rapporti si dà il nome di proprietà spaziali e geometriche”.
L’Enriques pone dunque a base della geometria l’intuizione , senza però essere un intuizionista alla Heyting, ma piuttosto un purista.
Questo atto coinvolge in profondità l’impostazione dell’origine della conoscenza: l’intuizionismo, il positivismo, le conoscenze a priori e a posteriori, ed altro ancora.
Non sono casuali le polemiche tra l’Enriques da una parte e Croce e Gentile, alfieri dell’idealismo.
Poco più innanzi l’Enriques precisa la sua posizione: “la scelta degli elementi fondamentali, osserva, non è a priori; gli elementi fondamentali sono scelti in quanto i più semplici rispetto alla nostra intuizione psicologica, cioè sono quelli la cui nozione è formata nella nostra mente come contenuto del concetto di spazio. Tali sono, per esempio il punto, la retta, lo spazio. ”
Da queste parole si evince che

• non esiste un “mondo a priori” (trascendente?, platonico?) separato da quello presente, cioè da quello in cui siamo immersi;
• non si esclude l’esistenza di altri elementi fondamentali della geometria, oltre il punto, la retta, lo spazio.

In effetti, il “per esempio” introdotto nella proposizione precedente, scritto tra l’altro in forma abbreviata “p. e. ”, sembra indicare una certa cautela, quasi un timore nell’ipotizzare elementi primitivi diversi dal punto, dalla retta, dallo spazio.
E’  opportuno,allora, citare la Geometria senza punti(intesi come elementi primitivi) di Whithead ,oggi  ripresa da Gerla.
Lo studio dei rapporti tra gli elementi o tra gli enti attraverso questi definiti (ad esempio, la retta come intersezione tra piani), avviene in due modi:

• attraverso l’intuizione (psicologica)
• attraverso deduzione (logica) di nuove proprietà da quelle date

Le proprietà di primo tipo sono i “postulati”, quelle di secondo tipo i “teoremi”
Non si riporterebbero le proposizioni di sopra, arcinote, se non fosse importante, a nostro giudizio, sottolineare ancora una volta il fatto che, per l’Enriques,    i postulati vanno scelti tra quelli di maggior evidenza intuitiva ma non sono determinati a priori. Ne deriva che i postulati sono tra loro indipendenti e pertanto ogni “buon” ragionamento richiede di essi il minor numero possibile.
Si avverte già una tendenza alla semplificazione che è una costante dei vari domini delle scienze. Vorremmo ancora rilevare la differenza semantica tra i “postulati”, intesi come verità evidenti e indimostrabili, e gli “assiomi” che hanno un significato modernamente “ipotetico”.
Dal punto di vista matematico, la distinzione fondamentale è quella esistente tra le

• Proprietà grafiche (es. più rette passano per un punto, più piani per una retta o per un punto, etc)
• Proprietà metriche(relative al concetto di distanza (o lunghezza di un segmento), di grandezza angolare, etc.

Le due categorie di proprietà derivano rispettivamente dall’intuizione grafica e dall’intuizione metrica, a loro volta legate, per ragioni dedotte dalla psicologia fisiologica, rispettivamente alle sensazioni visive (e questo è abbastanza comprensibile) e alle sensazioni tattili e di movimento, per la necessità di sovrapporre uno strumento rigido (ad esempio una riga millimetrata) al segmento da misurare. Le due sensazioni vengono poi fuse per associazione.
In effetti l’uomo è capace di valutare, sia pure in modo approssimato, la forma e la grandezza di una figura.
La concezione della geometria così legata alla psicologia e alla fisiologia umana è originale di Enriques. Essa ci lascia ammirati e anche perplessi: essa ci induce ad azzardare una domanda: “esisterebbe una geometria in un mondo di ciechi e di monchi? “La maggior parte di noi risponderebbe, credo, di sì. Allora dovremmo ipotizzare un mondo trascendente o comunque diverso da quello sensibile, ed accettare l’idealismo, o almeno una qualche forma di esso, cosa del tutto lecita, ma in contraddizione con chi idealista non è.
Lasciamo senza risposta l’interrogativo.
Ricordiamo però il contributo che alla questione dettero psicologi e pedagoghi illustri. Un nome per tutti: il Piaget.
Torniamo alla geometria proiettiva; essa considera solo le proprietà che si conservano inalterate di fronte alle operazione di proiezione e sezione, e che perciò vengono dette proiettive. Esse sono esclusivamente grafiche, ma sussistono anche relazioni con la geometria metrica. Forse sul piano strettamente pratico risulta più utile la geometria metrico – proiettiva; la geometria proiettiva pura conserva però il suo fascino eccelso.

6.                                   CARATTERE DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA

6.1.                                Proposizioni fondamentali

L’intuizione a cui sempre l’autore fa ricorso giustifica le seguenti proposizioni, valide per le forme proprie e improprie, e scritte in forma abbreviata perché eliminiamo le locuzioni ”cui appartiene” o “ cui essi appartengono”:

• Due punti determinano una retta
• Due piani determinano una retta
• Tre punti non appartenenti ad una retta determinano un piano
• Tre piani, non appartenenti ad una retta determinano un punto
• Un punto ed una retta che non si appartengono determinano un piano
• Un piano ed una retta che non si appartengono determinano un punto.

6.2.                                Legge di dualità: il movimento

Da quanto esposto emerge la caratteristica dominante della geometria proiettiva: il principio di dualità. Al fine di metterne in luce altri caratteri ricordiamo brevemente che chiamansi forme di prima specie la punteggiata, il fascio di rette e il fascio di piani; forme di seconda specie il piano punteggiato, il piano rigato, la stella di rette e la stella di piani; forme di terza specie lo spazio punteggiato e lo spazio di piani. E’ notevole il concetto di movimento che l’Enriques pone a base della generazione delle tre forme: quelle di prima specie sono generate dal movimento di un loro elemento (rispettivamente: punto, retta, (rotatorio), piano (rotatorio); quelle di seconda specie contengono in sé forme di prima specie, dal cui movimento quelle di seconda specie sono generate; infine le forme di terza specie sono generate dal movimento delle forme di seconda specie. Per individuare le tre forme bastano rispettivamente una, due, tre coordinate.
Le forme fondamentali prima citate vengono arricchite dalle forme improprie (retta impropria punteggiata, fascio improprio di piani, piano improprio punteggiato e rigato, fascio improprio di rette, stella impropria di rette e di piani).
Questa visione “dinamica” della generazione delle forme di prima, seconda e terza specie appare congruente con il concetto di “serie” (secondo Russell.) o di successione (secondo Enriques): in effetti n punti P1, P2,..., Pn su un segmento possono intendersi come le n posizioni raggiunte dal punto P generatore negli istanti 1, 2,…, n.
Il movimento appare anche nella definizione della eguaglianza tra due figure piane, che sono assiomaticamente eguali se sovrapponibili
Nella Geometria metrica il movimento assume un aspetto sensibile e determinante per la misura delle figure.

6.3.                                Postulati della geometria proiettiva. Generazione di forme. Appartenenza.

Raggruppando le proposizioni 1 e 2, 3 e 4, 5 e 6 del paragrafo 6. 1, rispettivamente nelle proposizioni I, II, III di seguito riportate, si hanno i postulati della geometria proiettiva

• In una forma di 3a specie due elementi fondamentali determinano una forma di 1a specie, (contenuta in quella di 3a) a cui appartengono.
• In una forma di 3a specie tre elementi fondamentali non appartenenti ad una forma di 1a specie, determinano una   forma di 2a specie (contenuta in quella di 3a) a cui appartengono.
• In una forma di 3a specie un elemento fondamentale ed una forma di 1a specie che non si appartengono determinano una forma di 2a specie a cui appartengono.
• In omaggio ai principi di movimento (in senso grafico) di ordine e di serie (nel senso di Russell) si possono scrivere i postulati
• Gli elementi di una forma di 1a specie si possono pensare in una disposizione circolare naturale che ha due sensi, l’uno inverso dell’altro;
• Se due forme di 1a specie sono prospettive, ed un elemento si muove sull’una e descrive un segmento, anche il corrispondente elemento si muove sull’altra descrivendo un segmento.

Questi postulati sono sufficienti all’ulteriore sviluppo della geometria proiettiva con il solo ausilio della Logica, con rinuncia all’intuizione
L’Enriques, che il Carruccio definisce “punto di arrivo della sistemazione assiomatica della Geometria proiettiva” può enunciare la seguente legge di dualità (nello spazio): ”Ad ogni teorema dedotto dalle proposizioni I, II, III, IV, V, corrisponde un teorema correlativo (o duale) che si enuncia sostituendo alla parola <punto> del primo enunciato la parola <piano>, e reciprocamente alla parola <piano> la parola<punto> e lasciando invariata la parola <retta>. ”
Ai 5 postulati citati si può aggiungere il postulato relativo alla continuità:

• Se un segmento ordinato AB di una forma di 1a specie è diviso in modo che: ”ogni elemento del segmento AB appartenga ad una delle due parti; l’estremo A appartenga alla prima parte e B alla seconda; un elemento qualunque della prima parte preceda sempre la seconda, allora esiste un elemento C (che può appartenere alla prima o seconda parte), tale che ogni elemento da AB che precede C appartiene alla prima parte ed ogni elemento che segue C appartiene alla seconda nella successione stabilita”

7.                                   SPAZI EUCLIDEI E NON EUCLIDEI

Russell afferma che è soltanto nelle proprietà metriche, a parte l’eccezione relativa all’assioma della linea retta, che differiscono gli spazi euclidei da quelli non euclidei. Le proprietà della geometria proiettiva, rilevate senza l’uso degli immaginari, sono proprietà comuni a tutti gli spazi. Il Russell definisce la geometria proiettiva come interamente a priori, e quindi, soggettiva. Per quest’ultimo aspetto, il “soggettivismo”, ci sembra congruente con l’impostazione “psicologica” dell’Enriques. L’assoluta indipendenza della geometria proiettiva dalla misura rende le coordinate proiettive del tutto distinte da quelle metriche. Esse sono in definitiva solo dei numeri disposti arbitrariamente, ma sistematicamente, al fine di distinguere i vari punti, al pari della numerazione stradale che tende a distinguere i diversi edifici. Ogni metrica, quando interviene, non è che la sovrastruttura quantitativa del sostrato qualitativo; ciò accade, ad esempio, nella trattazione dei birapporti, che richiedono, sì, le misure di segmenti o di angoli, ma non alterano l’aspetto qualitativo del birapporto.

7.1                                 Similarità

Come abbiamo già visto, ogni ragionamento geometrico è circolare.
Pertanto se due punti determinano una retta, due rette a loro volta determinano un punto e così via per le varie forme, ora la proprietà di generare una data retta appartiene a tutte le coppie di punti che appartengono alla retta, così come la proprietà di determinare un dato punto appartiene a tutte le coppie di rette appartenenti al fascio di rette cui appartiene il punto (cioè il centro del fascio). Tali elementi (punti e rette generatori e quindi anche generati) sono qualitativamente simili. Le coppie di punti o di rette generatrici sono qualitativamente equivalenti
Il principio di dualità è, secondo il Russell, la forma matematica di un cerchio filosofico, conseguenza della relatività dello spazio. Tale principio rende contraddittoria ogni definizione di punto.

      

8.                                   RAPPORTO ANARMONICO E COSTRUZIONE QUADRILATERA

Per il Russell gli enti fondamentali della geometria proiettiva sono il rapporto anarmonico (o disarmonico o birapporto) e la costruzione quadrilatera.

 

Per definire le proprietà del birapporto, basta considerare un gruppo di 4 rette aventi un punto in comune: se tiriamo un’altra coppia di rette retta abbiamo che il rapporto disarmonico (a, b, c, d) = (a’, b’, c’, d’), e così via per altre rette. La proprietà qualitativa relativa ai birapporti deriva dalla considerazione ora fatta. Si può avere la seguente definizione qualitativa:
Due gruppi di quattro punti ciascuno si trovano nello stesso rapporto disarmonico quando:

• Ogni gruppo di quattro (punti) giace su una stessa linea retta;
• Punti corrispondenti di gruppi diversi giacciono a due a due su quattro rette che passano per un punto o quando i due gruppi si trovano in questa relazione rispetto a un terzo gruppo.
• Reciprocamente due gruppi di 4 linee rette si trovano in rapporto disarmonico quando:
• Ogni gruppo di 4 (linee) passa per un singolo punto;
• Linee corrispondenti di gruppi corrispondenti passano a due a due per quattro punti su una linea retta, o quando due gruppi si trovano in questo rapporto nei confronti di un terzo gruppo.

Due gruppi di linee che hanno lo stesso birapporto sono proiettivamente equivalenti e sostituiscono la equivalenza quantitativa nella geometria metrica
Per quanto riguarda il quadrilatero (o quadrangolo completo (cioè comprensivo delle due diagonali, è opportuno ricordare che quattro punti ABCD su una retta formano una successione armonica se è (AB/BC) / (AD/DC) = -1, il che comporta anche che è AB/BC=AD/CD. D’altra parte, dati tre punti su una retta ad es. ABD, il quarto si trova immediatamente tracciando una retta per D e fissando su esso 2 punti (ad es. OP) Tracciando le congiungenti da B e A ad O e P si ottiene il quadrangolo QRPO; la diagonale  OR interseca la retta r in C. Mediante successive trasformazioni proiettive si ha la serie  (o successione) CBAD
Si ha in definitiva che ABCD può trasformarsi in CBAD in modo esclusivamente proiettivo. Il procedimento è indefinitamente iterativo. Associando ad A, B, C, D, rispettivamente i numeri 0, 1, 2 ¥, le differenze AB, AC, AD si trovano in progressione armonica. Prendendo BCD come una nuova triade corrispondente ad ABD si trova un punto armonico con B rispetto a C, D, cui si assegna il numero 3, e così via. In tal modo si ha la certezza di non avere un punto o un numero ripetuto due volte, e si ha una corrispondenza biunivoca tra i punti e i numeri (coordinate), che li rappresentano.
E’ immediata l’estensione alle coordinate proiettive nel piano e nello spazio

9.                                   ASSIOMI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA SECONDO RUSSELL

Senza soffermarci ulteriormente su questi argomenti, riportiamo i tre assiomi della Geometria proiettiva, così come sono stati posti dal Russell, diversi dai classici già enunciati:

• Parti diverse dello spazio sono qualitativamente simili, e vengono distinte soltanto dal fatto immediato che si trovano una al di fuori dell’altra.
• Lo spazio è continuo e divisibile all’infinito; l’estensione 0 si chiama punto.
• Due punti qualsiasi determinano una figura unica che si dice linea retta; tre punti, in generale determinano una figura unica: il piano; quattro punti determinano una figura a tre dimensioni, e, per quanto possa apparire in contrario, lo stesso può dirsi per qualsiasi numero di punti.

L’osservazione “inaspettata“ del Russel è che ”il processo appena descritto, prima o poi giunge a termine con un numero di punti che determina l’intero spazio; se così non fosse, nessun numero di relazioni di un punto rispetto a un insieme di punti dati potrebbe mai determinare la relazione con nuovi punti, e la geometria diventerebbe impossibile”.
Gli assiomi ora enunciati sono, per così dire, immersi in considerazioni filosofiche molto interessanti, sulle quali purtroppo non è possibile insistere.
La posizione di Russell e di Enriques  sembra più “rivoluzionaria” di quella di Hilbert, che pur rinnovando la geometria classica con una originale impostazione assiomatica, resta alla prima abbastanza legato. La sua teoria poggia su ben 5 gruppi di assiomi, e precisamente quelli di “collegamento, ordinamento, congruenza, delle parallele, di continuità”

10.                                 GLI ASSIOMI DELLA GEOMETRIA METRICA

Gli assiomi della geometria proiettiva sono per Russell “deduzioni a priori” (sembra una contraddizione in termini), offerte dalla possibilità di sperimentare l’”esternalismo” cioè una molteplicità di cose diverse ma correlate:
Però la geometria proiettiva non riesce a discriminare tra spazi euclidei e non euclidei. A tal fine occorre una misurazione I tre assiomi della geometria metrica sono:

• L’assioma del libero movimento, che consente la misurazione di figure;
• L’assioma delle dimensioni;
• L’assioma della distanza (corrispondente a quello della linea nella geometria proiettiva).

La misurazione è necessaria anche per lacosiddetta geometria fisica (ad esempio, la statica grafica).

11.                                 CONICHE

La trattazione delle coniche, unificata, assume nella geometria proiettiva carattere di grande generalità e eleganza. E’ interessante il modo con cui Enriques affronta il problema delle coniche; anzi dovremmo dire “i modi”, visto che quelli presentati da Enriques sono molteplici e tutti interessanti

• Definizione basata sulla polarità:

“L’insieme dei punti e delle rette coniugati di sé stessi dicesi conica fondamentale della polarità”
La conica, considerata come insieme dei suoi punti si chiama “conica luogo”
Per la legge di dualità
“La conica considerata semplicemente come inviluppo delle sue rette tangenti dicesi “conica inviluppo”
Dal punto di vista storico, è il Poncelet che nel 1824 enuncia la legge di dualità nel piano come conseguenza della teoria delle polari delle coniche.

• Una idea intuitiva, corrispondente alla visione psicologica  dell’ Enriques, viene fornita dal seguente fatto:

Immaginiamo di seguire con l’occhio la genesi di una conica, partendo da un punto A di essa..
I punti della linea corrispondono alle rette per A; al muoversi di una retta per A, che descriva il fascio A cominciando dalla posizione della tangente, corrisponde il muoversi di un punto, che partendo da A descrive tutta la linea tornando in A. La conica appare quindi come una linea chiusa, rispetto alla quale la separazione tra le regioni di punti interni ed esterni ha l’ordinario significato intuitivo, in quanto la tangente variabile lascia la conica sempre da una banda, senza invadere i punti interni.
E’ importante rilevare la coerenza di questa concezione con quella della retta intesa come linea chiusa, allo stesso tempo, a nostro avviso, psicologica e ipotetico deduttiva.
Esiste però una discrepanza tra questa concezione “proiettiva “ e quella metrica, in quanto in quest’ultima geometria le coniche “aperte” restano aperte

• Definizione basata sulle proprietà focali.

E’ da rilevare al di là della trattazione generale ed elegante delle tre coniche, l’ordine in cui vengono presentati i vari aspetti: prima quello proiettivo, poi quello psicologico, poi quello geometrico elementare. Tale ordine corrisponde all’importanza che l’Autore dà ai vari aspetti

12.                                 Teoremi notevoli

Tra le altre proprietà, oltre ai diametri delle coniche, che comportano l’impiego degli immaginari ricordiamo il teorema di Staudt, che recita, nelle due forme duali:
“Data una conica ed un triangolo ABC iscritto in essa (cioè tale che i suoi vertici siano sulla conica), ogni retta coniugata ad un lato BC, seca gli altri due lati in punti coniugati. Viceversa se una retta sega due lati AB, AC del triangolo in due punti coniugati, essa è coniugata al terzo lato, cioè passa per il polo di essa.”

       

La duale recita: “Data una conica ed un trilatero a b c circoscritto, cioè tale che i suoi lati siano tangenti ad essa, ogni punto coniugato ad un vertice bc del trilatero proietta gli altri due vertici secondo due rette coniugate”.
Viceversa, se un punto proietta due vertici ab, ac del trilatero secondo due rette coniugate, esso è coniugato al terzo vertice, ossia appartiene alla sua polare.
E’ anche fondamentale il teorema Steiner sulla generazione proiettiva delle coniche il quale recita:
“Il luogo delle intersezioni delle rette omologhe di due fasci proiettivi, non prospettivi né concentrici, è una conica”.
Il duale. :” L’inviluppo delle rette congiungenti i punti omologhi di due punteggiate proiettive, non prospettive né coincidenti, è una conica”
In base a tale teorema bastano 5 punti (non più di tre allineati) a generare una conica: basta assumere due punti come centri di fasci proiettivi di rette che passano per gli altri 3. E’ così possibile tracciare le coppie di rette omologhe che con le loro intersezioni forniscono altri punti della conica.
Crediamo utile riportare i celebri teoremi di Pascal e Brianchon
I Teorema di Pascal:
Se un esagono semplice è iscritto in una conica, le tre coppie di lati opposti s’incontrano in tre punti su una retta (retta di Pascal). L’esagono è detto “esagono di Pascal”.

Teorema di Brianchon:
Se un esalatero è circoscritto ad una conica, le congiungenti le tre coppie di vertici opposti passano per un punto (punto di Brianchon). L’esalatero è detto “esalatero di Brianchon”.
Un aspetto importantissimo delle coniche ,è costituito dal fatto che la geometria di  indirizzo metrico proiettivo (V.Staudt), per considerare una delle geometrie non standard (e forse la più nota)può essere interpretata mediante una metrica –proiettiva, in cui l’assoluto è costituito da una conica.

13.                                 GEOMETRIA DESCRITTIVA

Scopo della geometria descrittiva è la rappresentazione di oggetti reali. Essa deve avvenire in modo che:

• corrisponda alla nostra visione naturale,
• la sua ricostruzione sia univoca;

Noi includiamo nella Descrittiva l’assonometria, la prospettiva, le proiezioni quotate e il fatidico metodo della doppia proiezione o di Monge. I primi due metodi, che possiamo unificare sotto i nomi di prospettiva, rispettivamente conica o assonometrica, non sono metodi di rappresentazione, in quanto la ricostruzione dell’oggetto da una sola vista è impossibile, Ovviamente è possibile la ricostruzione univoca sulla base di due rappresentazioni prospettiche, ma il metodo sarebbe molto laborioso. Pertanto l’unico metodo di rappresentazione resta quello di Monge, e, in Topografia, quello delle proiezioni quotate
Omettiamo gli assiomi della Geometria descrittiva, molto teorici. Ci sembra però opportuno ribadire il fatto che anche se gli odierni mezzi elettronici e ottici ne hanno alquanto diminuito l’importanza pratica, grande rimane l’importanza concettuale della Geometria descrittiva sopratutto di quella successiva all’introduzione della geometria proiettiva. Essa consente la deduzione di proprietà delle figure nello spazio mediante la rappresentazione piana, con l’impiego di corrispondenze proiettive, in particolare delle omologie.

13.1.                              Ricostruzione psicologica “ a posteriori”

La ricostruzione di una figura a mezzo di una sola rappresentazione prospettica (sempre ambigua) è, a nostro avviso, di tipo “psicologica a posteriori”, cioè fondata su precedenti esperienze, perché richiama alla mente oggetti simili, già visti e comunque esistenti nel mondo.
In ogni caso, i metodi di rappresentazione seguono il seguente schema: Introduzione degli elementi di riferimento e convenzioni, metodi di rappresentazione del punto, della retta e del piano, risoluzione di problemi di appartenenza, parallelismo e perpendicolarità (cioè problemi tipicamente proiettivi), risoluzione di problemi metrici, quali il rilievo delle dimensioni, per cui si ricorre spesso all’operazione di ribaltamento.
Giova a questo punto riportare una distinzione fondamentale tra geometria proiettiva e geometria descrittiva: secondo il Russell, che pure, per altro verso, non ritiene le due geometrie decisamente distinte: anche la Descrittiva ha un carattere ordinale la cui base è rappresentata dai punti. Due punti determinano una classe, formata dai soli punti interni a due punti estremi. C’è contrasto, su questo punto con il Peano, il quale sostiene che i punti necessari a definire la classe devono essere almeno tre. Si può parlare, in questo caso, di relazioni transitive asimmetriche, contrariamente a quello che avviene per la geometria proiettiva. La geometria descrittiva, come si è già accennato, è detta anche” geometria di posizione”, traduzione di “Geometrie der Lage” in quanto i metodi di rappresentazione individuano univocamente i punti rappresentati, indipendentemente da ogni sistema di coordinate, e quindi da ogni misura. Il disegno tecnico è pertanto la geometria descrittiva corredata da norme e quote. Con riferimento alle implicazioni logiche e filosofiche e matematiche e normative, di cui abbiamo potuto dare solo qualche cenno, possiamo ben dire che, anche nella sua accezione più elementare, il Disegno tecnico abbia ed abbia avuto carattere di scienza.

14.                                 GEOMETRIA ANALITICA

I problemi grafici possono risolversi o direttamente per via grafica, con i metodi della geometria descrittiva, o trasformando il problema grafico in problema analitico risolvere questo e poi ritrasformarlo in problema grafico. Quale dei due metodi è da preferire? Crediamo che oggi(1970) nel disegno conviene procedere scegliendo caso per caso, il metodo conveniente, sia il sintetico, che l’analitico. Crediamo però che molti problemi richiedano l’impiego analitico; ad esempio, il problema delle tolleranze, in cui le deviazioni della superficie reale da quella ideale  possono meglio  trattarsi se la superficie ideale può  essere descritta analiticamente. Altrettanto si può dire per i problemi di parallelismo, perpendicolarità, appartenenza, distanza.
Ricordiamo ancora la geometria fisica, in particolare la statica grafica, che vede la rappresentazione come un potente ausilio per la risoluzione dei relativi problemi.
Ricordiamo inoltre che è merito della geometria l’avere esteso il concetto di spazio a spazi pluridimensionali o astratti. Ma è bene evitare estensioni eccessive, basate su collegamenti più o meno remoti

15.                                 IL PROGRAMMA DI ERLANGEN

Non possiamo tralasciare le proprietà gruppali delle omografie o proiettività tra forme di seconda specie:
Allora le proiettività tra forme di seconda specie formano gruppo: per dirla con Klein, che le enunciò nel famoso programma di Erlangen, la geometria proiettiva si occupa delle proprietà delle forme geometriche che risultano invarianti per il gruppo delle omografie;
Un sottogruppo della geometria proiettiva è costituito dalla geometria affine, in cui le trasformazioni sono a centro improprio.
Un altro sottogruppo è costituita dalla geometria simile, che si occupa di omografie ad asse improprio e dalla geometria elementare, che forma gruppo rispetto alla congruenza (secondo Hilbert).
L’importanza, anche attuale dell’impostazione di Klein, sta nel fatto che essa permette di sceverare, in relazione ad un determinato gruppo, ciò che è accidentale da ciò che è obiettivo .Il programma ha anche finalità psicologiche e didattiche
Su tale impostazione si basa la geometrizzazione della fisica e il calcolo differenziale assoluto, la relatività.

16.                                 ESISTE UN INVARIANTE ASSOLUTO?

Poniamo sotto forma interrogativa l’esistenza dell’invariante assoluto, che sembra da un lato meritare questo nome, dall’altro il nome stesso ha un certo che di esoterico. Possiamo per semplicità, considerare il piano e non lo spazio; nel piano possiamo considerare una particolare involuzione sulla retta impropria, che associa ad ogni direzione la relativa perpendicolare. Introdotto un sistema di coordinate omogenee {0, x1, x2, x3}, e posto x = x1/x3; y = x2/x3 i punti uniti, detti punti ciclici, hanno le coordinate (1, i, 0), (1, -i, 0). L’insieme dei punti ciclici è detto circolo assoluto.
Nello spazio, introdotte le coordinate x = x1/x4, y = x2/x4, z = x3/x4, l’assoluto è dato dalle equazioni
x12 + x22 + x 32 = 0
x42 = 0
Le rette che proiettano i punti ciclici sono le rette isotrope del fascio P; nello spazio si parla di “cono isotropo” di vertice P.
Non si sarebbe parlato dell’assoluto nel piano e nello spazio, se non esistesse un altro aspetto “magico“ della proiettiva, espresso dal fatto che ogni proprietà di carattere metrico può essere espresso mediante relazioni proiettive con l’assoluto del piano o dello spazio.

 

  17.CONCLUSIONI: SI RITORNA AD ENRIQUES

           Enriques                      afferma che “la storia della scienza si identifica con la scienza stessa considerata nelsuo divenire, nel pensiero di coloro che l’hanno costruita e nei suoi rapporti con i diversi aspetti della cultura e della vita umana”. A questo concetto ci siamo ispirati in questo lavoro, convinti della perdurante utilità della Geometria proiettiva, oltre che per il suo fascino.

La fine della Geometria proiettiva come disciplina matematica pura, ne ha fatto oggetto di studi ingegneristici; citerò fra tutti gli studi che si effettuano in Spagna, (Prieto e Garcia,Sondesa Freira,Gomis Marti) e, almeno per alcuni aspetti, la geometria computazionale sferica (Chen e Woo). usata in problemi di tolerancing e di lavorazione con macchine a controllo numerico
Al di qua delle “filiazioni dirette”, si pone il tentativo unificante di Hilbert, fondato sul formalismo logico, che avrebbe evitato ogni contraddittorietà nelle teorie matematiche. Il sogno fu vanificato dal Gödel, con il suo  sua  teorema dell’incompletezza,, ma il rigore metodologico e fondamentalmente astratto, imposto soprattutto dallo stesso Hilbert, ha portato alla scoperta di connessioni tra teorie apparentemente lontanissime.
La crisi della matematica, della geometria in particolare, che perde il carattere di “scienza esatta”, e sostituisce ai postulati evidenti, assiomi che sono soltanto premesse, incoraggia lo studio delle logiche pluridimensionali, soprattutto con Lukasievicz, e oggi con Zadeh; la stessa probabilità assume, con de Finetti, il significato di fiducia.
Concetti propri della Topologia, come quelli di completezza, compattezza, filtro, si ritrovano con significato analogo nella Logica pura. La Topologia stessa viene vista come un’estensione della Geometria.
Un caso più generale è quello della distanza E’ un concetto puramente “metrico”, cui noi associamo l’idea di distanza tra due punti, di lunghezza di un segmento, ma che usiamo anche per misurare le distanze tra enti astratti come le distribuzioni probabilistiche, le funzioni di appartenenza fuzzy, tra l’altro in questioni di progettazione o di integrazione progettazione - produzione.
Le inverse generalizzate, nate per problemi di Statistica, sono  utilizzate anche nei problemi di ricostruzione delle immagini; il C-Calculus, trova impiego come filtro nel Pattern recognition e come affinatore di decisione.
Noi ci siamo soffermati sulla geometria proiettiva e sulla descrittiva, che consideriamo i “Fondamenti del Disegno tecnico”, tanto che non è forse azzardato pensare ad una teoria assiomatica del Disegno tecnico, anche nella sua forma elementare, che potrebbe basarsi sugli assiomi della Geometria descrittiva e su quello dell’informazione.
Noi siamo convinti che la “Geometria proiettiva”, con le sue generalizzazioni e i suoi invarianti, con la sua finezza metodologica, sia una categoria molto ampia del pensiero. In essa possono rientrare gran parte degli attuali principi della scienza.

18. REFERENCES

[1]       Russell B., Principia mathematica, Newton, 1970.
[2]       Russell B., I fondamenti della geometria, Newton, 1970.
[3]       Enriques F., Lezioni di geometria proiettiva, Zanichelli, 1999 (ristampa anastatica).
[4]       Enriques F., Per la Storia della Logica, Zanichelli, 1999 (ristampa anastatica).
[5]       Hilbert D., Fondamenti della Geometria, Feltrinelli, 1970.
[6]       Carruccio E., Storia delle matematiche, della Logica, della metamatematica, Pitagora, 1977.
[7]       Burali Forti C., Geometria descrittiva, Lattes, 1922.
[8]       Zappa G., Geometria descrittiva, Ed. Studium, Roma, 1947.
[9]       Spampinato N., Geometria analitica e proiettiva, Napoli, 1948.
[10]     Andreoli G., Lezioni di Geometria Analitica, I.E.M., 1955.
[11]     De Finetti B., La prevision, ses logique, ses source subjective, Hann. Inst. H. Poincaré, 1937.
[12]     Lukasietwicz, J., Modal Logic, Polish Scientific Pub., Warszawa, 1970.
[13]     Donnarumma A., Disegno di macchine, UTET, 1987.
[14]     PrietoAlberga M., Gonzales Garcia V., Aplication de la metodologya proyectiva a internos no graficos, Anales de Ingenieria Grafica, 1993, Vol. II, p. 25.
[15]     Sondesa Freire M. D., Espacio proyectivo de las circunferencias del plano: proyectividad canonica, Anales de Ingenieria Grafica, 1996, Vol. I, p. 17.
[16]     Gomis Marti, Company Calleya, Restitucion de un sistema de coordinadas tridimensional a partir da su proiecion axonometrica obliqua, Actas Ingenieria Grafica, Tomo I, p. 357-372, 1995, Vigo.
[17]     Lin-Lin Chen, Woo T. C., Computational Geometry on the Sphere with Application to Automated Machinig, Transaction of the ASME, vol. 114, June 1992, p. 288.
[18]     Gerla G., Pointless Geometries, Handbuch of Incidence Geometries, 1995, Els. Sc-Ch.18.
[19]     Donnarumma A., Cappetti N., Pappalardo M., Santoro E., A fuzzy design Evaluation based on Taguchi Quality Approach, IPMM99, Honolulu, Vol. I, p. 185-189.
[20]     Donnarumma A., Pappalardo M., Designing in many valued Logic, IPMM99, Vol. I, p. 663-668.

 

P.S. I cinque postulati di Euclide

•  Da qualsiasi punto è possibile condurre un segmento ad ogni altro punto;
• Ogni segmento(così determinato) si può prolungare per diritto;
• Con ogni centro e con ogni distanza si può descrivere un circolo;
• Tutti gli angoli retti sono eguali tra loro
• Se un segmento, incontrandone altri due, forma angoli interni da una stessa parte minori di due retti, i due segmenti prolungati indefinitamente si incontrano dalla stessa parte in cui sono i due angoli minori dei due retti.