Concetti introduttivi

            Innanzittutto è necessario conoscere i due metodi fondamentali per indicare l’umidità dell’aria, ovvero in quale quantità l’aria secca contiene vapore acqueo. Il primo è il concetto di titolo, così definito
                                                     (1)
dove Mvap indica la massa della vapore e Maria la massa dell’aria secca. Attenzione a non confondere il titolo appena definito, con quello usato per caratterizzare i vapori saturi, che si indica con la stesso simbolo x. La quantità appena ottenuta può assumere qualunque valore positivo, senza limite superiore. Nel caso dell’aria secca,  si avrà x = 0 mentre nel caso di vapore aqueo puro, x ¥.
Il secondo metodo per indicare l’umidità dell’aria, è il cosiddetto grado igrometrico (detta anche umidità relativa, o U.R., quando espresso in percentuale), così definito
                                                      (2)
dove Pvap indica la pressione del vapore nella miscela aria-vapore considerata, e Psat la pressione di saturazione del vapore acqueo alla temperatura di analisi. Il vantaggio di questa grandezza è che è sempre compresa tra 0 e 1, ovvero può essere rappresentata in forma percentuale, tramite una semplice moltiplicazione per 100 (è per questo che quando si sente parlare di umidità non in ambito ingegneristico, dove si preferisce l’uso della grandezza titolo, si parla sempre di valori percentuali). E’ evidente che l’umidità relativa non possa mai superare il 100%. Se così fosse, si avrebbe Pvap > Psat, impossibile in condizioni stazionarie perchè in questo caso parte del vapore condenserebbe, e la pressione del vapore tenderebbe quindi ad abbassarsi fino a tornare ad un valore lecito. Lo svantaggio del grado igrometrico è che non indica in senso assoluto quanto vapore acque è contenuto nell’aria, ma piuttosto ci da’ un’idea di quanto l’aria sia distante dalla saturazione.
Il metodo migliore per legare i concetti di titolo, grado igrometrico e temperatura è il diagramma psicrometrico, di cui è presente una copia (Figura 1) e una breve descrizione nel paragrafo successivo. Esistono comunque anche formule matematiche, facilmente ottenibili considerando aria e vapore acqueo gas perfetti, per cui vale la legge di Dalton (per le miscele di gas perfetti, si può considerare il volume a disposizione di ciascun gas uguale al volume totale)
                                                       (3)
da cui segue
          (4)
dove nv e na rappresentano rispettivamente il numero di moli di vapore e di aria secca presenti nella miscela di aria umida considerata, mv e ma le masse molari dei due componenti (essendo l’aria un miscuglio di vari gas, la sua massa molare viene calcolata come media pesata delle masse molari dei vari componenti). Infine Ptot è la pressione totale della massa d’aria umida considerata e Psat la pressione di saturazione del vapore alla temperatura considerata (questa grandezza si ottiene delle apposite tabelle del vapore). L’uguaglianza Pv = jPsat deriva da (2). Chiaramente la relazione (4) si può invertire, ottenendo il grado igrometrico in funzione del titolo (e della temperatura della massa d’aria analizzata), ottenendo
                                               (5)
dove le grandezze hanno lo stesso significato di prima. Attenzione però, perchè è noto che il grado igrometrico può valere al massimo 1, quindi è necessario imporre questo vincolo quando si applica la formula di cui sopra. Se il risultato è superiore a 1, sicuramente i dati utilizzati non sono validi, ossia non siamo in una situazione reale. Il valore di x tale per cui j = 1, è detto titolo di saturazione. Per ogni particolare temperatura non è possibile che il titolo di una massa d’aria umida superi il titolo di saturazione (che varia in funzione di T).

Diagramma Psicrometrico

Figura 1
Il diagramma psicrometrico è di uso relativamente recente. In figura 1 ne è rappresentato un esempio: nel resto della trattazione verranno usate porzioni di questo diagramma, quindi con le stesse unità di misura. E’ stato introdotto per la prima volta con l’Igrometro di Assman (detto appunto Psicrometro), attualmente uno dei modelli di igrometro più usato (per una descrizione vedi pagina 10). La lettura del diagramma è piuttosto semplice, nonostante le tante curve di cui è composto. Innanzittuto sull’asse delle ascisse si trova la temperatura (che nell’esempio sopra varia tra -10°C e 50°C, escursione più che sufficiente per misure a temperature ambiente), mentre sulle ordinate c’è il titolo x (misurato in questo caso in ). Le curve oblique decrescenti, come si può facilmente dedurre dal diagramma, sono le isoentalpiche, con l’entalpia specifica J misurata in  mentre le curve crescenti, ciascuna identificata da un numero compreso tra 10 e 100, posto all’interno del diagramma, sono le curve a grado igrometrico costante. Chiaramente quella indicata dal numero 10 rappresenta un’umidità relativa del 10%, e così via per le altre. L’ultima curva in alto è quella con j = 1 (U.R. del 100%). Oltre questa curva si entra in una situazione impossibile, perchè come già detto il grado igrometrico non può superare il valore 1 (saturazione).
Uno degli usi di questo di questo diagramma è la conversione da grado igrometrico a titolo, o viceversa, nota la temperatura dell’aria. Per esempio, supponiamo di conoscere il grado igrometrico di una certa massa d’aria, nota anche la sua temperatura. In questo modo identifichiamo in modo univoco un punto sul diagramma, come intersezione tra la curva con il j specificato e la retta verticale corrispondente alla temperatura considerata. Proiettando il punto appena trovato sull’asse verticale, e misurandone l’altezza, si ottiene immediatamente il titolo della massa d’aria. Per esempio, sapendo che a una temperatura di 25°C l’umidità relativa dell’aria è dell’80%, si ottiene immediatamente un valore del titolo pari a x = 16, ovvero per ogni  di aria secca sono presenti 16 di vapore acqueo.
Un’operazione utile da effettuare sul diagramma psicrometrico è calcolare la pendenza delle curve a J=costante. Indicando con t la temperatura in gradi centigradi si ha
                     (6)
e di conseguenza il differenziale di J vale
                               (7)
ma siccome stiamo analizzando curve a J = costante, necessariamente dJ = 0, cioè
                                             (8)
A temperatura ambiente (-10°C ¸ 40°C) ovviamente 2500 >> 1,9.t e quindi la pendenza si riduce a
                                                 (9)

Strumenti per la misura dell’umidità

1) Igrometro a capello

Figura 2
Si basa sul principio fisico che i capelli e i peli animali si contraggono o allungano a seconda dell’umidità dell’aria. Nello schema di Figura 2, al variare dell’umidità varia leggermente la lunghezza del fascio di capelli segnato in rosso (composto da capelli e peli di vario tipo, in modo da migliorarne l’accuratezza), che di conseguenza fa girare la ruota dentata appoggiata al binario dentato attaccato su un lato del fascio. La ruota più piccola amplifica la rotazione (si tratta di un moltiplicatore) e sposta la lancetta sulla scala graduata. Questo è uno strumento di uso molto comune, non eccessivamente preciso (a causa di scostamento dalla linearità e problemi dovuti alla taratura, che viene effettuata solo a 20°C, e di conseguenza a temperature molto differenti la misura perde di significato). Spesso al posto della scala graduata si trova un rullo di carta che ruota lentamente, e al posto della lancetta un pennino, in modo che i dati vengano registrati su carta e siano analizzabili in un secondo momento.

Figura 3
In Figura 3 è rappresentato un esempio di centralina meteo con rullo che effettua un giro completo di solito in 24 ore o addirittura una settimana. Il rullo è visibile ma coperto da una vaschetta di plexiglass. I dati registrati sono tre: umidità, temperatura e pressione. Questo tipo di strumenti si trova spesso in ambienti dove è necessario un monitoraggio completo delle condizioni dell’ambiente, come per esempio in un museo (dove valori di umidità o temperatura fuori norma potrebbero danneggiare le opere d’arte). Esistono anche versioni elettroniche di queste centraline, più comode in molti casi, ma le cui registrazioni non hanno valore legale (perchè facili da manomettere).

2) Metodo della pesata

Figura 4
E’ uno dei metodi per la misura del grado igrometrico più semplice e antico (tant’è vero che una particolare versione di questo sistema era già stata usata da Leonardo da Vinci). In Figura 4 è riportato proprio il progetto originale dell’inventore. Leonardo lo utilizzava come strumento per le previsioni metereologiche, verificando le variazioni di umidità. Questo metodo si basa sull’evidenza fisica che certi materiali (come la bambagia, usata nel progetto originale), assorbono molto facilmente l’acqua presente nell’aria, di conseguenza aumentando di peso. Usando questo principio, il materiale scelto viene posto su uno dei piatti della bilancia e, terminata la misurazione, si verifica di quanto è aumentato il suo peso. La quantità ottenuta è semplicemente il valore della massa d’acqua assorbita, e conoscendo la massa d’aria oggetto della misura, si ottiene subito il titolo (e non il grado igrometrico, come nella maggior parte degli altri strumenti). Un’applicazione più moderna è un tubo con due griglie laterali, che lasciano passare l’aria ma non il materiale contenuto nel tubo. Al suo interno vengono posti cristalli di gel di silice o di acido solforico anidro, aria umida viene fatta passare attraverso una delle griglie, uscendo dall’altro. Al termine della misura si conosce la massa di acqua presente nell’aria originale (semplice differenza in massa tra la fine e l’inizio della misura).

3) Igrometro a condesazione

Questo strumento era di uso molto comune in passato, grazie alla sua discreta precisione e all’indipendenza dalla temperatura, ma oggi è quasi abbandonato per la difficoltà nella misura. E’ composta da una vaschetta metallica aperta, dove sulla superficie esterna è posto il condensatore di una macchina frigorifera apposta (come in una specie di gelatiera) e un termometro, che fornisce la temperatura della vaschetta. Per effettuare la misura si lavora così: si misura la T iniziale, ossia la T ambiente Ta (la macchina frigorifera è inizialmente spenta). Dopo l’accensione la vaschetta comincia a raffreddarsi, ed è compito dell’addetto segnare la temperatura esatta in cui si appanna la vaschetta metallica. A questo punto, conoscendo le due T (iniziale e finale) e la pressione atmosferica, è facile risalire alle misure di titolo e umidità relativa. Vediamo cosa succede durante questa misurazione, lavorando con uno schema semplificato del diagramma psicrometrico (Figura 5).

Figura 5
L’istante iniziale è 1, a cui corrispondono una particolare temperatura (quella ambiente Ta), titolo e grado igrometrico. Man mano che il condensatore si raffredda, si percorre la linea rossa 1-2 (chiaramente il titolo non cambia, perchè la quantità di aria e vapore d’acqua resta la stessa). Il punto 2 è il cosiddetto punto di rugiada, dove comincia ad avvenire la condensazione sulle pareti della vaschetta (si è in saturazione). A questa situazione corrisponde la temperatura di rugiada Tr. Il titolo (che resta costante durante tutta la  trasformazione) è stato indicato come xsat, perchè effettivamente si tratta del titolo di saturazione alla temperatura di rugiada misurata. Per conoscerne il valore basta applicare
                                      (10)
che deriva dalla (4) ponendo semplicemente j = 1, oppure leggendolo direttamente dalle tabelle. Ovviamente Psat(Tr) rappresenta la pressione di saturazione del vapore alla temperatura Tr (si legge sulle tabelle) e Ptot la pressione della massa d’aria oggetto della misura (eventualmente la pressione ambiente). Noto il titolo, è immediato ottenere il grado igrometrico iniziale, o estrapolandolo dal diagramma psicrometrico (bisogna verificare su quale curva a j costante giace il punto 1), oppure usando la
                                        (11)
che deriva immediatamente dalla (5).

4) Igrometro elettronico

Per una gran parte delle applicazioni di uso comune, l’igrometro elettronico è lo strumento ideale. I dati di tipo elettronico infatti sono facilmente trattabili e registrabili, e possono essere acquisiti da microprocessori, che comandano attuatori di vario tipo (ad esempi nei condizionatori d’aria, che a seconda del dato di umidità dell’ambiente, modificano il proprio modo di funzionamento). L’igrometro elettronico è composto dal trasduttore (che può essere di tipo resistivo o capacitivo, ossia un condensatore che varia la propria capacità al variare del grado igrometrico dell’aria, e do cui a fianco è rappresentato un esempio) e dal circuito di condizionamento.

Figura 6
Se il sensore è di tipo resistivo (varia la propria resistenza in funzione dell’umidità) viene utilizzando per il condizionamento del segnale un ponte di Wheatstone, preferito grazie alla sua notevole sensibilità alla variazione di una delle resistenze sui suoi rami. Un schema semplice di ponte di Wheatstone è rappresentato qui sotto.

Figura 7
Il resistore variabile (segnato con una freccia) è il trasduttore. Questo circuito ha la particolarità di imporre una tensione nulla sul voltmetro quando è bilanciato, ossia quando le resistenze sui quattro rami sono uguali. Quindi una piccola variazione della resistenza su un ramo (quello contenente il sensore), corrisponde ad una grande variazione di tensione sul voltmetro. In realtà, al posto del voltmetro può essere messo un qualsiasi circuito di condizionamento, per esempio un amplificatore seguito da un convertitore A/D che trasmette il segnale numerico ad un microprocessore (o microcontrollore) che lo analizza, lo registra o prende delle decisioni in base al valore acquisito.

5) Analizzatore Drager

La Drager è una azienda tedesca che produce un particolare tipo di strumentazione di misura, composta da due parti fondamentali: un analizzatore e delle fialette.

Figura 8
L’analizzatore (due esempi sono visibili qui a fianco) è una sorta di fisarmonica, con uno o più buchi su un lato, di circa 1 cm di diametro e 15 cm di profondità, che possono ospitare ciascuno una speciale fialetta. Premendo l’analizzatore (proprio come una fisarmonica) si forza una quantità fissa e nota di aria (per molti modelli sono 100cm3) ad entrare nella fialetta. A questo punto le sostanze chimiche contenute in quest’ultima reagiscono con l’aria cambiando colore proporzionalmente alla grandezza da misurare. Le fialette stesse sono graduate, in modo renderne immediata la lettura.

Figura 9
La Drager produce fialette di diverso tipo, ciascuna in grado di effettuare una misura differente. Vi sono fialette per la misura del grado igrometrico, altre capaci di verificare la presenza di gas tossici o infiammabili, altre ancora per l’analisi del livello di radioattività. Nella figura a fianco sono visibili alcuni esempi di fialetta (già usati). Questo metodo di misura ha innegabili vantaggi di praticità e semplicità d’uso, oltre ad essere piuttosto economico se il numero di misure da effettuare è limitato. E’ per questo che l’analizzatore Drager è utilizzato correntemente dai vigili del fuoco, per esempio per le analisi dell’aria in ambienti potenzialmente contaminati. Lo svantaggio è che le fiale (oltre ad avere un tempo di vita limitato) sono usa e getta (dopo la rottura delle due chisure laterali vanno usate immediatamente, e terminata la misura diventano inutilizzabili), quindi se le misure da effettuare sono tante, può essere più conveniente uno strumento con un più basso costo di mantenimento.

6) Igrometro di Assman (Psicrometro)

 

Figura 11
Nei due condotti d’entrata vengono posti altrettanti termometri, uno dei quali con avvolta intorno al bulbo una garza imbevuta d’acqua. A questo punto l’aria comincia a scorrere, e i termometri segnano due diverse temperature, con TA>TB (questo perchè parte dell’acqua contenuta nella garza evapora, assorbendo il calore latente di vaporizzazione r, che causa quindi una diminuzione della temperatura). In base a queste misure è possibile conoscere titolo e grado igrometrico dell’aria in ingresso. Per calcolare le relazioni matematiche che legano le diverse grandezze, consideriamo che, per un chilogrammo di aria secca,
                                                 (12)
dove il segno meno sta a indicare che si è avuta una diminuzione dell’entalpia dell’aria, a causa dell’evaporazione di parte dell’acqua liquida presente nella garza, ma d’altra parte
                                  (13)
e da queste segue
                                  (14)
dove x rappresenta il titolo dell’aria umida. Si nota che la pendenza della funzione x(T) appena trovata è uguale a quella di una curva a entalpia costante, la cui pendenza approssimata è stata calcolata in (9). Rappresentiamo quindi il funzionamento dell’igrometro di Assman sul diagramma psicrometrico, sapendo di doverci muovere su una curva di entalpia costante (approssimazione perfettamente accettabile).

Figura 12
Il punto B è di rugiada, si trova cioè sulla linea di grado igrometrico 1. Nota la temperatura TB (che viene anche dette temperatura di bulbo bagnato) qundi è noto immediatamente anche il punto B (intersezione tra la retta verticale corrispondente alla temperatura TB e curva a grado igrometrico constantemente 1). Nota anche TA, il punto A è data dall’intersezione tra la curva a entalpia costante passante per B e la retta verticale corrispondente alla temperatura TA. Noto anche il punto A, basta leggerne dal grafico il grado igrometrico e il titolo corrispondenti per conoscere i dati di umidità dell’aria in esame.
Concludendo, oltre al modello appena analizzazto esiste anche una particolare versione di psicrometro elettronico, dotato di trasduttori di temperatura che trasmettono i dati rilevati a un apposito microcontrollore, che fornisce direttamente i risultati dell’analisi. Si tratta forse dello strumento di misura dell’umidità più efficiente e preciso (ma è anche molto costoso).

Esercizi

1) Miscelatore

1                      
2                     

Essendo in condizioni di regime stazionario, abbiamo

mentre facendo il bilancio di massa del vapore acqueo

Ma x1 e x2 possono essere facilmente determinati con la (4) (per ciascuna corrente è nota la temperatura e il grado igrometrico)

dove il valore di 0,04753 è ottenuto dalle tabelle del vapore. Analogamente

di conseguenza troviamo immediatamente il valore del titolo della corrente d’uscita

A questo punto ho definito due punti ben precisi sul diagramma psicrometrico e la soluzione cercata si trova sulla congiungente dei due punti. Ragionando a spanne potremmo dire che la soluzione è il punto di media pesata (rispetto alla massa) dei i punti 1 e 2. Continuiamo però con una soluzione più rigorosa, effettuando il bilancio dell’energia

dove Ji rappresenta l’entalpia specifica dell’aria nel punto i-esimo (e MAi la relativa portata in massa). Il lavoro e il calore scambiati sono nulli, per le ipotesi di adiabaticità e isolamento meccanico del miscelatore fatte all’inizio dell’esercizio. Dalla formula precedente si ottiene

e, calcolando J1 e J2 usando la (6) otteniamo

e analogamente

quindi

A questo punto invertiamo la (6) per ottenere la temperatura dell’aria miscelata

controlliamo le tabelle del vapore per conoscere il valore della pressione di saturazione alla temperatura appena ottenuta

e applicando la (5)

Infine visualizziamo i dati relativi alle 3 correnti sul diagramma psicrometrico

Figura 14
Come si vede dalla Figura 4, le caratteristiche della corrente uscente sono una combinazione lineare delle caratteristiche della corrente entrante.

Un interessante fenomeno che si può facilmente comprendere dal diagramma psicrometrico è la pioggia. Supponiamo che due correnti umide con lo stesso grado igrometrico ma diversa temperatura vengano a contatto: l’aria risultante dalla miscelazione avrà temperatura e titolo compresi tra i corrispondenti valori delle correnti iniziali. Il grado igrometrico invece è più alto dell’originale. Questo fatto apparentemente strano si spiega matematicamente osservando che le curve a grado igrometrico costante sono convesse, di conseguenza ogni segmento congiungente due punti qualunque di una curva, sta sopra la curva stessa.

Figura 15
Quando nel cielo due correnti molto umide, una fredda e una calda, si scontrano, può succedere che la corrente risultante abbia grado igrometrico maggiore di 1, in questo caso parte del vapore si condensa e avviene il fenomeno della pioggia. Perchè piova quindi non basta che l’aria ad alta quota sia umida, ma è necessario lo scontro tra masse d’aria di temperatura diversa.

2) Condizionatore d’aria

Un condizionatore d’aria è un componente in grado di modificare i parametri di temperatura e grado igrometrico di una corrente d’aria calda iniziale, che viene trasformata in una corrente più fredda e secca all’uscita.

Figura 16
Un condizionatore (Figura 16) in generale è composto da 4 elementi fondamentali. Innanzitutto una ventola, che facilità l’afflusso d’aria, e in figura è rapprsentata da una potenza  entrante. Immediatamente dopo l’aria incontra una serpentina di raffreddamento (per esempio il condensatore di una macchina frigorifera) che le sottrae una calore per unità di tempo , in modo da portarla alla temperatura di rugiada. Le alette che si trovano subito dopo hanno il compito di raccogliere la condensa formatasi a causa del raffreddamento (vedi diagramma psicrometrico più sotto), formando acqua che viene incanalata in un tubicino (e poi scaricata oppure raccolta in bottiglioni per essere usata come acqua distillata). L’aria nel punto 2 è satura e troppo fredda per essere immessa in un ambiente (perchè la condensazione richiede calore per avvenire, che viene sottratto dalla corrente d’aria), quindi passa attraverso l’ultima sezione del condizionatore, chiamata di post-riscaldamento, che fornendo il calore per unità di tempo  scalda l’aria e la rende adatta ad essere immessa nell’ambiente, come nel punto 3.

rapidamente). Inoltre anche il titolo cala (al valore x2), perchè una parte del vapore d’acqua condensa mentre la massa d’aria secca resta costante (evidentemente quindi il rapporto MV/MA scende), mentre il grado igrometrico rimane costantemente 1 (aria umida satura). A questo punto l’aria molto fredda viene post-riscaldata fornendole un calore Q2, portandosi a una temperatura T3 superiore, mentre il nuovo valore del titolo resta costante (x2 = x3) ma cala l’umidità relativa.

Vediamo un esercizio applicativo con  dati numerici (la Figura 17 è riferita a questi dati).

rappresenta il volume complessivo dell’ambiente, che si vuole condizionare ad un volume all’ora (significa che l’intero volume d’aria deve entrare nel condizionatore esattamente una volta all’ora), quindi la portata in volume dell’aria ingresso

ed inoltre sono note le caratteristiche di questa aria
                  
Noto inoltre che l’aria in uscita deve avere
                 
e la potenza della ventola sviluppata dalla ventola vale

determinare i calori per unità di tempo e  scambiati nel condizionatore.

Dapprima possiamo facilmente calcolare il titolo dell’aria in ingresso (x1) come nell’esercizio precedente, quindi

e analogamente per il titolo dell’aria in uscita

D’altra parte l’aria secca è un gas perfetto, quindi

e

quindi

che rappresenta la portata in massa di aria secca in uscita (che equivale a quella di ingresso ). Possiamo quindi facilmente trovare la portata in massa dell’acqua condensata, come

A questo punto facciamo il bilancio energetico della prima parte del condizionatore (comprendende i punti 1 e 2), ottenendo

dove hl rappresenta l’entalpia specifica dell’acqua liquida in fase di condensazione. La temperatura di quest’ultima può essere estrapolata dal diagramma psicrometrico oppure dalle tabelle dell’aria satura, ottenendo

(in realtà dalle tabelle si otterrebbe un valore del titolo, per aria satura alla temperatura di 10°C, pari a 0,00762 kgV/kgA contro i 0,0074 kgV/kgA del nostro caso, quindi con un errore ancora accettabile).
A questo punto calcoliamo le entalpie specifiche dell’aria in 1, 2 e 3, ottenendo



mentre l’entalpia specifica dell’acqua liquida condensata

di conseguenza sostituendo nell’equazione di bilancio energetico otteniamo

dove il segno meno sta ad indicare che è un calore uscente dal sistema (sottratto dall’aria) mentre il lavoro è negativo perchè effettuato sul sistema.
Infine, scrivendo l’equazione di bilancio energetico per la seconda parte del condizionatore (punti 2-3) otteniamo

che rappresenta il calore che deve essere fornito alla batteria di post-riscaldamento.

Appendice – tabella del vapore

Viene di seguito allegata una tabella contenente i dati fondamentali (titolo ed entalpia specifica) dell’aria umida satura, a diverse temperature e pressione atmosferica (P = 1,013 BAR).