Forza di una molla

FORZA ELASTICA
In questi ultimi giorni abbiamo studiato la forza di una molla (Fmolla): abbiamo misurato che essa è, con buona precisione, direttamente proporzionale (a) all’allungamento della molla (DL) rispetto alla sua posizione di riposo (L0, la lunghezza della molla quando su di essa non vi sono forze applicate). Lo schema rappresentante tutte queste grandezze è disegnato accanto.

La relazione che lega la lunghezza totale di una molla (L), la sua lunghezza a riposo (L0) e il suo allungamento (DL) è presto scritta. Infatti, si ha:
DL = L - L0     (1a)     ,       da cui segue subito:
L=L0 + DL     (1b)
L0=L - DL      (1c)

La legge della molla fu scoperta da uno scienziato inglese intorno al 1675, Robert Hooke, che la pubblicò secondo l’anagramma latinoceiiinosssttuv; la soluzione fu fornita nel 1678 nel suo volume scientifico “De potentia restituiva”come ut tensio , sic vis. Hooke inizia il suo volume scrivendo (traduzione dal Latino):
The Power of any Spring is in the same proportion with the Tension thereof:
That is, if one power stretches or bends it one space, two will bend it two, and
three will bend it three, and so forward. Now as the Theory is very short, so
the way of trying is very easy.

In formule, abbiamo:
Fmolla  a  DL                        (2a)
Fmolla = K×DL                      (2b)       [equazione scalare: del modulo]

L’eq (2b) permette di calcolare il modulo di Fmolla ma non la sua direzione ed il suo verso: infatti, se stirate una molla verso il basso noterete che essa applica una forza verso l’alto; se invece stirate una molla a sinistra essa resisterà applicando la sua forza nel verso di destra... e così via . In conclusione: una molla applica una forza la cui direzione è identica ma il  verso è opposto alla deformazione DL. Perciò, talvolta l’eq. (2b) viene completata aggiungendo il segno di vettore a Fmolla e a DL (per indicare che sia Fmolla che DL sono grandezze vettoriali) e ponendo il segno “-“ per indicare che Fmolla e DL hanno versi opposti:
 = -K×                   (2c)      [equazione vettoriale: del modulo , della direzione  e   del verso]

  Una qualsiasi forza che segue la legge (2c) è detta forza elastica (Fel). In altre parole:
una forza si chiama forza elastica quando è direttamente proporzionale ed opposta allo spostamento del corpo su cui agisce
Va da sé che la forza di una molla appartiene in prima approssimazione alla categoria delle forze elastiche: adesso vedremo che in realtà l’insieme delle forze elastiche è vastissimo.
FORZA ELASTICA E OSCILLAZIONE
Una proprietà essenziale di ogni forza elastica è che essa produce un’oscillazione. Detto in altro modo: ogniqualvolta un corpo è soggetto ad una forza elastica allora esso si muove oscillando. Questa proprietà è certa in quanto è dimostrata da un teorema matematico. Schematizzando:

Forza elastica Oscillazione       
(vale sempre in modo esatto: è dimostrato da un teorema)

L’opposto non è vero: infatti ci sono casi in cui un oggetto si muove oscillando senza che la forza agente sia elastica. Se fossimo in matematica, non potremmo fare nulla: in matematica un teorema o è esatto o… si butta via! Non esistono proprietà che valgono a metà, un po’ sì e un po’ no. In Fisica è diverso, perché ad un Fisico non interessa la certezza assoluta (che comunque non è mai raggiungibile a causa degli errori inerenti ad ogni misurazione) ma avere una sufficiente precisione. In questo caso, una semplice analisi che qui non posso riportare mostra che nella gran parte dei casi una oscillazione è comunque generata da una forza molto simile ad una forza elastica. Posso schematizzare la cosa come:

Oscillazione Forza elastica
(l’implicazione non è matematicamente esatta ma vale con buona precisione)

Questa seconda proprietà è fondamentale per permetterci di scoprire altre forze elastiche: infatti, tutte le volte che osserviamo un oggetto oscillare siamo quasi certi che all’opera vi è una forza elastica.

In classe abbiamo fatto diversi esempi di forze elastiche scoperte grazie all’oscillazioni dei corpi: quali? Riguarda i tuoi appunti!

PROPRIETA’ DELLA COSTANTE K
Come abbiamo appena affermato, una forza elastica è una forza che segue la legge (2c). Perciò è evidente che ogni forza elastica è caratterizzata dall’avere un suo proprio valore della costante K, così come ogni molla ha la sua propria costante di elasticità. Vediamo adesso qual è il significato di K.

Dal punto di vista matematico, K rappresenta la costante di proporzionalità fra la forza della molla e il suo spostamento.

Dal punto di vista fisico: consideriamo che la molla venga spostata di un valore DL = 1 ; allora Fmolla = K×1 = K. Dunque, posso affermare che K rappresenta il valore della forza della molla quando essa viene allungata/contratta di un valore unitario (cioè, con DL=1). In altre parole: dire che una molla possiede K=12N/cm significa che essa esercita 12N per ogni 1cm di allungamento/contrazione: se invece essa avesse K=9N/mm ciò implica che la molla applica una forza di 9N per ogni mm di allungamento/contrazione.

Vediamo adesso in pratica come il valore della costante K influisce sulle proprietà di una molla ( o di una forza elastica in generale). Come esempio prendiamo due molle, la prima (Molla A) con KA=5N/cm e la seconda (Molla B) con KB = 2N/cm e confrontiamole fra loro. Applichiamo una forza identica di 10N ad entrambe le molle: quale delle due si allunga di più? Allunghiamo poi entrambe le molle di 10cm: quale delle due esercita la forza maggiore? Per saperlo, riempi la Tabella sottostante!

Se hai fatto bene i conti avrai notato che, a parità di forza applicata, la molla con K maggiore è quella che si deforma di meno (2cm contro 5cm). La capacità di una molla di resistere alle deformazioni si chiama rigidità: meno la molla si deforma più essa è detta essere rigida. Ne segue che se voglio avere una molla con alta rigidità devo cercarla fra quelle con un grande valore di K; viceversa, se voglio una molla morbida (bassa rigidità) devo prenderla con un basso valore di K.

GRAFICO DELLA FORZA ELASTICA
Adesso impariamo a disegnare il grafico della forza elastica in funzione della lunghezza della molla, cioè il grafico che descrive come cambia Fel al cambiare della lunghezza della molla. Esistono due tipi di grafico: quello Fel-L , cioè che disegna Fel al cambiare della lunghezza totale L della molla; e F - DL, che disegna Fel al cambiare della deformazione DL della molla.

Grafico Fel-DL
Partiamo dal grafico più semplice, che è quello Fel -DL.
Supponiamo di voler disegnare il grafico di una molla con costante elastica K=4N/cm. Sull’asse delle Y pongo Fel, su quello delle X metto DL (vedi figura 1).

So che Fel e DL sono direttamente proporzionali, perciò conosco già che il grafico è una retta passante per l’origine. Per disegnare una retta ho bisogno di 2 punti: uno l’ho di già –è l’origine O- l’altro lo devo trovare. Come si fa? Poiché io voglio disegnare soltanto il modulo di Fel senza preoccuparmi del segno, uso l’eq. (2b).

Scelgo un punto DL a piacere, ad esempio DL=5cm, e calcolo Fel = K×DL Fel = 4N/cm×5cm = 20N. Segno sul grafico il punto X=5cm e Y=20N (punto A): unisco il punto all’origine e traccio la retta (vedi Figura 1).

Avrei potuto scegliere un altro punto a piacere, ad esempio DL=10N: in questo caso Fel = 4N/cm×10cm = 40N ed avrei segnato sul foglio il punto DL=10cm , Fel=40N (punto B, vedi Figura 1). Tirando la retta, avrei ottenuto lo stesso grafico di prima.

Dunque: per disegnare il grafico Fel-DL si sceglie un valore DL a piacere, si calcola la rispettiva Fel, si segna l’appropriato punto sul grafico e poi si traccia la retta passante per l’origine.

Disegna tu altre due rette, una con K=10N/cm e l’altra con K=1N/cm.
Nella figura 1 sono disegnate 2 rette, una con K=4N/cm, l’altra con K=2N/cm: esiste poi una terza retta, di valore K non noto: sei in gradi di ricavare il valore di K dal suo grafico? Cosa noti? Come cambia il grafico al cambiare di K?

Grafico Fel-L
Per disegnare il grafico Fel-L -cioè il grafico che mette in relazione la forza elastica con la lunghezza totale della molla- bisogna tenere conto delle eq. (1a)-(1c) che legano insieme L, L0 e DL. In particolare, l’eq. (1b) ci dice come fare a calcolare L a partire da L0 e DL, cioè L= L0+DL. Perciò, per passare dal grafico Fel-DL a quello Fel-L devo conoscere L0 e aggiungere questo valore a tutti i punti DL.

Supponiamo che la molla abbia lunghezza a riposo L0=8cm: per ottenere L bisogna aggiungere +8cm a tutti i valori DL del grafico Fel-DL. Il punto A possiede perciò L=8cm+5cm = 13cm , il punto B ha L=8cm+10cm=18cm. In particolare, l’origine 0   –cioè il punto con DL=0- ha un valore L=8cm+0cm=8cm, cioè proprio il valore di L0 (il che è ovvio: se DL = 0 allora la lunghezza della molla L è proprio uguale alla lunghezza a riposo L0): guarda la figura 2.  

In conclusione: per disegnare il grafico Fel-L per prima cosa si disegna il grafico Fel-DL e poi si aggiunge il valore di L0 a tutti i punti sull’asse X.