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La statistica è uno strumento fondamentale nell’analisi e nell’interpretazione dei risultati di un esperimento. Grazie a questa tecnica, è possibile indicare il valore più rappresentativo di una misura e darne una stima ragionevole dell’intervallo di variabilità. Le leggi naturali che si trovano nei libri di testo, però, non menzionano assolutamente la statistica e gli errori. Ad esempio, la legge di Coulomb è semplice e chiara. L’esponente che compare al denominatore è esattamente 2, no 2.01±0.015 o 1.98±0.04 o qualcosa di simile. Come si risolve quest’apparente paradosso?
La soluzione è molto semplice. Quando si studia un argomento scientifico ormai ben stabilito, non ha alcun senso discutere sulle misure e la loro precisione. Tuttavia, quando si fa scienza, e si vuole comprendere il significato delle misure, diventa indispensabile l’ausilio della statistica. Tornando all’esempio della legge di Coulomb, l’esperimento originale di Cavendish del 1772, basato sulla carica di sfere metalliche concentriche, aveva indicato un esponente 2+e, dove çeç<0.02. Circa cento anni più tardi, il grande Maxwell ripeté l’esperimento fissando un limite superiore çeç<5´10-5. Al momento, l’esponente 2 è preciso entro un limite e= (2.7±3.1)´10-16 !
Inoltre, la rappresentazione dei fenomeni fisici mediante formule matematiche può indurre a pensare che una scienza esatta lo sia in senso matematico. Nulla di più sbagliato! Cerchiamo di chiarire in che senso e con quali limiti l’aggettivo esatto è usato in questo contesto con un esempio. La legge di Ohm, V=RI, permette di prevedere il valore della corrente elettrica che attraverserà un resistore da 100 W se si applica un generatore di forza elettromotrice da 10 V: I=100 mA. Se si esegue la misura con un milliamperometro è però probabile che si trovi un valore vicino a, ma non esattamente uguale a 100 mA. Naturalmente, una prima spiegazione della discrepanza si basa sul fatto che lo strumento usato non è perfetto. In parte ciò sarà vero, ma in realtà vi è qualcosa di molto più profondo alla base. Se si prova a ripetere la misura con lo stesso strumento, molto probabilmente si osserverà un valore diverso dal primo. Analogamente, rifacendo le misure con strumenti via via più sensibili, si nota che i risultati scartano tra loro in modo sempre più evidente. Le misure più raffinate vi porteranno a concludere che il modello di resistore da 100 W va modificato, ad esempio, per tener conto della dipendenza della resistenza dalla temperatura, dalla potenza dissipata durante la misura, dalla frequenza del segnale di eccitazione, ecc. Se gli scarti nelle misure sono dovuti al fatto che le condizioni sperimentali (temperatura, pressione, umidità, ecc.) non sono perfettamente controllate, potreste pensare allora di modificare l'assetto sperimentale per ottenere un maggior controllo.
In tutte queste fasi, dalla formulazione matematicadelle leggi al senso da attribuire loro, l’utilizzo degli algoritmi statistici è fondamentale. In queste dispense, si descriveranno i concetti base della statistica e della teoria degli errori con l’intento di introdurre un metodo che ogni sperimentatore deve seguire per analizzare ed interpretare i risultati in maniera scientificamente corretta. Per la loro stesura, mi sono giovato dei seguenti testi, che consiglio per l’approfondimento dei concetti qui presentati:
ed in particolare di
Una disciplina diviene una scienza esatta quando unisce la capacità descrittiva della realtà a quella predittiva, cioè quando è in grado di predire l'evoluzione di un sistema note le condizioni al contorno. La base per il passaggio da scienza descrittiva a scienza esatta è il metodo scientifico, una complessa costruzione i cui pilastri fondamentali cercheremo di illustrare nel seguito.
I fenomeni naturali osservati possono essere semplicemente descritti nella grande variabilità di condizioni in cui essi avvengono. Se viceversa si riescono ad individuare delle caratteristiche comuni che suggeriscono delle corrispondenze di causa-effetto, è possibile formulare delle relazioni generali capaci di descrivere il fenomeno nell'ambito di un'unica schematizzazione che tenga conto della grande variabilità di parametri che possono influenzarlo. Se le grandezze di cui si sospetta la correlazione vengono misurate, è possibile tradurre la relazione generale in un formalismo matematico che prende il nome di legge (naturale).
Un passaggio successivo è quello che consente di unificare un insieme di leggi, che descrivono fenomeni diversi (per esempio il moto dei corpi), in un modellodella realtà (nel caso dell'esempio fatto prima, il modello della dinamica di Galileo-Netwon). Nel modello, la realtà fisica viene spogliata dei dettagli ed è schematicamente rappresentata attribuendo precise proprietà agli oggetti e stabilendo relazioni causali tra le varie grandezze in gioco. Tornando al caso della meccanica classica, agli oggetti viene assegnata una massa, il loro moto è rappresentato mediante i vettori posizione, velocità ed accelerazione ed è regolato dai primi due principi di Newton.
Un modello può anche prevedere fenomeni mai osservati, e ciò apre la strada alla sperimentazione. Una volta formulato il modello è possibile, cioè, riprodurre artificialmentei fenomeni osservati, in condizioni semplificate per agevolarne lo studio, o anche progettare l'osservazione di fenomeni nuovi suggeriti dal modello stesso ma non ancora osservati, attraverso la predisposizione di apparati sperimentali. Questa è la fase della sperimentazione di laboratorio, che può confermare o negare le previsioni dedotte dall’analisi matematica del modello. In caso affermativo, l'impianto teorico-formale (il modello) ne esce rafforzato, altrimenti esso viene negato e ciò spinge a una revisione delle ipotesi (la schematizzazione) per trovare l'inconsistenza. In entrambi i casi ne segue un avanzamento della conoscenza!
Come esempio di questo processo valutativo, citiamo l'esperimento di Michelson e Morley realizzato per studiare l’influenza del moto di una sorgente luminosa sulla velocità della luce. Contrariamente a quanto predetto dalla composizione dei moti relativi prevista dal modello galileiano, l’esperimento mostrò che la velocità della luce risultava invariante rispetto al sistema di riferimento considerato. Questa contraddizione impose una revisione delle ipotesi su cui si fondava la meccanica classica che consentisse una rappresentazione coerente di tutti i fenomeni osservati, inclusa l'invarianza della velocità della luce. Il nuovo modello, che risponde a questo requisito, è la Relatività Speciale, formulata da Einstein e che si riduce alla meccanica galileiana solo quando le velocità in gioco sono piccole rispetto alla velocità della luce. La meccanica galileiana non è quindi un’errata rappresentazione della realtà: essa è solo una rappresentazione valida nella approssimazione v«c.
Un altro esempio viene dalla critica dell'ipotesi fondamentale della teoria della misura. Si assume che l'operazione di misura possa essere eseguita apportando variazioni trascurabili al sistema da misurare. Questa ipotesi implica che l'energia scambiata tra le sonde che usiamo per misurare e il campione sotto osservazione possa essere resa piccola a piacere. Per eseguire una misura si deve infatti stimolare il sistema osservato (eccitazione) e rilevarne la risposta (segnale). Tuttavia, se le dimensioni del sistema si riducono sempre più arrivando a livello atomico o subatomico, l'operazione di misura porterà inevitabilmente delle perturbazioni finiteal sistema studiato. Diviene così impossibile misurare con precisione qualsivoglia e contemporaneamente alcune coppie di grandezze come posizione e velocità. Da questo segue il principio di indeterminazione di Heisenberg che è alla base dello sviluppo della meccanica quantistica.
Riassumendo, il metodo scientifico si sviluppa secondo una successione di fasi distinte che potremo schematicamente suddividere in:
Questi brevi accenni mostrano come il metodo scientifico sia un intreccio indissolubile di esperimenti e di teoria (cioè di sistematizzazione razionale dei risultati sperimentali) e che voler stabilire il predominio degli uni sull'altra o viceversa significherebbe la fine della straordinaria fertilità di idee e di conoscenze che esso ha prodotto finora e che presumibilmente è in grado di produrre ulteriormente.
L'operazione di misura è uno dei passaggi più critici del metodo scientifico. Essa richiede la definizione operativa delle grandezze da misurare. Si tratta di definizioni che devono prevedere le modalità pratiche di misura, cioè di tutte le operazioni necessarie per confrontarela specifica grandezza in esame con un "campione"che sia stato arbitrariamente definito come l'unità di misura. Il risultato finale dell'operazione di misura è un numeroseguito da un simbolo:il numero rappresenta il rapporto tra la grandezza e il campione e il simbolo specifica la particolare unità di misura usata.
Per eseguire tale associazione, è necessario disporre di strumenti che permettano un rapido e accurato confronto tra la grandezza da misurare e la corrispondente unità di misura, e di regole per stabilire in maniera oggettiva la stima dell’incertezza sulla misura dal tipo di strumenti usati, dalle condizioni in cui si è svolta la misura…
2.1 L’operazione di misura
Per facilitare la comprensione di come concettualmente si opera la misura di una grandezza, facciamo un semplice esempio. La distanzatra due punti può essere definita come la lunghezza di un'asta rigida rettilinea che li congiunge. In tal caso l'operazione di misura consisterà nel porre l'estremità di un'asta (sufficientemente lunga) a coincidere in uno dei due punti, ruotare l'asta fino a che essa intercetta l'altro punto e segnare poi la corrispondente posizione sull'asta. A questo punto l'operazione finale consisterà nel trovare quante volte il campione (una seconda asticella) è contenuto nel tratto d'asta segnato. Osservate che la definizione di distanza tra due punti che abbiamo appena dato coincide con la definizione geometrica di minima distanza tra due punti (in uno spazio euclideo). Questa definizione non è l'unica possibile e soprattutto non è detto che sia operativamente applicabile. Ad esempio, per due punti posti sulla superficie di una sfera di acciaio si potrebbe definire la loro distanza come la minima distanza lungo la superficie. In tal caso l'operazione di misura consisterebbe nel collegare i due punti tendendo tra loro un sottile filo flessibile e misurando poi la sua lunghezza come nel caso precedente. Le due definizioni sono diverse e quindi porteranno in generale a due risultati diversi. Osservate però che in entrambi i casi la definizione contiene (implicitamente) le modalità operative della misura.
Spesso la definizione delle grandezze avviene attraverso la loro specificazione in funzione di altre grandezze già definite in precedenza. Si parla in tal caso di misura indiretta. Per esempio, la velocità (media) di un oggetto è definita dallo spazio percorso per unità di tempo. Questa definizione implica che:
1- le grandezze spazio e tempo siano già state definite insieme alle rispettive unità di misura;
2- la misura della velocità avvenga misurando lo spazio percorso dall'oggetto in un intervallo di tempo anch'esso misurato.
Il rapporto tra queste due misure fornisce la misura della velocità in unità pari al rapporto delle unità di misura dello spazio e del tempo.
In questa definizione è implicito che la grandezza velocità è una grandezza derivata dalle due grandezze fondamentali spazio e tempo. La distinzione tra grandezze fondamentali e derivate, in linea di principio, è del tutto arbitraria. Disponendo di un campione di velocità (unità di misura della velocità), si potrebbe misurare direttamente la velocità, secondo le modalità di confronto della velocità da misurare con il campione insite nella nuova definizione di velocità. La distanza tra due punti (lungo una traiettoria) diventerebbe quindi una grandezza derivata definita come il prodotto della velocità per il tempo impiegato a percorrerla.
2.2 I sistemi di misura
Riflettendo sul problema della definizione operativa di una grandezza e della sua unità di misura, ci si rende immediatamente conto che la scelta delle grandezze fondamentali è in realtà meno arbitraria di quanto non possa apparire. Infatti tale scelta dipenderà dai seguenti fattori:
1- la facilità con cui si può predisporre un campione della grandezza (unità di misura);
2- la facilità con cui questo campione può essere diffuso, in modo che misure compiute in luoghi diversi da diverse persone possano essere confrontabili, cioè trasmissibili ad altri;
3-la facilità dell'operazione di misura delle grandezze fondamentali.
Ad esempio, è evidente che, in base a questi fattori, è molto più semplice disporre di un campione di lunghezza piuttosto che di un campione di velocità e che in ogni caso è molto più facile misurare una lunghezza piuttosto che una velocità.
L'insieme delle grandezze fondamentali e delle relative unità di misura si chiama Sistema di Unità di Misura. Storicamente se ne sono sviluppati parecchi, ma l'esigenza di trasmissibilità dei risultati delle misure ha portato all'adozione internazionale di un solo sistema che viene quindi indicato come Sistema Standard Internazionale(in sigla SI). In questo sistema le grandezze fondamentali sono lunghezza (L), tempo (T), massa (M) e intensità di corrente elettrica (I) con le unità di misura che sono rispettivamente il metro (m), il secondo (s), il chilogrammo (Kg) e l'ampere (A). Le unità di misura delle altre grandezze sono univocamente determinate dalle relazioni algebriche che le legano alle grandezze fondamentali, ossia sono dei prodotti di potenze (positive e negative) delle unità fondamentali. Tali prodotti di potenze costituiscono anche la dimensione della grandezza derivata. Per esempio la velocità ha dimensione [L T-l ] (lunghezza diviso tempo) essendo definita come il rapporto tra una lunghezza e un tempo. Vi sono grandezze che hanno dimensione nulla essendo definite come il rapporto tra due grandezze della stessa dimensione (omogenee): per esempio l'angolo nel piano è definito come il rapporto tra l'arco e il raggio (entrambe le quantità hanno le dimensioni di una lunghezza). In questi casi è bene prestare attenzione perché l'esigenza di una coerenza con le altre unità di misura non risulta da un'analisi dimensionale. Data la definizione di angolo, la sua unità di misura corretta è il radiante, anche se all'interno di funzioni trigonometriche (per esempio) si può usare l'unità di misura che più aggrada (purché coerente con il metodo di calcolo).
Poiché le scale su cui avvengono i fenomeni naturali variano di moltissimi ordini di grandezza, è utile ricorrere a multipli e sottomultipli delle unità di misura. Anche in questo caso, per non inflazionare eccessivamente i simboli necessari, si è convenuto di usare esclusivamente multipli e sottomultipli che differiscono tra loro e dall'unità di misura (in più o in meno) di fattori 103. I prefissi all'unità di misura, la loro pronuncia e il loro significato sono i seguenti:
a (atto) = 10-18
f (femto)= 10-15
p (pico )= 10-12
n (nano)= 10-9
Il (micro) = 10-6
m (milli) = 10-3
K (chilo) = 103
M (mega)= 106
G (giga)= 109
T ( tera)= 1012
Nel SI, per esempio, il cm (10-2 m) è un'unità (sottomultiplo) "illegale"così come l'ettogrammo (10-1 Kg) o l'Angstrom (10-10 m), anche se in ambienti specifici queste unità sono tuttora correntemente usate.
L'operazione di misura, per quanto complicata possa essere, ha il pregio fondamentale di concludersi con un numero. Le relazioni tra grandezze divengono quindi relazioni tra numeri, cioè relazioni matematiche, e in definitiva la fase di sperimentazione nel metodo scientifico si conclude con la formulazione di una legge naturaleche è espressa da un'equazione matematica tra le grandezze in gioco.
2.3 Gli strumenti di misura
Lo strumento di misura è un apparato che permette il confronto tra la grandezza misurata e l’unità di misura. Esso è costituito da una parte sensibile in qualche modo alla grandezza da misurare, che si può chiamare sensore,eventualmente da un dispositivo trasduttoreche traduce le variazioni della grandezza caratteristica del rivelatore in quelle di un’altra grandezza più facilmente accessibile allo sperimentatore, e da un dispositivo che presenta il risultato della misura ai sensi, generalmente alla vista, dello sperimentatore, direttamente o con una registrazione grafica o di altro genere.
Così in un calibro, strumento per la misura di spessori, il sensore è costituito dalla ganascia mobile col cursore ad essa solidale, e che può scorrere nella guida facente corpo unico con la ganascia fissa; mentre l’elemento indicatore è costituito dalla scala graduata in millimetri tracciata sulla guida e dai segno di fede inciso sul cursore, generalmente insieme ad una scala graduata ausiliaria (nonio)per la lettura delle frazioni di millimetro. La grandezza letta sulla scala è qui direttamente la grandezza stessa. In un termometro a liquido, l’elemento sensibile alla temperatura è il liquido contenuto nel bulbo; esso funge almeno in parte anche da trasduttore, perché la proprietà termometrica che si osserva è il volume del rivelatore stesso. Il tubo capillare a sezione costante traduce le variazioni di volume del rivelatore in variazioni di lunghezza della colonna di liquido ivi contenuta. Il menisco che separa il liquido dal suo vapore nel capillare funge da indicatore, assieme con la scala tracciata sulla superficie esterna del tubo o sopra un regolo ad essa solidale. La grandezza letta sulla scala è la distanza del menisco da un segno di riferimento che può essere messa in corrispondenza con la temperatura per mezzo di una tabella di conversione o, come spesso accade, le temperature corrispondenti sono scritte accanto alle tacche della scala.
Le caratteristiche più importanti di uno strumento sono le seguenti:
Per sfruttare a pieno le possibilità di uno strumento di misura, è opportuno che la sensibilità non sia inferiore alla precisione; gli strumenti di uso corrente sono costruiti con una sensibilità circa eguale alla precisione in condizioni normali d’uso.
2.4 Errori di misura
Come accennato in relazione alla precisione di uno strumento, se si esegue una misura di una. qualsiasi grandezza fisica si commettono inevitabilmente errori; conseguentemente il valore ottenuto per la grandezza misurata non è mai esattamente eguale ai suo vero valore, che non sarà perciò mai noto con precisione arbitrariamente grande (diversamente da quanto accade con una costante matematica, come ad esempio p). Prima di proseguire facciamo subito chiarezza sul significato del termine errore. In questo contesto l'errore è l'intervallo di confidenza (o la sua stima) della misura. La maggior abilità di uno sperimentatore e la miglior qualità degli strumenti e degli apparati sperimentali potranno ridurre questo intervallo di confidenza, ma non potranno mai ridurlo ad un punto. Questo non ha nulla a che vedere con la normale accezione di errore come sbaglio, strafalcione, ecc. Che, ovviamente, non possono trovare spazio in una scienza.
Quando si ripete la misura della stessa grandezza col medesimo strumento, nelle medesime condizioni e seguendo la medesima procedura, la presenza di varie cause di errore che andremo ad esaminare produce delle differenze tra il valore misurato ed il valore vero; differenze variabili da una misura all’altra in modo imprevedibile. In conseguenza di ciò, i risultati di queste misure ripetute (se lo strumento è abbastanza sensibile) fluttueranno apprezzabilmente in maniera casuale in un certo intervallo, la cui ampiezza definisce la precisione delle misure stesse. Gli errori di questo tipo si dicono errori casuali, e la loro esistenza è facilmente accertabile con l’uso di un qualsiasi strumento sensibile. Possono essere ridotti migliorando le caratteristiche dello strumento, controllando più strettamente le condizioni in cui si esegue la misura… ma non possono mai essere eliminati. Posseggono tuttavia certe regolarità statistiche, che verranno presentate nei capitoli successivi, e possono pertanto essere accuratamente stimati.
Tuttavia certe cause di errore possono dar luogo a una discrepanza tra valore misurato e valore vero che si riproduce inalterata nelle misure ripetute di cui sopra, e la inosservabilità delle fluttuazioni non garantisce per nulla che la discrepanza sia inferiore all’incertezza di lettura dello strumento; né si può esser certi che essa sia contenuta entro l’intervallo di variabilità degli errori casuali (quando esso sia maggiore dell’incertezza di lettura). Gli errori di questo secondo tipo si dicono errori sistematici perché, ripetendo la misura nelle stesse condizioni sperimentali, si manifestano sempre con lo stesso segno, ed in alcuni casi, con lo stesso valore. Cause di errori sistematici possono essere quelle elencate nel seguito (ma la lista non è necessariamente completa):
.Ma questa formula vale solo nel limite di piccole oscillazioni, mentre una soluzione più accurata mostra come il periodo sia una funzione leggermente crescente dell’ampiezza A dell’oscillazione (misurata in radianti). L’uso della formula di prima approssimazione per determinare g comporta dunque una sottostima che diviene tanto più sensibile quanto maggiore è A.Gli errori sistematici sono i più insidiosi da scovare perché non immediatamente osservabili: non si sa mai se stanno influenzando le misure e non si è mai certi che non le influenzino. Un modo per rivelarne la presenza può essere quello di misurare, se possibile, la stessa grandezza con strumenti e metodi diversi; questi presumibilmente sono affetti da errori diversi e possono fornire perciò risultati differenti. Tuttavia, neppure l’assenza di questo effetto dà la certezza che la misura sia esente da errori sistematici, ed essi sono generalmente individuati da una attenta e minuziosa critica sia dello strumento o, più in generale, della tecnica usati, sia della procedura seguita nella misura. Una volta scoperto, un errore sistematico può essere facilmente eliminato modificando lo strumento o la procedura, oppure apportando una opportuna correzione al risultato della misura.
Osserviamo che, in generale, le possibili cause d’errore sistematico possono produrre anche errori casuali: così, per il primo tipo, gli inevitabili giochi meccanici e gli attriti tra parti dello strumento in moto relativi dar luogo a risultati fluttuanti; per quanto riguarda il secondo tipo, condizioni ambientali variabili e non del tutto controllabili (come temperatura, umidità e pressione) possono produrre variazioni imprevedibili del risultato, e così via.
2.5 Cifre significative ed arrotondamenti
Abbiamo visto che il modo corretto per esprimere il risultato di una misura consiste nel dare la miglior stima della quantità considerata seguita da un intervallo di confidenza entro il quale è alquanto probabile che il valore sia racchiuso.
Prima di procedere ad una discussione statistica del modo migliore per stabilire il valore più rappresentativo e l’errore di una misura, è utile puntualizzare alcune regole generali su come esprimere le incertezze.
Innanzitutto, dato che l’errore è la stima di un’incertezza, non ha senso esprimerlo con troppa precisione. In altre parole, è ovviamente assurdo riportare un risultato del tipo
L=10.1±0.5839 m
E’ inconcepibile che l’incertezza nella misura si possa conoscere al meglio di quattro cifre significative. In esperimenti di elevata precisione, gli errori sono espressi in due o massimo tre cifre significative, ma il più delle volte, come nei corsi di laboratorio, possiamo affermare la regola seguente:
Regola per esprimere le incertezze
Per quasi tutte le misure, escluse quelle di elevata precisione,
gli errori dovrebbero essere arrotondati alla prima cifra significativa.
Quindi, se i risultati dei calcoli danno dL=0.5839…m, nel risultato finale la risposta dovrebbe essere arrotondata a 0.6 m e quindi la conclusione diventerebbe
L=10.1±0.6 m
C’è una sola importante eccezione a questa regola. Se la prima cifra significativa nell’incertezza dx è un 1, allora è meglio arrotondarla alla seconda cifra significativa. Ad esempio, se dx=0.0143 g, arrotondarlo a 0.01 porterebbe ad una sostanziale riduzione proporzionale del suo valore, quindi è più accurato esprimerlo come 0.014. Lo stesso ragionamento si può applicare se la prima cifra significativa è 2, ma certamente no se è più grande.
Stabilita la stima dell’errore di una misura, si deve considerare quali sono le cifre significative nel valore più rappresentativo. Una scritta del tipo
V=523.7594 ± 2.2 m/sec
è ovviamente ridicola. L’incertezza di 2.2 implica che la cifra 3 nel terzo posto di 523.7594 potrebbe essere piccola quanto 1 o grande quanto 5. Chiaramente, le cifre che seguono, 7, 5, 9 e 4 non hanno alcuna rilevanza e dovrebbero essere arrotondate. Quindi, la velocità precedente dovrebbe riscriversi più correttamente come
V=524 ± 2.2 m/sec
Quanto discusso finora può essere sintetizzato nella seguente regola:
Regola per esprimere le risposte
L’ultima cifra significativa del valore più attendibile di qualsiasi misura
deve essere nella stessa posizione decimale dell’incertezza.
Per esempio, la risposta 92.81 con un’incertezza di 0.3 dovrebbe essere arrotondata a 92.8±0.3. Se l’errore è 3, allora la misura dovrebbe riscriversi come 93±3, mentre se l’incertezza è pari a 30, allora la risposta è 90±30.
Tuttavia, i numeri che si usano nei calcoli si possono (devono) tenere con più cifre significative per evitare effetti di propagazione degli arrotondamenti. Il risultato finale deve però essere arrotondato secondo la regola sopra esposta.
Abbiamo già osservato che il risultato di una misura è un dato. Può chiamarsi anche campione o evento, ma indipendentemente dal nome è l’unità elementare di conoscenza di un dato fenomeno da cui si vuole estrarre dell’informazione attendibile.
Per trasmettere ad altri questa informazione in maniera rapida, incisiva ed efficace, è necessario rappresentarli graficamente o sintetizzarli in pochi, precisi numeri. Questo capitolo riguarda i metodi per rappresentare i dati in modo utile e chiaro senza farne un’analisi troppo approfondita. Ciò rientra nella cosiddetta statistica descrittiva.
3.1 Tipi di dati
I dati si chiamano quantitativi se si possono esprimere mediante numeri, altrimenti vengono detti qualitativi o non-numerici. I dati qualitativi si presentano soprattutto nelle scienze sociali e sono difficili da trattare in quanto non permettono un trattamento matematico rigoroso.
I dati quantitativi si possono ulteriormente dividere in discreti, se sono esprimibili mediante numeri interi, o continui se si devono usare numeri reali. Ovviamente, per questi dati è necessario un qualche tipo di arrotondamento, dato che è impossibile scrivere una serie infinita di decimali. Per esempio, se consideriamo un insieme di auto, il loro colore è una variabile di tipo qualitativo, il numero di sedili è intera mentre la lunghezza è continua.
La prima operazione da fare quando si ha una serie di dati grezzi è cercare di raggrupparli in classi, o blocchi, o gruppi. Questo è facile con i dati discreti: per esempio il numero di volte che il rosso (R) o il nero (N) sono usciti alla roulette. Supponiamo che su 20 lanci della pallina la sequenza dei risultati sia stata
{N,R,N,N,R,N,R,N,N,N,R,R,N,N,R,N,R,N,N,R}
Un modo più compatto e chiaro di scrivere il risultato è il seguente:12N, 8R, però si è persa l’informazione sulla sequenza degli eventi.
Per dati continui non è così semplice, dato che i loro valori, molto probabilmente, saranno tutti diversi. Per raggrupparli diventa necessario suddividerli in intervalli di valori per ogni blocco o gruppo contando quanti numeri cadono in un dato intervallo. Questo implica un ulteriore arrotondamento del dato e quindi un’ulteriore perdita di informazione: questo è lo scotto da pagare per sintetizzare i dati, per esempio rappresentandoli con un istogramma.
3.2 Diagrammi a barre ed istogrammi
Un insieme di dati discreti può essere rappresentato graficamente mediante un diagramma a barre, la cui altezza è proporzionale al numero delle uscite come mostrato in fig. 3.1. Questi diagrammi si possono ovviamente applicare sia a dati quantitativi, sia qualitativi. Per i dati quantitativi si può anche usare un istogramma, in cui la base del rettangolo è proporzionale alla larghezza dell’intervallo di valori considerato, mentre la sua altezza indica il numero di dati compresi in quel range. E’ opportuno rimarcare la differenza concettuale tra diagramma a barre, in cui il dato significativo è l’altezza della barra, e l’istogramma, in cui il dato importante è l’area della barra. Ciò è importante se si adotta una suddivisione dei valori non uniforme.
Per i dati numerici, la scelta della larghezza dell’intervallo di valori per i dati è molto importante (vedi figura 3.2). Se l’intervallo è troppo piccolo, in ogni gruppo ci saranno pochi eventi e l’altezza sarà totalmente dominata dalle fluttuazioni statistiche; se invece l’intervallo è troppo grande, dettagli reali della distribuzione possono andar persi. Non esistono regole fisse di comportamento: sta a voi decidereil modo migliore di operare. Ecco il primo esempio di come l’elemento soggettivo entra nel trattamento dei dati e di come sia necessario essere guidati dal buon senso!
In altri casi i vostri dati saranno coppie di valori di due grandezze di cui sospettate o volete mettere in evidenza una correlazione o una vera e propria dipendenza funzionale (per esempio la tensione e la corrente nel tentativo di stabilire la legge di Ohm). Il modo più conveniente di fare questo è di rappresentare i vostri dati come punti in un piano cartesiano xy. Per fare questo è utile tenere presenti alcune semplici regole.
y=axb
riportata in un grafico log-log diviene
logy =loga+blogx
ovvero
per cui l’esponente bpuò essere immediatamente misurato dalla pendenza della retta risultante. In questo caso una sola avvertenza: attenzione a tener conto della dimensione delle decadi, se questa non è la stessa sui due assi. Questo non è un problema se usate della carta log-log perché generalmente essa viene stampata in modo da avere decadi della stessa dimensione sui due assi (e in ogni caso le dimensioni sono riportate in cima al foglio). Diverso è il caso se costruite il vostro grafico con un computer: generalmente la dimensione delle decadi sui due assi viene stabilita dal formato con cui il grafico viene stampato!
Indipendentemente dal tipo di grafico (lineare o logaritmico) e dal tipo di elaborazione (fit lineare o nonlineare) potreste scoprire che la vostra elaborazione non descrive affatto l’andamento dei dati e questo semplicemente perché avete sbagliato a introdurre un dato. Oppure potreste scoprire che l’elaborazione è buona solo in certo intervallo di valori. Avreste allora due possibilità: usare funzioni di fittingpiù complicate o ripetere l’elaborazione per i dati in un intervallo più ristretto. Quest’ultima soluzione vale in particolare quando volete interpolare linearmente un. tratto di curva che sapete a priori non essere una retta! In ogni caso, è sempre bene attenersi alla seguente
Regola per graficare il fit di dati
Il risultato della vostra elaborazione (o la curva teorica attesa)
deve sempre essere riportato sul grafico in modo da qualificare visivamente
(e quindi nel modo più rapido ed efficace) il risultato della misura.
3.3 Stime di tendenza centrale
Dato un insieme di dati numerici di una grandezza fisica non tutti coincidenti, è necessario definire un algoritmo che fornisca la stima migliore del valore vero della grandezza osservata; cioè di determinare quale, tra le infinite funzioni dei dati, ha la maggiore probabilità di dare il valore vero.
Ora, se supponiamo di avere eliminato tutti gli errori sistematici, è intuitivo come il valore di tale stima debba corrispondere ad una posizionecentrale nella distribuzione dei valori osservati. Nella statistica esistono varie stime della cosiddetta tendenza centrale di una distribuzione; la più immediata di queste stime è il valore corrispondente al massimo della frequenza, cioè il valore che si presenta il maggior numero di volte (ovvero la media dei valori contiguiche presentassero tutti la medesima massima frequenza): tale stima (se esiste) si chiama modadella distribuzione, e si indica con il simbolo 
. In generale però la distribuzione potrebbe non avere massimo oppure averne più d’uno in punti non contigui (distribuzioni multimodali ), anche se questo non dovrebbe essere il caso per le distribuzioni di misure ripetute. Per questi motivi la moda non è di uso molto frequente, e non è opportuna in questo contesto anche per ragioni che saranno esaminate più avanti.
Un’altra stima di uso frequente nella statistica è la medianadi una distribuzione, 
, definita come quel valore che divide l’istogramma dei dati in due parti di uguale area; in termini meno precisi, la mediana lascia un ugual numero di dati alla propria sinistra ed alla propria destra. Usando questa definizione, per trovare la mediana di un insieme di dati tutti distinti basta disporli in ordine crescente e prendere il valore centrale (per un numero dispari di misure; si prende la semisomma dei due valori centrali se le misure sono in numero pari). Al contrario della moda, la mediana esiste sempre; nel diagramma della frequenza cumulativa è definita dall’ascissa corrispondente all’ordinata del 50%.
Si può dimostrare anche che la mediana 
è quel valore di x che rende minima la somma dei valori assoluti degli scarti dalle nostre misure xi da x; cioè tale che
La stima di gran lunga più usata del centro di una distribuzione di N dati numerici è la media aritmeticadei valori osservati 
, definita attraverso la
La media aritmetica gode delle seguenti proprietà:
di un insieme di valori x1, x2…xN è quel valore x per il quale risulta minima la somma dei quadrati degli scarti dalle xi, cioè risulta
come si può dedurre derivando la sommatoria in parentesi grafa.
In figura 3.3 sono riportate le tre stime introdotte finora, ovverosia la moda, la mediana e la media aritmetica, nel caso di una distribuzione di dati continua. Come si può notare, queste tre stime non sono molto lontane le une dalle altre. Esiste una relazione empirica che le lega e che è valida per distribuzioni non troppo asimmetriche:
cioè la differenza tra media aritmetica e moda è circa il triplo della differenza tra media aritmetica e mediana.
Altre stime di tendenza centrale sono la media geometrica definita come
la media armonica, 
, e la root mean square, generalmente abbreviata in r.m.s. value, pari a 
. Tutte queste stime sono molto meno comuni della media aritmetica, pertanto quando si menziona la media senza aggettivo, è sottinteso che si sta riferendo a quella aritmetica.
3.4 Stime di dispersione
La media sintetizza un campione di dati in un solo numero. Ciò è ovviamente utile, ma può essere ambiguo. Si consideri, ad esempio, i due istogrammi riportati in figura 3.4. Entrambi hanno una media pari a 7.0, ma la loro distribuzione differisce significativamente. E’ quindi necessario usare un secondo numero per quantificare la loro larghezza o dispersione.
.
La più grossolana delle stime statistiche di dispersione si effettua trovando il massimo ed il minimo valore osservato: la semidispersione massima è definita come la semidifferenza tra questi due valori. Essa ha il difetto di ignorare la maggior parte dei dati e particolarmente quelli, generalmente preponderanti, prossimi al centro della distribuzione. Inoltre, normalmente aumenta all’aumentare del numero di misure invece di tendere ad un valore determinato.
Caratteristiche di una distribuzione di uso frequente nella statistica (anche se non nella fisica) sono i quartili, i decili ed i percentili (collettivamente quantili), indicati con Qi (i = 1,2,3); Di(i= 1,... ,9); e Pi (i=1,... ,99) rispettivamente. Essi sono definiti (analogamente alla mediana) come quei valori della x che dividono la distribuzione rispettivamente in 4, 10 e 100 parti di uguale area. Ovviamente vale la
Come stima della dispersione di una distribuzione è usato dagli statistici l’intervallo semiinterquartilicoQ = (Q3 — Q1)/2, come pure la differenza P90— P10tra il novantesimo ed il decimo percentile; tali intervalli esistono sempre, ma non sono padroneggiabili agevolmente negli sviluppi teorici.
Altra stima di dispersione è la deviazione media assoluta, definita come
ma anch’essa non è facile a trattare a ragione dell’operazione non lineare costituita dal valore assoluto.
La più importante e più usata, non solo in fisica, stima di dispersione è lo scarto o deviazionequadratica media (s.q.m.)definito come
Più avanti vedremo che, quando il campione di dati non è grandissimo, una stima più precisa da un punto di vista statistico si ottiene sostituendo a N la differenza N-1 nella formula precedente. Per distribuzioni non troppo asimmetriche la deviazione media assoluta è circa i 4/5 della deviazione quadratica media, mentre l’intervallo semiinterquartilico è circa i 2/3 della stessa.
Se la distribuzione dei dati non è simmetrica, può risultare necessario caratterizzarne la forma usando ulteriori parametri. Questa quantità deve ovviamente tener conto del segno degli scarti. Ovviamente, non può essere il valor medio degli scarti, in quanto esso è nullo per definizione di media. Bisogna quindi passare ai cubi degli scarti e quantificare l’asimmetria della distribuzione mediante lo skew g definito come
dove il fattore S3 rende g adimensionale e la seconda uguaglianza mostra che per distribuzioni simmetriche g=0. Invece, g>0 implica una coda della distribuzione più accentuata a destra e viceversa per g<0. Per inciso la distribuzione di Gauss, essendo simmetrica, ha g=0 mentre la distribuzione di Maxwell delle velocità molecolari di un gas ha g>0.
Naturalmente, si può procedere oltre nella qualificazione della forma della distribuzione considerando potenze superiori degli scarti. In generale il valor medio della r-sima potenza degli scarti è chiamato l’r-simo momento centrale della distribuzione: il valor medio non è altro che il primo momento centrale della distribuzione e lo s.q.m. il secondo. Nella teoria degli errori si usano quasi esclusivamente la media e lo s.q.m.; tuttavia nella qualificazione di processi fisici (per esempio la distribuzione della penetrazione di particelle monoenergetiche attraverso la materia) possono essere utili e necessari momenti superiori.
3.5 Più di una variabile
In alcuni casi, ciascun dato non consiste di un solo valore ma di due, tre o più. Per esempio, se si vuole determinare la traiettoria di una particella in moto bisogna misurarne la posizione in un dato istante, cosicché i dati sono formati da coppie (x,t). Analogamente, il peso, le abitudini alimentari, il fumare o meno, e l’età, possono costituire le quattro variabili di una ricerca epidemiologica sulla popolazione. Ciò aggiunge un nuovo aspetto alle proprietà dei dati del campione, e si possono investigare le eventuali relazioni tra le diverse grandezze.
Consideriamo ora il caso in cui un evento è descritto da una coppia di numeri (o di misure) sicché l’insieme dei dati è espresso da {(xl,yl),...,(xN,yN)}. Per ognuna delle due grandezze x e y si possono calcolare la media e lo s.q.m., ma i dati contengono un’informazione supplementare: le due grandezze x e y sono tra loro indipendenti o no? Questo può essere stimato attraverso il calcolo della covarianza che è definita come il valor medio del prodotto degli scarti:
avendo utilizzato la definizione di valor medio per ottenere l’ultima uguaglianza.
Dalla definizione si può ben immaginare che se uno scarto positivo sulla x tende ad avvenire in concomitanza con uno scarto positivo (negativo) sulla y, e viceversa, la covarianza tenderà ad essere positiva (negativa). Se invece le due grandezze sono totalmente indipendenti, uno scarto positivo di x avrà la stessa probabilità di avvenire in concomitanza con uno scarto positivo o negativo della y, cosicché la covarianza tenderà ad essere nulla.
La covarianza è un utile parametro però ha le dimensioni [x][y]. E’ più opportuno definire una quantità adimensionale per rappresentare la stessa proprietà, il coefficiente di correlazione rxy:
Il coefficiente di correlazione è un numero compreso tra –1 e +1. Se rxy=0 si dice che le variabili x e y sono scorrelate. Una correlazione positiva implica che se x è più grande di 
, anche y sarà, in media, più grande di 
. Per rxy<0, un x più grande implicherà un y più piccolo. Se rxy=±1, allora x e y sono totalmente correlate: il valore di una specifica precisamente il valore dell’altra. Il coefficiente di correlazione è ovviamente indipendente da shifts dell’origine degli assi o da cambi di scala per le due variabili. In figura 3.4 sono riportati alcuni esempi grafici di correlazioni tra coppie di valori.
Il concetto di correlazione può essere facilmente esteso ad eventi di nvariabili che potremo indicare sinteticamente come (x(l),x(2),…, x(n) ). La covarianza tra ogni coppia di variabili è definita analogamente a quanto visto sopra come:
Le Vijpossono essere pensate come gli elementi di una matrice n x n,la matrice di covarianza, detta anche matrice degli errori. Notate che la matrice è simmetrica e che i suoi elementi diagonali sono gli s.q.m. delle singole variabili. Analogamente, si può definire la matrice di correlazione i cui elementi sono
Naturalmente, gli elementi diagonali della matrice di correlazione valgono tutti +1. Inoltre, si può dimostrare che il valore di r deve essere contenuto entro l’intervallo -1,+1 e che per variabili totalmente correlate (anticorrelate) esso vale +1 (-1).
Per comprendere meglio quanto abbiamo precedentemente accennato sulla variabilità del risultato di una misura, è utile introdurre i concetti di probabilità e, soprattutto, di distribuzione di probabilità. Si illustreranno poi alcune distribuzioni particolari di più frequente uso nelle scienze fisiche, cercando di mostrare come e perché una distribuzione dà origine ai risultati osservati. Solo a partire da questa comprensione è possibile usare il particolare comportamento dei dati per produrre affermazioni generali sui processi primari che li hanno prodotti (le leggi fisiche).
Per cominciare, partiamo da un esperimento in cui l'imperfezione degli strumenti e gli elementi di soggettività della misura non entrano: il lancio di una monetina e il relativo risultato, che non può essere altro che Testa (T) o Croce (C). Se la moneta è perfettamente simmetrica non c'è alcun motivo per privilegiare una faccia o l'altra e lanciando la moneta più volte vi aspettate di ottenere To C in ugual numero. Se si lancia la moneta una sola volta si otterrà l'uno o l'altro dei risultati e la predizione ovviamente non può essere verificata. Ma se viene lanciata due volte, si possono ottenere 1Te 1C, come previsto, ma anche 2To 2C. Cosa c'è che non va nella previsione? In questo caso non è possibile imputare la differenza a imperfezioni strumentali né alla soggettività dell'osservatore. Resterebbe solo il non perfetto controllo delle condizioni sperimentali. In realtà vi è qualcosa di più profondo, che ha a che fare con la natura probabilistica dell’evento. Potremo pertanto affermare che le predizioni di leggi fondamentali vengono modificate (quando le misuriamo) dalle distribuzioni statistiche dei risultati che hanno origine sia nelle imperfezioni degli strumenti, sia dalla
dimensione del campione di dati, sia da altre cause ancora.
4.1 Definizioni di probabilità
Ci sono varie definizioni possibili di probabilità, ciascuna con i propri vantaggi e i propri limiti. Noi ne presenteremo solo due, partendo dalla probabilità assiomatica, formulata originalmente da Kolgomorov.
Sia S={E1, E2,…, EN} un insieme di possibili risultati, o eventi, di un esperimento. Gli eventi si dicono essere mutuamente incompatibili se è impossibile che succedano contemporaneamente in una misura. Per ogni evento E esiste una probabilità P(E), che è un numero reale che soddisfa i seguenti assiomi di probabilità:
Da questi assiomi si possono ricavare tutti i risultati della teoria delle probabilità. Il problema, per uno sperimentatore, è che questi assiomi non hanno alcun significato. Non possiamo sfruttarli per determinare la probabilità di un dato evento. Solo se le varie probabilità sono già note, è possibile usarli per calcolare la probabilità di una qualche complicata combinazione di eventi. Questa è la debolezza della definizione assiomatica, ma è anche la sua forza, in quanto non contiene alcuna ambiguità.
La definizione di probabilità empirica non contraddice quella di Kolmogorov, semplicemente la rende un concetto operativo e misurabile. E’ la definizione “ortodossa” degli sperimentali e quella che useremo più spesso. Supponiamo che un esperimento sia ripetuto, sotto identiche condizioni, N volte e un certo evento A si verifichi in un numero M di questi casi. La probabilità dell’evento A è quindi data da:
dove il rapporto M/N è chiamato frequenza.
Le N prove possono essere fatte ripetendo lo stesso esperimento N volte in successione oppure facendo misure simultanee su N esperimenti identici. L’insieme di questi casi è chiamato gergalmente ensemble (statistico).
Anche questa definizione non è esente da critiche. Innanzitutto, la probabilità così definita non è una proprietà dell’evento A ma dell’evento e dell’ensemble considerato. Ad esempio, se vogliamo stabilire la probabilità che un lettore di giornale italiano abbia un titolo universitario, usando il campione degli abbonati alla Gazzetta dello Sport troveremo un valore decisamente inferiore rispetto agli abbonati dell’Herald Tribune o di Repubblica. Inoltre, la definizione empirica implica che sia possibile ripetere l’esperimento un numero elevato di volte in condizioni identiche e con diversi risultati possibili. Consideriamo però la frase: “domani probabilmente pioverà”. Cosa significa? C’è un solo domani, si può aspettare e vedere cosa succede, ma ciò può essere fatto solo una volta! Simili considerazioni valgono per il Big Bang, un incontro di calcio, o il Superenalotto. Tuttavia, nonostante questi limiti, la definizione empirica è quella più usata in laboratorio. Tornando all’esempio di prima, se la pressione atmosferica cala, il cielo si rannuvola e le immagini dai satelliti mostrano un fronte freddo in avvicinamento, dire che “domani probabilmente pioverà” è un’affermazione sensata e logicamente corretta.
4.2 Distribuzioni teoriche di probabilità
Per cominciare a introdurre alcuni concetti generali, utili per affrontare i problemi reali, consideriamo ancora un caso semplice anche se probabilmente non è di alcun interesse scientifico: il lancio successivo di 4 monete. Per ciascuna moneta, la probabilità che esca testa (T) è pari a ½, così come la probabilità che esca croce (C). I risultati possibili di questa sequenza di lanci sono 0T, 1T, 2T, 3T o 4Te ovviamente il complemento a 4 per C. Cominciamo a considerare la probabilità di ottenere come risultato 0T. Per la prima moneta questo equivale a considerare la probabilità di ottenere C e quindi essa è 1/2. Lo stesso ragionamento e risultato vale per le altre 3 monete così che la probabilità composta di questo evento, che indicheremo semplicemente col simbolo 0, sarà:
P(0)=1/2´1/2´1/2´1/2=1/16
La probabilità che esca solo una testa, P(1), può essere calcolata secondo la stessa linea di ragionamento. La probabilità che per la prima moneta esca Tè 1/2. Per le altre 3 monete il risultato deve essere allora 3C la cui probabilità composta è 1/8. Quindi la probabilità del risultato TCCCè ancora di 1/2´1/8 = 1/16. Tuttavia, per l’esperimento considerato non interessa quale moneta esce con Te quindi anche le permutazioni CTCC, CCTC e CCCTforniscono lo stesso risultato di una sola testa per sequenza di 4 lanci e ognuna con la stessa probabilità della prima combinazione considerata. La probabilità totale sarà la somma delle probabilità delle singole permutazioni e quindi
P(1)= 4 ´ 1/16 = ¼
Analogamente, la probabilità di ottenere il risultato 2Tsi otterrà sommando le probabilità delle 6 permutazioni (ognuna con probabilità 1/16) che portano allo stesso risultato: TTCC, TCTC, TCCT, CTTC, CTCT, CCTT. Quindi
P(2)= 6 ´ 1/16 = 3/8
La probabilità di ottenere 3To 4T, ovvero P(3) e P(4),è rispettivamente uguale a quella di ottenere 1To OTe quindi P(3) = P(1)e P(4) = P(0). Poiché ogni serie di lanci fornisce comunque un risultato, la somma delle probabilità di ottenere i vari risultati possibili (cioè la probabilità di ottenere
un risultato qualsiasi) deve dare 1 (la certezza) e infatti
P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1
Una distribuzione di probabilità è quindi la successione di probabilità associate a tutte le diverse, possibili manifestazioni di uno stesso esperimento (nell’esempio sopra, il lancio di 4 monete). Nota la distribuzione teorica, si possono confrontare le sue predizioni con le misure. Se si lanciano le 4 monete una decina di volte, è quasi certo che i risultati osservati siano simili ma non uguali a quelli previsti. Aumentando il numero di prove, l’accordo tra misura e predizione migliora sensibilmente. Queste considerazioni, di validità generale, si possono sintetizzare dicendo che all’aumentare dell’ensemble le fluttuazioni si eliminano e le frequenze osservate tendono alle probabilità previste. Questo rappresenta un possibile enunciato della fondamentale legge dei grandi numeri.
Nota la distribuzione di probabilità teorica rispetto ad un indice discreto s, arbitrariamente definite come successo, si può determinare immediatamente il numero medio di successi che uno si aspetta di trovare, detto anche valore di aspettazione ed indicato col simbolo 
, tramite la relazione
Considerando l’esempio del lancio di quattro monete, il valore di aspettazione corrispondente al numero di teste che mediamente ci si aspetta di trovare in ogni sequenza di 4 lanci sarà pari a
Il risultato in questo caso è ovvio, ma la formula sopra riportata fornisce un modo generale per calcolare il valore di aspettazione per una variabile sdella quale si conosce la distribuzione di probabilità P(s). Nell’esempio delle 4 monete, il valore di aspettazione coincide con il valore più probabile, ma non necessariamente è sempre così. Il risultato per spuò essere esteso a qualsiasi funzione di s, f(s), tramite l’espressione
Per una combinazione lineare di funzioni di s, il valore di aspettazione è la stessa combinazione lineare dei valori di aspettazione delle singole funzioni
come si può facilmente verificare partendo dalla definizione di valore di aspettazione. Notare che i valori di aspettazione generalmente non si moltiplicano, ossia
Un modo utile di pensare al valore di aspettazione è in termini di scommesse: supponiamo che ci sia una slot machine con vari possibili risultati etichettati con l’indice s, ciascuno dei quali ha una probabilità P(s) e viene pagato una quantità f(s). Il valore di aspettazione <f(s)> rappresenta quindi la somma che ci si aspetta di vincere in media e sarebbe la quantità giusta da pagare al possessore della macchina per ogni puntata.
C’è un ovvio parallelo tra valore di aspettazione e media di un campione. Il primo è una somma su una distribuzione teorica di probabilità, mentre la seconda è una somma simile ma su un campione di dati reale. La legge dei grandi numeri assicura che se un campione di dati è descritto da una certa distribuzione teorica di probabilità, al tendere ad infinito del numero dell’ensemble, si abbia
Come per le distribuzioni di dati reali, anche per le distribuzioni statistiche è utile determinarne la larghezza. Questa quantità si chiama varianza ed è definita come
Per questioni dimensionali, è più utile considerare la cosiddetta deviazione standard pari a
Tra questa quantità e lo scarto quadratico medio intercorre la stessa relazione che lega 
a 
. Detto esplicitamente, s rappresenta la larghezza di una distribuzione (teorica) di probabilità mentre lo s.q.m. di una distribuzione reale di dati. Per un numero molto grande di dati, la legge dei grandi numeri assicura che lo s.q.m. tende a s.
Il caso trattato finora è quello di una variabile discreta (il numero di risultati "testa" può essere solo un numero intero). Cosa succede se si ha a che fare con una variabile continua? Prima di tutto vediamone un esempio. La lunghezza di un’assicella può essere espressa, a priori, da un
qualsiasi numero reale e quindi è rappresentata da una variabile continua. Supponiamo ora di misurare la lunghezza di un gran numero di assicelle che sono state tagliate a caso tra 20 e 25 cm e di chiederci quante sono lunghe 23 cm. Possiamo cominciare a contare quelle che hanno lunghezza compresa tra 22 e 24 cm: ce ne sarà un certo numero. Tra 22.5 e 23.5 cm ce n'è certamente un numero minore, tra 22.99 e 23.01 potrebbe anche non essercene nessuna. Quello che è certo è che tanto più piccolo è l'intervallo che si considera e tanto meno probabile è trovare un'assicella che vi sia compresa. Se si chiede qual’è la probabilità di trovare un'assicella lunga esattamente 23 cm, questa risulta nulla perché l'intervallo di accettazione è diventato nullo. Tuttavia, la probabilità di trovare delle assicelle in un certo intervallo tra x1e x2è finita ed è descritta dalla distribuzione di densità di probabilità P(x) definita come
Poiché le probabilità sono numeri puri, le densità di probabilità hanno le dimensioni dell’inverso della variabile (nel nostro esempio l’inverso di una lunghezza). Per quanto riguarda i valori di aspettazione e la varianza valgono gli stessi concetti sviluppati per le variabili discrete, tranne che, ovviamente, le sommatorie sono sostituite da integrali:
4.3 La distribuzione binomiale
Qualsiasi processo che si concluda con due soli risultati possibili (il lancio della moneta, vero o falso, accettato o rifiutato, guarito o ...., ecc.) è descritto dalla distribuzione binomiale. In generale, si usa descrivere il risultato con i termini di successo e insuccesso senza che questo pregiudichi quale dei due risultati indichiamo con il successo. La probabilità di successo sia pe la probabilità di insuccesso, di conseguenza, sia 1-p.Ripetendo il processo nvolte (nè il numero di tentativi) si otterranno ssuccessi e n-sfallimenti. La distribuzione di probabilità non è altro che una generalizzazione di quanto abbiamo visto nel caso del lancio di 4 monete (infatti in quel caso si trattava di 4 tentativi, o prove, di un processo con due soli risultati possibili: To C).
Per ricavare la distribuzione binomiale basta generalizzare i due fattori che abbiamo considerato per determinare la distribuzione di probabilità relativa al lancio di 4 monete. Il primo è dovuto alle 2npermutazioni di successo e fallimento. Di queste permutazioni dobbiamo però considerare solo quelle che portano a ssuccessi su nprove, che è il numero di modi diversi in cui si può selezionare s da n, ossia 
.
Il secondo fattore è la probabilità composta, cioè il prodotto delle probabilità individuali, di ottenere successi di probabilità p e n-s insuccessi di probabilità 1-p: ps(1-p)n-s. (La differenza con il caso delle monete è che allora successo e insuccesso, T o C, avevano la stessa probabilità, così che la probabilità composta risultava semplicemente pn con p = 1- p = ½).
La distribuzione binomiale di probabilità, cioè la probabilità di ottenere ssuccessi, ciascuno con probabilità p, su nprove è quindi data da
Normalmente si è interessati a come la probabilità Pvaria con s, per p e n fissati. Tuttavia, siccome tale probabilità dipende sia da p che da n,abbiamo indicato esplicitamente tale dipendenza, separandola da s con un punto e virgola. In altri termini, si considera s come variabile e p ed n come parametri della funzione.
Si dimostra facilmente che il valore di aspettazione della distribuzione binomiale è pari a
e che la sua varianza è uguale a
Per ricavare quest’ultimo risultato è conveniente partire dal calcolo dell’espressione
I primi due termini della sommatoria sono nulli e, raccogliendo il fattore n(n-1)p2, la sommatoria residua si riduce allo sviluppo binomiale [p+(1-p)]n-2 = 1. Quindi 
e ricordando quanto vale 
si arriva facilmente alla formula sopra riportata.
La figura 4.1 mostra alcuni esempi di distribuzioni binomiali. Le curve sono piccate in prossimità di np, come ci si aspetta. All’aumentare di n, il picco, relativamente all’intervallo completo di n, diventa progressivamente più stretto, sebbene abbastanza lentamente. La larghezza relativa del picco dipende inoltre da p e, a parità di n, picchi con p vicina a 0 o 1 sono più stretti di quelli con p prossima a 0.5, in accordo con l’espressione della varianza appena calcolata.
Dal momento che lanciare monetine, curare gli ammalati o fare un controllo di processo (prodotto accettato o rifiutato) ha abbastanza poco a che fare con le scienze esatte, che senso ha studiare la distribuzione binomiale? Ebbene, anche nelle scienze esatte esistono fenomeni che possono essere descritti dalla distribuzione binomiale: per esempio tutti i processi che avvengono oppure no come la rivelazione di una particella. Supponiamo, per esempio, di fare un esperimento in cui si voglia misurare le tracce (cioè le traiettorie) di particelle elementari (per esempio nello studio dei raggi cosmici). Assumiamo ragionevolmente che per misurare una traccia siano necessari almeno tre punti e decidiamo di usare come rivelatori delle camere a scintilla la cui efficienza è stata misurata essere il 90%, cioè la probabilità che una particella sia rivelata nel suo attraversamento della camera è 0.90. Per rivelare una traccia si deve usare un insieme di almeno 3 camere. Quanto efficiente è il vostro sistema? La risposta è semplice: P(3;0.9,3) = 0.93 = 0.729, cioè si ha un'efficienza inferiore al 73%. Volendo aumentare l'efficienza, serve o no aumentare il numero delle camere? La risposta è sì. Infatti con 4 o 5 camere si ottiene rispettivamente
Si può apprezzare l’utilità di simili stime pensando, per esempio, di aver deciso (contrariamente a quanto fatto prima) che una buona misura di una traccia richieda la determinazione di almeno 4 punti. In questo caso il numero minimo di camere è 4 e la loro efficienza complessiva è solo il 66% (il secondo termine della prima stima precedente). Aggiungere una quinta camera porta l'efficienza complessiva al 92% (il risultato della seconda stima precedente meno il primo termine) con un aumento di circa una volta e mezzo!
4.4 La distribuzione di Poisson
La distribuzione binomiale descrive casi dove degli eventi discreti avvengono in un preciso numero di eventi. La distribuzione di Poisson descrive invece processi in cui si hanno ancora risultati particolari, ma senza avere un'idea del numero di tentativi. Si tratta di eventi improvvisi ma che avvengono in un continuo. Per esempio, durante un temporale ci sarà un numero definito di lampi, ma ovviamente non ha alcun senso chiedersi quanto frequentemente non c’è un lampo. Analogamente, un contatore Geiger posto in prossimità di una sorgente radioattiva produrrà precisi segnali quando colpito da particelle, ma non precisi non-segnali.
Supponiamo che in tale esperimento si determina che il numero medio di eventi (conteggi) in un certo intervallo di tempo è un certo numero (per esempio 10 al minuto). Quindi, ci aspettiamo che in media ci saranno 10 conteggi al minuto, sebbene 9 o 11 possono comunque verificarsi. Se però ne osserviamo 15 o 3 al minuto, queste rilevazioni sono comunque compatibili con la statistica o qualcosa è cambiato durante il corso delle misure? Cioè fino a che punto la distribuzione statistica è verosimilmente la causa delle deviazioni dei risultati dal valor medio? La risposta va cercata determinando la probabilità di ottenere un particolar numero di eventi quando è noto il loro numero medio. Questo può esser fatto considerando il limite della distribuzione binomiale (rivelazione sì, rivelazione no) per n,il numero di tentativi, che diviene molto grande ma con una probabilità p che al tempo stesso diviene molto piccola. così che il numero medio (il valore di aspettazione np) rimane costante e finito.
Supponiamo di sapere che il numero medio di eventi in certo intervallo di tempo sia l. Dividiamo l'intervallo in questione in un numero di parti ncosì grande che sia trascurabile la probabilità che in uno di questi sotto-intervalli si verifichino 2 o più eventi. La probabilità che in uno di questi sotto-intervalli si verifichi un evento sarà allora p=l/n. Utilizzando la distribuzione binomiale possiamo allora calcolare la probabilità che nell'intervallo originario si verifichino seventi
In realtà la distribuzione di probabilità che cerchiamo è quella che si ottiene dalla binomiale al limite per nche tende ad infinito mentre l ed s rimangono finiti. Per quanto riguarda il terzo fattore osserviamo che n!/(n-s)!=n(n-1)(n-2)…(n-s+1). Questo è un prodotto di stermini, così che per n che tende ad infinito esso tende a nsche si semplifica con l'analogo termine del primo fattore. D'altra parte, per il secondo fattore, si ha
dove l’ultimo passaggio segue dalla definizione di esponenziale.
In definitiva, la distribuzione di Poisson, ossia la probabilità di ottenere s eventi se il numero medio è l, risulta essere:
che dipende da un solo parametro, il numero medio di eventi in un dato intervallo.
Le principali proprietà della poissoniana sono:
Le prime due sono ovvie, mentre l’ultima è sicuramente la cosa più importante da ricordare. La distribuzione di Poisson è sempre più larga di quella binomiale avente la stessa media. Ciò è comprensibile considerando che in una binomiale, il numero di successi è limitato superiormente (s£n) mentre nella poissoniana tale limite non esiste e quindi può avere una lunga coda.
In figura 4.2 sono riportati alcuni esempi di distribuzioni di Poisson. Quando l<1, il risultato più probabile è 0. Per valori più grandi, si sviluppa un picco che però è leggermente inferiore a l, cioè l rappresenta il valore di aspettazione (media) ma non la moda della distribuzione. Infatti, la formula mostra che per l intero, s=l e s=l-1 hanno la stessa probabilità.
Un’altra utile proprietà della distribuzione di Poisson è che la somma di due processi, aventi distribuzione individuale di Poisson, ha una distribuzione che è ancora di Poisson con valor medio pari alla somma dei rispettivi valori medi. Per esempio, la sorgente radioattiva, di cui abbiamo parlato all’inizio, può essere costituita da due radionuclidi, a e b, ognuno dei quali causerebbe individualmente il conteggio medio rispettivo la e lb. Poiché il contatore Geiger non distingue tra i conteggi dovuti ai due radionuclidi, quando si registrano sconteggi essi sono la somma di sa e di sb conteggi, rispettivamente. Ebbene, si può dimostrare che la distribuzione che descrive queste misure è una poissoniana con l = la + lb.
Infine, la distribuzione di Poisson è un’utile approssimazione della distribuzione binomiale se il numero delle prove n è abbastanza grande e/o la probabilità abbastanza piccola. Il vantaggio di usare la Poisson al posto della binomiale sta nel fatto di non dover calcolare noiosi fattoriali che diventano una bella impresa se il numero delle prove e degli eventi supera la decina! Naturalmente abbastanza grande e piccolo non è una definizione precisa e varia molto con il grado di precisione richiesto per il risultato.
4.5 La distribuzione di Gauss
Anche se il valor medio delle distribuzioni precedenti può essere un numero qualsiasi, gli eventi descritti sono discreti e quindi la variabile che li rappresenta, s,è discreta. Ci sono però eventi che sono descritti da variabili continue: per esempio il risultato della misura di una lunghezza può essere un numero qualsiasi, almeno idealmente, cioè prescindendo dagli errori di misura e dalla sensibilità degli strumenti.
Tra le distribuzioni di probabilità di variabile continua la più famosa e utile è la distribuzione di Gauss. Questa è una curva a forma di campana, centrata e simmetrica rispetto al valore x=m e la cui larghezza è determinata dal parametro s. La sua espressione matematica è
Anche in questo caso, oltre alla variabile continua x che rappresenta l’evento, abbiamo messo in evidenza i parametri da cui dipende la forma della distribuzione. Variare il valor medio mfa traslare la curva lungo l’asse delle ascisse senza variarne la forma. Variare s, invece, allarga o restringe la curva in proporzione, ma senza farla traslare. In questo modo, tutte le curve gaussiane sono tra loro equivalenti, in quanto un cambio di origine e/o un cambio di scala le riduce alla forma standard,
riportata in figura
Figura 4.3 Distribuzione di Gauss unitaria.
Le proprietà principali della distribuzione di Gauss sono:
In altre parole, la gaussiana è normalizzata ad 1, il suo valore di aspettazione coincide col parametro m, che è anche uguale alla media ed alla moda, e la larghezza è proporzionale a s2, che giustifica a posteriori l’uso di questo simbolo da noi impiegato per identificare la deviazione standard di una distribuzione. Spesso, da un punto di vista sperimentale, cioè nello studio di processi governati da una distribuzione gaussiana, è più comodo misurare la larghezza della distribuzione a mezza altezza FWHW (FWHM è l’acronimo dell’inglese Full-Width-at-Half-Maximum). Si mostra facilmente che l’ascissa per cui la gaussiana assume un valore pari a metà del suo massimo è
quindi
Tutti i risultati precedenti si dimostrano a partire dai seguenti integrali notevoli
La probabilità che un evento cada nell’intervallo [x1,x2] è data dall’integrale 
. Sfortunatamente, questo tipo di integrale non può essere risolto analiticamente ed è necessario ricorrere al calcolo numerico o all’uso di tabelle che si trovano in ogni buon manuale di tabelle matematiche. In ogni caso, è bene ricordare che la probabilità che un evento cada entro l’intorno del valor medio pari a :
Per quanto la probabilità di un evento diventi nulla solo a distanza infinita dal valor medio, essa si riduce a valori che possono essere trascurabili già a poche volte s. Per questo motivo viene di solito assunto che per una distribuzione gaussiana il massimo valore dello scarto sia 3s. Infatti la probabilità di uno scarto superiore a questo valore è solo 0.3% ed in teoria è possibile avere almeno un evento di questo tipo solo se il numero di prove è superiore ad alcune centinaia, cosa che raramente avviene nelle situazioni reali.
Dalla figura 4.2 si può notare che per lgrande, la distribuzione di Poisson ha una forma approssimativamente gaussiana. In tal caso, una conveniente approssimazione della poissoniana è la gaussiana con m=l e 
. Di fatto, usando l’approssimazione di Stirling per il logaritmo di s!,si può dimostrare che la poissoniana tende alla gaussiana per grandi valori di l. Quanto grandi dipende ovviamente dalla precisione richiesta, ma possiamo dire che al di sopra di 10 l’approssimazione è ragionevole. Poiché la distribuzione binomiale approssima la poissoniana per ngrande, anch’essa approssima una gaussiana con m = npe 
. Il valore di nnecessario dipende da p: per p=0.5 questo avviene prima, mentre per valori grandi o piccoli di p si richiedono valori di nmaggiori.
4.6 La distribuzione uniforme
Concludiamo questo capitolo menzionando la distribuzione di probabilità per variabili continue più semplice, ossia quella uniforme. Descrive una probabilità costante in un certo intervallo e zero all’infuori di esso. Poiché la probabilità totale espressa dall’integrale della distribuzione, cioè l’area racchiusa dalla curva, deve essere unitaria, l’altezza della distribuzione deve essere P(x)=1/(b-a), se a e b indicano i limiti dell’intervallo dove la probabilità è uniforme. Pertanto, la distribuzione uniforme può essere descritta dalle formule:
Proprietà di questa distribuzione sono: 
.
Riassumendo quando detto finora, le distribuzioni statistiche danno origine alla variabilità dei risultati osservati. Il valore di aspettazione di una qualsiasi funzione del risultato può essere calcolato se è nota la distribuzione. D’altra parte, si è visto che se si usa un numero finito di prove, il risultato può differire dal valore di aspettazione perché solo per N che tende ad infinito le frequenze approssimano le probabilità. Il problema dell’applicazione della teoria statistica alla teoria della misura e degli errori di misura è proprio questo. In generale, non si conosce la distribuzione (sia il tipodi distribuzione che i parametri che la caratterizzano) ma si vogliono dare delle ragionevoli stime dei valori di aspettazione a partire da un numero finito di dati. Il capitolo che segue tratta proprio delle tecniche per stimare i parametri che caratterizzano la distribuzione gaussiana.
Fare degli esperimenti significa eseguire delle misure, che vengono quindi analizzate per produrre dei risultati scientifici. Tali misure, che siano fatte da voi o dal sottoscritto o da un premio Nobel, non sono mai perfettamente esatte, ma sono affette da errori o imprecisioni. In questo capitolo, affronteremo come si possono maneggiare e stimare gli errori di tipo casuale e come gli errori sulle misure si combinano e si propagano agli errori sui risultati.
5.1 Perché gli errori casuali sono gaussiani?
Abbiamo già visto che gli errori di tipo casuale sono dovuti a tantissime cause diverse, il cui controllo, molto spesso, è difficile da realizzare. Ora, in statistica esiste un potente risultato che riguarda il comportamento di una variabile somma di moltissime altre, il cosiddetto
Teorema del Limite Centrale:
Se X è la somma di N variabili indipendenti xi, dove i=1,2…N, ognuna derivante
da una distribuzione di media mi e di dispersione si, allora la distribuzione di X
;
;
Quest’ultima proprietà, in particolare, è il motivo per cui la gaussiana è così importante. Una qualsiasi grandezza prodotta dall’effetto cumulativo di molte variabili indipendenti sarà, almeno in prima approssimazione, di tipo gaussiano, indipendentemente dalle distribuzioni descriventi le variabili di partenza. Gli errori casuali sono pertanto variabili gaussiane, così come molte altre quantità. Per esempio, anche l’altezza degli uomini o la lunghezza dei piedi, sono descritte da una distribuzione gaussiana, perché dovuti agli effetti combinati di moltissimi fattori genetici ed ambientali. Viceversa, il peso degli essere umani non è gaussiano ma ha una skew positiva, poiché una singola variabile, quanto uno mangia, domina su tutte le altre.
Osserviamo che moltissime distribuzioni sono indistinguibili da una gaussiana entro distanze di uno o due s dal loro picco, ma deviano sensibilmente in regioni più lontane. Questo zone sono chiamate code o ali, e la loro precisa analisi richiede tecniche molto sofisticate.
La prova dei primi due punti del TLC è molto semplice. Il primo punto è legato alle proprietà di linearità del valore di aspettazione:
Per quanto riguarda la dispersione della variabile somma, è opportuno partire da
Gli elementi dell’ultima somma sono le covarianze tra coppie di variabili diverse, ma per ipotesi queste sono tra loro indipendenti, quindi ciascun termine è nullo. Ne consegue che
La dimostrazione del terzo e più importante punto del TLC è abbastanza complicata e verrà tralasciata. Ci limiteremo a giustificarlo per via grafica, rifacendoci ai diagrammi di figura 5.1.
In figura 5.1A è riportato l’istogramma, con intervalli di 0.05, dei risultati dell’estrazione casuale di 1000 numeri compresi tra 0 e 1 con probabilità uniforme. Come ci si poteva aspettare, l’istogramma definisce una distribuzione circa piatta di altezza pari al valor medio di 50 dato dal rapporto tra 1000, i numeri estratti, e20, gli intervalli, cioè 1/0.05. Il valor medio è circa pari al valore di aspettazione 0.5. Le oscillazioni di altezza tra le varie caselle sono legate alle fluttuazioni statistiche dovute al numero finito di numeri estratti.
Le figure 5.1B, C, D sono l’analoga rappresentazione della somma di 2, 3 e 12 numeri estratti nello stesso modo. Potete vedere che la distribuzione si modifica mostrando un picco ben definito attorno al valore di aspettazione m = m1 + m2 +…= 0.5n, dove nè il numero dei numeri che vengono sommati (n = 2, 3, 12 e m = 1, 1.5, 6). Inoltre la distribuzione che è approssimativamente piatta (rettangolare) per n= 1, diviene triangolare per n= 2 e assomiglia ad una gaussiana per n = 12. Di fatto, se consideriamo la varianza, per la singola distribuzione essa vale 1/12, usando i risultati validi per una distribuzione uniforme, e, in base al TLC, per la somma di 12 numeri essa vale 12x1/12=1. La linea continua in figura 5.1D è proprio il calcolo della distribuzione di Gauss con m = 6 e s = 1. Si può notare che la somma di 12 variabili con distribuzione uniforme (cioè estremamente diversa dalla distribuzione gaussiana) è ottimamente rappresentata da una gaussiana con parametri determinati in base al TLC!
5.2 Lavorare con gli errori casuali
Abbiamo visto che tutte le misure sono affette da errori. Nel caso di errori di tipo casuale, il modo più semplice per controllarne e ridurne gli effetti consiste nel ripetere la stessa misura un numero di volte il più elevato possibile. In tal caso, possiamo applicare il TLC in modo semplice in quanto tutti i mi avranno lo stesso valore, indicato con m, e tutte le dispersioni si saranno uguali a s. La prima proprietà del TLC implica che 
, ed in termini di media 
si ricava il risultato 
. Se consideriamo la dispersione della media, avremo
Assumendo che tutte le misure siano tra loro indipendenti, il secondo punto del TLC comporta 
. Ne deriva che
Cerchiamo di chiarire quanto abbiamo appena dimostrato. Innanzi tutto, cosa significa 
, ossia il valore di aspettazione di una media? Prese N misure, x1, x2,…, xN, si può calcolarne la media aritmetica. Il risultato è ovviamente 
. Questo risultato è ovviamente soggetto a delle fluttuazioni statistiche, ma il suo valore, in media, sarà pari a m, qualche volta di più, qualche volta di meno, ma in media sarà m, ossia 
. La differenza tra il valore misurato 
e quello teorico m è descritta da una qualche distribuzione che ha dispersione 
.
Quindi, la deviazione standard della media diminuisce come 
. Questo è il fondamento della regola statistica che mediare fa bene! Se si possono prendere N misure indipendenti di una stessa grandezza, allora la loro media ha il valore di aspettazione che è esattamente la quantità cercata (il valor vero) e la dispersione o errore di questa media è più piccola di un fattore 
rispetto all’errore su una singola misura. In altre parole, la probabilità che il valor medio differisca dal valore di aspettazione di una certa quantità è più piccola dell’analoga probabilità per la singola misura.
La quantità 
è chiamata la deviazione standard della media. In pratica, dato un campione di dati, la loro dispersione si può stimare mediante la formula dello s.q.m., così la dispersione della media si esprimerà con il cosiddetto scarto quadratico medio della media, 
. Osserviamo che a causa di questa dipendenza con la radice quadrata del numero di misure, per migliorare la precisione di un fattore due è necessario fare quattro volte più misure. Concludiamo questa sezione osservando che queste osservazioni valgono per qualsiasi distribuzione e non solo per quella gaussiana. Infatti, per la loro dimostrazione abbiamo sfruttato solo i primi due punti del TLC.
5.3 La propagazione degli errori
La maggior parte di quanto è stato detto finora si applica alle misure dirette. Tuttavia il caso di misura più frequente è quello in cui la grandezza di interesse viene misurata indirettamente attraverso la dipendenza funzionale (nota) che la lega ad altre grandezze che vengono misurate in senso proprio.
Per iniziare consideriamo il caso più semplice in cui la grandezza di interesse è una funzione di una sola variabile, f=f(x). Anzi, per semplificare la dimostrazione della formula di propagazione degli errori, supponiamo che f=ax+b, dove a e b sono due costanti ed x è una variabile statistica descritta da qualche distribuzione con varianza Var(x) o, che equivale, dispersione sx.
Si dimostra facilmente che la varianza di f è uguale a
ossia, in termini di deviazione standard, 
.
Consideriamo ora il caso più utile in cui f è una qualche funzione generica di x. Per piccole differenze, possiamo espandere f in serie di Taylor intorno ad un qualche valore x0:
Usando il risultato appena dimostrato, otteniamo
L’approssimazione è valida per piccoli errori, e piccolo in questo caso significa che la derivata prima non cambia molto in un intorno di pochi s. Inoltre, la derivata deve essere calcolata in corrispondenza del valore vero di x. In pratica, la formula di propagazione dell’errore per una funzione di una sola variabile può essere scritta come
dove col simbolo S abbiamo indicato lo scarto quadratico medio.
Supponiamo ora che f sia funzione di due variabili, x e y. Come nel caso precedente, è conveniente partire dall’espressione lineare f=ax+by+g, dove a, b e g sono tre costanti. Espandendo come prima, si trova
cioè
Applicando questo risultato al caso generale di una funzione f(x,y), sviluppata in serie di Taylor al primo ordine, si ottiene, nell’ipotesi di piccoli errori:
dove le derivate parziali sono calcolate in corrispondenza dei valori veri di x e y. Analogamente a quanto visto prima, la formula precedente si applica in pratica sostituendo alle deviazioni standard i rispettivi s.q.m. e ai valori veri le medie corrispondenti.
Se, come spesso succede, le due variabili x ed y sono tra loro indipendenti, i termini misti nella formula di propagazione scompaiono e gli errori su x ed y, moltiplicati da opportuni fattori di scala, si sommano in quadratura. L’estensione a più di due variabili è ovvia, se le variabili sono tra loro indipendenti. Nel caso di una funzione di x, y e z, la formula che si impiega in laboratorio è
Da quanto abbiamo appena visto, possiamo concludere che nelle misure indirette ogni grandezza fisica (variabile misurata direttamente) contribuisce all’errore finale con un contributo d’errore pari alla derivata parziale (rispetto alla data variabile) moltiplicata per la rispettiva deviazione standard o per il rispettivo errore. E’ opportuno notare che se un contributo è molto maggiore di tutti gli altri, l’errore totale non è molto diverso da questo contributo e si potrebbero trascurare quindi i contributi minori. Da un altro punto di vista, questo significa che non guadagnereste molto a sputar sangue per migliorare la misura di una grandezza affetta da piccolo errore: concentrate piuttosto i vostri sforzi sulla grandezza affetta dall’errore maggiore.
Applichiamo ora la formula di propagazione dell’errore a quella particolare classe di funzioni costituita dai prodotti di potenze delle variabili indipendenti, cioè da funzioni del tipo
Calcolando le derivate parziali e raggruppando a fattor comune, si arriva facilmente a
relazione semplice che permette di ricavare l’errore relativo di f dagli errori relativi commessi nella misura delle variabili indipendenti. Ad esempio, se la tensione ai capi di un resistore è nota entro il 3% e la corrente che lo attraversa entro il 4%, la resistenza ricavata applicando la legge di Ohm avrà un errore percentuale del 5%.
L’errore relativo è molto importante anche perché permette di valutare immediatamente la qualità della misura. Infatti non è possibile dire se un errore assoluto è grande o piccolo se non confrontandolo con la grandezza misurata: non è la stessa cosa commettere l’errore di 1 mm nella misura della lunghezza del lato di un francobollo o nella misura dell’altezza dell’Everest o nella distanza terra-luna! In generale, è abbastanza facile commettere misure con errori relativi di qualche percento. Si fanno anche misure con errori relativi molti ordini di grandezza più piccoli, ma in generale ciò richiede un’elevata sofisticazione nei metodi e negli strumenti di misura e, soprattutto, una grande abilità sperimentale nel controllo complessivo dell’esperimento.
Supponiamo ora di avere non una ma m funzioni, f1, f2,…, fm, delle n variabili x(1), x(2),…, x(n) (le parentesi attorno ai pedici sono state messe per distinguere gli n elementi di una singola misura, dalle N misure che compongono il campione di dati). La covarianza tra due di queste variabili che appartengono a una data distribuzione statistica si può calcolare estendendo la formula introdotta nel paragrafo 3.2 ai valori di aspettazione. Ossia, per due variabili statistiche la loro correlazione è
dove, per semplicità, abbiamo scritto 
. Questi termini si possono pensare come gli elementi della matrice di covarianza, nota anche come matrice degli errori, V, dove
i cui elementi diagonali sono le varianze delle singole variabili 
.
Come visto in precedenza, gli errori sulle variabili indipendenti si propagheranno alle funzioni. Infatti, la varianza di una funziona generica, 
, si può calcolare espandendo la fi
in serie di Taylor fermandosi, come al solito, ai termini del primo ordine:
ed inserendo questa espressione nella formula della varianza come già fatto nel calcolo della propagazione in funzioni di una o più variabili. Il risultato è
ossia
che rappresenta la generalizzazione della formula di propagazione degli errori precedentemente incontrata. In modo analogo, si può determinare la covarianza tra due funzioni:
che può essere sinteticamente riscritta come
che include la formula della varianza appena calcolata come caso particolare quando k=l, Cov(fk,fk)=Var(fk).
Usando la notazione matriciale, la formula precedente può essere notevolmente semplificata. Se
e Vx e Vf sono le matrici d’errore per x e f, rispettivamente, allora la formula della covarianza tra due funzioni può scriversi come
una formula molto compatta che contiene tutto quello che si deve conoscere riguardo alla propagazione dell’errore. Vx e Vf sono matrici simmetriche e quadrate, di dimensioni n´n e m´m, mentre G è rettangolare, di dimensione m´n.
5.4 Lavorare con gli errori sistematici
In contrasto agli errori casuali, non ha alcun senso ripetere delle misure e farne la media per ridurre l’effetto degli errori sistematici. Ripetere delle misure affette da errori sistematici significa riprodurre lo stesso effetto. Ne deriva che le misure non sono indipendenti e quindi il TLC non si può applicare.
Tuttavia, una volta che gli errori sistematici sono stati trovati e stimati, il loro effetto è facile da calcolare. Innanzi tutto, osserviamo che per derivare le formule di propagazione dell’errore non abbiamo fatto alcuna distinzione tra errori casuali e sistematici, perciò esse si applicano agli uni o agli altri o alle loro combinazioni indifferentemente: la differenza nel modo di propagarli essendo basata solo sulla correlazione.
Supponiamo per esempio che le misure di due grandezze x1 ed x2 abbiano un errore sistematico comune e costante, eS, ed errori casuali tra loro indipendenti (non correlati) s1 ed s2. Si può trattare questo caso considerando che ogni misura sia la somma di due termini, x1,c affetto dall’errore casuale s1, e x1,s con errore sistematico, eS. Stessa separazione vale anche per la misura x2. Per come sono state definite, x1,c e x2,c sono tra loro indipendenti come con x1,s e x2,s, mentre x1,s e x2,s sono perfettamente correlate. La varianza di x1 è quindi pari a
ossia, svolgendo i quadrati
Per definizione, il primo termine è uguale a s12. Analogamente, il secondo è eS2, mentre l’ultimo termine, proporzionale alla covarianza, è nullo perché x1,c e x2,s sono tra loro indipendenti. Si arriva così a
Il risultato importante così ottenuto è che la varianza di una misura affetta da errori casuali e sistematici è la somma della varianza dovuta agli errori casuali e del quadrato dell’errore sistematico. Cioè, ai fini del calcolo dell’errore totale, si può considerare l’errore sistematico come se fosse una deviazione standard corrispondente alla parte sistematica dell’errore e combinarla quadraticamente, data l’indipendenza degli errori sistematici e casuali, con la deviazione standard corrispondente aglierrori casuali.
Da un analogo trattamento si ricava che
e che la covarianza
Tre di questi quattro prodotti misti coinvolgono le xc e quindi si annullano, giacché le xc sono indipendenti da tutte le altre grandezze. Il quarto termine coinvolge x1,s e x2,s, che sono perfettamente correlate, e quindi
La matrice degli errori risulta quindi essere:
Per concludere questa parte, ricordiamo ancora una volta che gli errori sistematici sono per definizione indipendenti da quelli casualie in molti casi possono essere indipendenti anche tra loro. Se questa è la situazione, gli errori sistematici vanno combinati tra loro e con gli errori casuali con la semplice propagazione quadratica. Se invece esiste correlazione essi devono essere trattati con la regola standard della matrice degli errori che consente poi di calcolare tutto quello che interessa.
Le cose in pratica sono più complicate di quanto non possa apparire. Infatti, gli errori sistematici possono essere determinati (di valore noto) o indeterminati. Nel primo caso, abbiamo già affermato che si devono apportare le opportune correzioni e tale procedura introduce generalmente errori che devono essere considerati insieme agli altri errori. E fin qui le cose sono abbastanza facili. In generale, però, l’entità dell’errore sistematico non è nota e quindi non solo non si può apportare la correzione, ma non può neanche calcolare la matrice degli errori. Qui deve intervenire l’analisi accurata dell’esperimento, degli strumenti e delle procedure da cui derivare stime intelligenti della “deviazione” eS. Inoltre, così come non potete mettere in evidenza gli errori sistematici con la ripetizione delle misure, altrettanto è impossibile misurarne la correlazione attraverso la somma dei prodotti degli scarti. L’analisi accurata dell’esperimento, degli strumenti e delle procedure deve quindi servire non solo ad individuare e stimare l’entità degli errori sistematici, ma anche a determinare la correlazione eventuale tra vari errori sistematici e tra misure che condividono lo stesso errore sistematico.
Esistono moltissimi metodi di analisi e trattamento dei dati specializzati secondo gli obiettivi e delle applicazioni. Non considereremo qui la generalità di questi metodi perché questo è compito di corsi di livello superiore. Ci occuperemo invece di due metodi semplici e di uso frequente anche nella pratica di laboratori didattici non altamente sofisticati o specializzati. Si tratta della media pesata e del metodo dei minimi quadrati.
6.1 La media pesata.
Spesso succede di avere determinazioni di una stessa quantità fatte in condizioni diverse e di cui si conosce a priori che sono affette da errori di entità diversa. Si possono prendere in considerazione solo le misure più precise, ma in questo modo si getterebbero via dei dati che sono stati comunque misurati. D’altra parte, non si può farne una media semplice perché si attribuirebbe ugual valore a misure di precisione diversa. L’alternativa è mediare le diverse determinazioni attribuendo ad ognuna un peso diverso: tanto maggiore quanto minore è il relativo errore.
Supponiamo che le varie misure {xi} appartengano a distribuzioni di varianza si2. Ogni misura può essere pensata come la media di nimisure con varianza s2 maggiore di tutte le varianze si2 e con ni= s2/si2.Infatti, la varianza della media è proprio la varianza di una misura divisa per il numero delle misure. In queste ipotesi la media di tutte le (ipotetiche) misure è data da
Appare che questa media ha la struttura di una media pesata, cioè ogni termine della sommatoria è pesato con un peso inversamente proporzionale alla varianza (cioè misure più precise pesano maggiormente). Questo è il motivo del pedice psul simbolo di valor medio. Per quanto riguarda la deviazione standard della media pesata, essa si può calcolare con la formula di propagazione dell’errore, tenendo conto che le varie misure sono tra loro indipendenti come appare dal fatto che appartengono a distribuzioni diverse. Si ottiene allora
Nella pratica, il primo problema sta nel fatto che spesso non si sa se le varie determinazioni hanno distribuzione normale. Fin qui poco male perché il TLC ci assicura che nella maggior parte dei casi quest’assunzione non sarà troppo lontana dal vero. Il secondo problema è il peso da attribuire alle diverse misure e che dovrebbe essere l’inverso della rispettiva varianza. Di nuovo, in molti casi, non si conosce la varianza delle misure ma solo qualcosa che è proporzionale alla varianza senza però saperne la costante di proporzionalità. Per il calcolo del valor medio pesato questo non costituisce un problema se tutte le determinazioni di errore (e quindi i pesi) sono tra loro consistenti. Infatti in questo caso avremo le stime di errore ei=Ksi, con Kuguale per tutte le determinazioni. Sostituendo eial posto di si nella formula della media pesata si ricava immediatamente che il valor medio non cambia. In definitiva calcolare la media pesata con pesi proporzionali alle deviazioni standard porta allo stesso risultato indipendentemente dalla costante di proporzionalità.
Ciò non vale per l’errore della media pesata. Infatti, sostituendo gli ei al posto di sinella formula dell’errore, si vede subito che il risultato non è la deviazione standard ma 
. Da qui per arrivare alla deviazione standard è necessario conoscere o stimare Kcon tutti i vari problemi già visti. Per esempio, se si determina il valore di una resistenza elettrica dal rapporto tra la caduta di tensione Vai suoi capi e la corrente i che la attraversa, utilizzando strumenti a bobina mobile, è noto che le misure sono affette da errore relativo tanto minore quanto più le misure sono vicine al fondo scala. L’errore degli strumenti a bobina mobile è dato come errore di classe ed è un errore massimo senza che nulla si sappia della sua distribuzione. Per quanto detto in precedenza si potrebbe tranquillamente calcolare la media pesata di misure fatte a diversi valori della corrente pesandole ognuna con il proprio errore ottenuto propagando l’errore di classe. L’errore calcolato dalla formula risulterà essere la deviazione standard moltiplicata per un fattore sconosciuto e quindi non potrà essere correlato ad una probabilità, anche se si può ragionevolmente supporre che la distribuzione della media pesata si avvicini ad una gaussiana. Infatti essa è una combinazione lineare di molte variabili ed è possibile applicare i risultati del TLC.
Osserviamo infine che la deviazione standard della media pesata ha lo stesso significato dello s.q.m.m. per la media semplice. Infatti, se si suppone che le misure appartengano tutte ad una stessa distribuzione di varianza s2, dalla formula dell’errore della media pesata si ottiene
che è proprio la deviazione standard della media.
Se il numero delle misure di cui si fa la media pesata non è molto grande, la valutazione dell’errore data dalla formula apposita può essere troppo ottimistica e ciò tanto più quanto più i pesi sono diversi. L’operazione di media pesata infatti equivale quasi a scartare le misure di errore più elevato (un fattore 3 sull’errore comporta un peso che è circa 0.1!) riducendo di fatto il numero delle misure significative.
6.2 Il metodo dei minimi quadrati.
Il metodo dei minimi quadrati è un metodo per determinare dei parametri sconosciuti a partire da un set di misure di altre grandezze di cui si conosce o sospetta una relazione funzionale. E’ un metodo molto potente e che nella sua formulazione più generale (n variabili e mparametri) richiede generalmente l’uso di programmi di calcolo sofisticati. Tuttavia l’essenza del metodo può essere compresa e apprezzata anche limitandosi, come faremo noi, alle analisi di correlazione lineare.
La base del metodo sta nell’assunzione che i migliori parametri che potete stimare sono quelli che minimizzano la somma dei quadrati degli scarti dai valori previsti dalla relazione funzionale. In realtà si può dimostrare che questo principio corrisponde ad un metodo di stima usato in statistica e che prende il nome di principio della massima verosimiglianza.
Come giustificazione della validità di questa procedura, mostreremo che l’espressione della media aritmetica può essere derivata dal metodo dei minimi quadrati assumendo che la miglior stima (il parametro incognito x*) della grandezza x che è stata misurata Nvolte sia quel valore che minimizza la somma dei quadrati degli scarti delle misure rispetto a questo parametro. Per trovare x* scriviamo allora la somma dei quadrati degli scarti per un generico valore, x, del parametro incognito, la deriviamo rispetto a x e poniamo uguale a zero la derivata
ottenendo un’equazione nel parametro incognito che ci permetterà di determinarne il valore:
Potreste obiettare che senza un’analisi della derivata seconda non è possibile stabilire se ad x* corrisponde un minimo o un massimo. In questo caso, la derivata seconda è facile da calcolare e corrisponde al doppio del numero di misure, quindi è positiva, ed effettivamente x* corrisponde ad un minimo. In altri casi, il calcolo della derivata seconda può essere molto complicato, ma se ragionate vi accorgerete che normalmente non sarà necessario eseguire il calcolo. Idealmente, la somma dei quadrati degli scarti può avere un minimo nullo: tutte le misure corrispondono esattamente ai valori previsti. D’altra parte, gli errori di misura causano degli scarti e qualsiasi deviazione del parametro dalla sua miglior stima causa un veloce aumento della somma proprio a causa della quadratura degli scarti. In altre parole, se vi fosse un massimo, ciò contraddirebbe uno dei postulati di Murphy: al peggio non c’è limite!
Vogliamo ora introdurre una formulazione un poco più generale, anche se per il momento limitata a due variabili (x e y) ed ad un solo parametro, a. Supponiamo di avere un set di valori della variabile x, {xi}, che sono noti senza errore. In corrispondenza si abbia un set di valori {yi} misurati ognuno con la precisione si.Infine, la funzione y=f(x;a), cheassocia ad ogni valore di x un valore di y, ha forma nota ma non è noto il parametro a, che si deve quindi determinare. Se, come supposto in questo caso, le misure hanno precisioni diverse, appare logico che nell’eseguire la somma bisognerà rapportare ogni scarto al rispettivo errore. La somma che si dovrà minimizzare ha quindi un’espressione del tipo
Per determinare il parametro incognito basta quindi derivarla rispetto ad a e uguagliarne a zero la derivata ottenendo l’equazione:
la cui soluzione, chiamiamola 
, fornisce la miglior stima di a, ma non coinciderà esattamente con il valor vero. Qual è allora l’errore di 
? La risposta è semplice: l’equazione precedente fornisce il valore di 
che risulta funzione delle misure yi il cui errore è noto. Basta quindi applicare la formula di propagazione dell’errore che fornirà l’errore su 
in funzione degli errori si.
Cerchiamo di comprendere meglio l’essenza del metodo dei minimi quadrati ma anche i problemi che sono connessi. Supponiamo ora che le due grandezze misurabili x e y siano legate tra loro teoricamente da una formula, y = f(x; ai),che contiene un certo numero, m,di parametri aiche si vogliono determinare perché esprimono grandezze fisiche interessanti. Un modo di procedere è di misurare mcoppie di valori (xi, yi), introdurle nella relazione funzionale y = f (x; ai) nota, ricavarne mequazioni nelle mincognite ai e risolvere il sistema. Il primo problema è che, essendo le coppie (xi, yi)affette da errore, non è detto che il sistema abbia soluzioni reali o comunque di senso fisico. Il secondo problema è che, ammesso che il sistema abbia soluzione, la sua precisione è limitata dagli errori sperimentali e non si può aumentarla aumentando il numero delle misure perché il numero di equazioni (e quindi il numero di coppie di dati) deve essere m,né di più né di meno, altrimenti il sistema non ammette soluzioni. Così, se sono state fatte N>mmisure, bisogna scartarne una parte oppure si può ripetere più volte la risoluzione del sistema di equazioni usando diversi set di mmisure estratte dalle Nche avete eseguito. Sempre a causa degli errori sperimentali, ogni diverso gruppo di misure darà una soluzione diversa per i parametri ai (inoltre, se alcune misure sono state usate due o più volte, le diverse soluzioni non sono tra loro indipendenti). Pertanto, qual è il metodo più efficace per usare al meglio le Nmisure?
La risposta è quella di utilizzare il principio statistico dei minimi quadrati. Come abbiamo già ricordato, anche se apparentemente semplice in teoria, questo metodo può essere molto complicato se i parametri aisono molti e se la funzione f non è semplice, così che per ogni caso ci può essere un metodo particolare per risolverlo. Cerchiamo di rendere più evidente il problema. Se i punti sperimentali non fossero affetti da errore, ogni punto (xi, yi) giacerebbe esattamente sulla curva descritta dalla funzione y = f (x; ai). Al contrario, poiché le misure sono affette dagli errori sx e sy, il punto bisogna immaginare “espanso”ad un’ellisse in cui il rapporto degli assi è uguale a sx /sy. I centri delle ellissi non cadranno esattamente sulla curva e la curva che meglio li interpola sarà quella che li distribuirà ugualmente sopra e sotto. Fate attenzione che questa dizione non è determinata e che si possono usare metodi e significati diversi per soddisfarla! Per esempio il fatto di quadrare gli scarti significa ammettere un’importanza maggiore nell’eliminazione dei grandi scarti. Inoltre, gli errori sui punti possono essere una funzione del valore delle misure, cioè le dimensioni delle ellissi possono variare con il punto (xi, yi). Di questo però si può tener conto pesando opportunamente le misure.
Il problema principale è un altro: il principio dei minimi quadrati equivale a stabilire che la curva che meglio interpola i dati è quella che minimizza la somma dei quadrati delle distanze dei punti dalla retta. Tuttavia il termine “distanza” in questo caso non dovrebbe essere inteso nel senso geometrico, ma nel senso di distanza lungo una direzione la cui orientazione dipende dal rapporto sx /sy. Seguire quest’impostazione, rigorosamente corretta, è di un’enorme complicazione matematica (e tra l’altro non sempre ha soluzione univoca) così che generalmente si ricorre a una procedura più semplice. Non si tratta solo di una soluzione di “comodo”:la differenza dei risultati raramente giustifica la fatica della procedura rigorosa.
La procedura semplificata consiste nel considerare che una delle due grandezze, per esempio x, sia misurata in modo più preciso di y, così da poter assumere che sia priva di errore. Allora la direzione lungo la quale misurare la distanza del punto sperimentale dalla curva interpolante è ovviamente la verticale lungo la retta x = xi. Vedremo più avanti quali sono i metodi per verificare se quest’approssimazione può essere valida.
6.3 L’interpolazione lineare.
Come esempio del funzionamento del metodo dei minimi quadrati, considereremo il problema dell’interpolazione lineare. Prima, però, inizieremo assumendo una semplice relazione di proporzionalità tra le due variabili misurate, ossia f=mx, dove m è il parametro il cui valore deve essere determinato dal metodo dei minimi quadrati. Supponiamo inoltre che gli errori sulle yi siano tutti uguali, siºsy. Seguendo la procedura delineata nel paragrafo precedente, otteniamo
Derivandola rispetto a m, si trova che il minimo si raggiunge per 
.
Per determinarne l’imprecisione, basta applicare la formula di propagazione dell’errore assumendo le yi come variabili indipendenti, ottenendo
Consideriamo ora il caso più generale in cui la funzione interpolante è del tipo f=a+bx, con a e b parametri da determinare. Assumendo, come prima, che gli errori sulle yi siano tutti uguali, siºsy, la funzione che bisogna minimizzare è
Il minimo della funzione si ricava risolvendo le due seguenti equazioni
ossia, risolvendo e semplificando, si trova
Per quanto riguarda l’errore sulla stima dei parametri a e b, basta applicare la formula di propagazione dell’errore alle precedenti espressioni considerate come funzioni delle misure yi, affette dall’errore sy, e tra loro indipendenti:
dove le derivate parziali hanno valore
Gli errori sui due parametri a e b che minimizzano la funzione c2 sono quindi
Tuttavia rimane ancora la stima di sy che generalmente né è stata determinata misurando più volte la grandezza y nelle stesse identiche condizioni, cioè a parità di x, né è nota. La deviazione standard delle misure y però può essere calcolata a partire dai dati sperimentali attraverso la cosiddetta formula di Fisher:
dove il denominatore, N–2, tiene conto che, delle N misure, solo N–2 sono realmente indipendenti perché esse sono legate dai due parametri a e b.Sostituendo ad a e b le relative espressioni, si ottiene:
che è una formula complicata da calcolare. Molti programmi forniscono però il coefficiente di correlazione, r, tra le variabili x e y (non tra i loro errori!). Con opportune manipolazioni delle formule si trova che, in funzione di r,si può scrivere:
e questa è una formula più semplice da calcolare.
La sy così calcolata costituisce un’importante stima a posteriori (sperimentale) degli errori sulla ye poiché tale dovrebbe sempre essere riportata esplicitamente in una relazione. Infatti essa fornisce l’errore casuale sulle y. In realtà questo valore è aumentato dell’eventuale contributo dell’errore casuale su x che nella procedura semplificata è stato totalmente trascurato (assunto uguale a zero). Se il valore xi differisce dal valore vero di dxi, questo fatto causa uno scostamento del punto sperimentale dalla retta interpolante che viene interpretato, da questa procedura di interpolazione, come un errore sull’ordinata pari a 
dxi.Se gli errori sulle x e sulle y sono indipendenti (il che succede molto frequentemente), possiamo concludere che l’errore dato dalla formula di Fisher sarà la combinazione quadratica di questo contributo di errore e dell’errore vero e proprio di y:
dove 
è la deviazione standard propria della grandezza y.
Date le ipotesi di partenza per la procedura semplificata che abbiamo considerato, è ovvio che nel compiere la regressione lineare sia buona norma considerare come variabile x la grandezza affetta da errore minore. Tuttavia per fare un test della validità della procedura di analisi (che si basa su ipotesi scarsamente realistiche) potete invertire la relazione tra x e y e calcolare una nuova regressione determinando i nuovi parametri con i relativi errori. Posto Y = xe X=y,si ha:
Nel fare il confronto dei risultati bisogna ovviamente tenere conto che la nuova intercetta è l’opposto della prima divisa per la prima pendenza, mentre la nuova pendenza è l’inverso della prima. Una volta riportati i nuovi parametri a quelli della prima determinazione (o viceversa), probabilmente essi non coincideranno anche se la loro differenza dovrebbe essere inferiore all’errore. Se questo controllo è stato fatto e il risultato è positivo, si può prendere il valor medio delle due determinazioni come il valore più probabile. Se invece i risultati delle due interpolazioni differiscono al di là dell’errore bisogna controllare di non aver fatto degli sbagli ed eventualmente sospettare fortemente della validità dei risultati.
6.4 Calcolo degli errori con fit lineari.
Molte volte la regressione lineare viene fatta per determinare l’ordinata y0 corrispondente ad una certa ascissa x0 di interesse e che non si può facilmente misurare per un qualche motivo, ossia 
. Naturalmente, bisogna anche stimare l’errore su y0. Questo può essere trovato dalla formula di propagazione dell’errore, noti gli errori sui due parametri a e b, ossia
Abbiamo esplicitato anche il termine misto perché i due parametri 
e
sono stati determinati a partire dalle stesse misure yi . Di conseguenza, anche se le misure yi sono tra loro indipendenti, 
e 
risulteranno correlati. Infatti, utilizzando la formula generale, si ha:
Poiché le variabili yi sono tra loro indipendenti, risulta anche 
, dove 
è il simbolo di Kroneker. Inoltre, esplicitando le derivate parziali utilizzando le loro forme compatte si ottiene:
Infine, utilizzando le deviazioni standard di 
e di 
già calcolate,
Nella maggior parte dei casi si ha un valore medio delle x positivo, così che la correlazione tra 
e 
sarà negativa: cioè un errore che porta ad aumentare 
induce una diminuzione di 
e viceversa.
L’errore sulla grandezza y0, tenendo conto del termine di correlazione ed eseguendo i calcoli è:
Derivando questa formula rispetto a x0 si trova che la derivata prima si annulla per 
, mentre la derivata seconda è sempre positiva. Di conseguenza, per 
la corrispondente ordinata ha l’errore minimo 
. In altre parole, si commette l’errore minimo al centro (il valore medio) dei punti misurati: quando l’obiettivo della regressione lineare è quello di cui stiamo discutendo qui, per avere una risposta il più possibile precisa bisogna fare misure “a cavallo” della zona di interesse.
In altri casi, si è invece interessati all’ascissacorrispondente ad un certo valore dell’ordinata. Invertendo la relazione di linearità come indicato in precedenza oppure, più semplicemente, considerando che 
, si ottiene 
.
Ci sono applicazioni che richiedono di determinare la differenza tra le ascisse corrispondenti a due ordinate note. Ad esempio,
L’errore relativo si calcola immediatamente ottenendo 
.
Infine, in un altro caso le funzioni che descrivono l’andamento dei dati potranno essere approssimate (in regioni diverse) da due rette
ed interesserà, per esempio, l’ascissa dell’intersezione 
e il suo errore. Ricorrendo alla formula di propagazione dell’errore e considerando che le quantità con pedice 1 e 2 sono tra loro indipendenti (perché determinate da diversi sets di dati) si ottiene:
Sempre nel caso di due rette, si potrebbe invece essere interessati alla differenza di ascisse corrispondenti ad una medesima ordinata y0. In tal caso si ha
dove l’ultimo passaggio deriva dal fatto che le quantità “1” e “2” sono tra loro indipendenti.
Vediamo ora cosa possiamo dire se le misure yi, oltre agli errori casuali che abbiamo considerato finora, sono soggette anche ad errori sistematici.
Cominciamo con il caso di un errore e uguale per tutte le misure. Per esempio questo è il caso in cui lo “zero” dello strumento di misura di y è sbagliato di e. Osserviamo che, condividendo l’errore sistematico le misure non sono più indipendenti. Ricorriamo sempre alla formula generale di propagazione dell’errore ma, rispetto ai casi precedenti, la covarianza delle y, sarà espressa da:
Il termine e2 va ad aggiungersi a tutti gli elementi della matrice degli errori, così che nel calcolo della varianza dei parametri 
e 
, oltre al contributo dovuto all’errore casuale che abbiamo già calcolato, ci sarà un ulteriore contributo dovuto all’errore sistematico. Infatti, per esempio per la pendenza b, si ha:
Sostituendo l’espressione della covarianza nella formula precedente si vede subito che il termine aggiuntivo, rispetto al caso senza errore sistematico, è 
. Utilizzando la derivata di 
ed eseguendo le sommatorie si trova facilmente che il termine aggiuntivo è nullo. Quindi, anche in presenza di questo errore sistematico, risulta
Questo era un risultato prevedibile: la sistematicità e la costanza dell’errore causa una traslazione della retta parallelamente a se stessa senza influenzarne la pendenza. Ovviamente l’errore sistematico influenza invece l’intercetta. Il termine aggiuntivo alla varianza è ancora espresso dalla con l’ovvia sostituzione delle derivate di 
al posto di quelle di 
. Utilizzando la derivata di 
ed eseguendo le sommatorie si trova che il termine aggiuntivo vale proprio e2. Quindi
che è proprio il risultato che ci si poteva attendere. Infatti un errore sistematico è indipendente dagli errori casuali e, in quanto tale, deve sommarsi in quadratura.
Un altro tipo di errore sistematico che si incontra di frequente è quello di taratura dello strumento con cui si misura la grandezza y. Cioè la costante di proporzionalità, k,tra la risposta (lettura) e la grandezza applicata può essere diversa dal valore che dovrebbe avere per permettere la lettura “vera”, k*. Se Rè la risposta misurata in corrispondenza della grandezza applicata G mentre R* è la risposta che si avrebbe con uno strumento perfetto, si ha:
ossia l’errore relativo risulta:
cioè per qualunque valore di G si commette sempre lo stesso errore percentuale, che è sistematico perché ha sempre lo stesso segno. In questo caso, si ha:
Si tratta ora di ripercorrere la strada seguita nell’esempio precedente per trovare che il termine aggiuntivo al contributo di errore casuale vale 
per la pendenza ed analoga-mente per l’intercetta. Svolgendo le sommatorie si arriva a:
da cui si ricava che questo tipo di errore sistematico comporta lo stesso errore percentuale sulla pendenza e sull’intercetta.
In generale, uno strumento avrà entrambi questi errori sistematici e, con le regole generali di propagazione dell’errore, si può trovare qual è il loro effetto complessivo sui parametri che si determinano con la regressione lineare, seguendo la linea che abbiamo appena usato. Tuttavia, ragionando un attimo, si può arrivare immediatamente al risultato finale: questi due tipi di errori sistematici sono tra loro indipendenti e quindi si sommano quadraticamente!
Attenzione però a non generalizzare questi risultati a qualsiasi regressione lineare. Per esempio, nel caso della retta passante per l’origine, un errore sistematico costante e influenza anche la pendenza. Infatti, in questo caso le derivate parziali di 
sono diverse da quelle di 
,e ripetendo i calcoli delle sommatorie si ricava:
Questo avviene perché si è vincolata la retta a passare per l’origine. Morale della storia:anche se le misure fatte sono correlate teoricamente da una retta che passa per l’origine, un errore sistematico costante (di zero) falserà la misura della pendenza se si vincola la retta a passare per l’origine. Se la grandezza che si vuole determinare è legata alla pendenza della retta è molto meglio eseguire una regressione lineare a due parametri perché in questo caso la pendenza non e influenzata dall’errore sistematico.
Infine, nel caso di un errore sistematico di taratura (costante in percentuale) e di regressione lineare per l’origine, si ottiene:
Nella vita quotidiana, col termine stima si intende una procedura rozza ed imprecisa che porta ad un risultato approssimato. In altre parole, si stima ciò che non può essere misurato o calcolato. In statistica, viceversa, la stima è un termine tecnico. Significa una procedura ben definita ed accurata che porta ad un risultato che può essere sì approssimato, ma di cui il grado di non accuratezza è noto. Cioè, in statistica, stimare non significa approssimare.
Questo capitolo tratta inizialmente il problema generale della stima e quindi introduce alcuni specifici metodi ed esempi. Il problema tipo che si cerca di risolvere consiste nell’avere un insieme di dati da cui si vuole estrarre qualche informazione (qualche valore significativo), e di questo dato si vuole conoscere anche l’errore.
7.1 Proprietà degli stimatori.
Uno stimatore è una procedura applicata al campione di dati che genera un valore numerico per una proprietà dell’insieme di dati oppure per una proprietà o parametro della funzione di distribuzione corrispondente.Se la quantità che cerchiamo di misurare è indicata con q, useremo il simbolo ^ per indicare il corrispondente stimatore , cioè 
è lo stimatore che quando applicato al campione di N dati produce una stima della grandezza q. (Abbiamo già incontrato lo stesso simbolo nel capitolo dell’interpolazione lineare, dove con 
e 
abbiamo indicato le stime soddisfacenti al principio dei minimi quadrati dell’intercetta e del coefficiente angolare della retta interpolante i dati).
Per meglio comprendere il significato della precedente definizione, intenzionalmente molto generale, consideriamo il seguente esempio. Supponiamo che si voglia trovare il voto medio v* di N studenti scelti a caso che hanno superato il corso di Fisica II in S.d.M. Il campione dei dati da analizzare sarà quindi {v1, v2, …, vN}. Di seguito saranno riportate varie possibili procedure per arrivare a questa risposta,.
Tutti questi algoritmi soddisfano la definizione data di stimatore, sebbene alcuni siano migliori di altri. Come si fa quindi a scegliere quello da usare? Osserviamo che uno stimatore non può essere descritto come giusto/sbagliato o come valido/non valido bensì come buono/cattivo. Specificatamente uno stimatore buono è consistente, non distorto ed efficiente.
Uno stimatore è consistente se tende al valore vero se il numero di dati tende ad infinito, ossia se
Nell’esempio considerato della stima del voto medio v*, è facile mostrare che 1 è consistente. Infatti, la legge dei grandi numeri garantisce che 
. L’algoritmo 3 è pure consistente, perché la differenza tra N e N-1 scompare per N grande. Analogamente, 8 è consistente, mentre 2 e 4 ovviamente non lo sono. Ciò fornisce un motivo per non usarli, ma non permette di dire quale fra 1,3 e 8 sono da preferire. E’ quindi utile considerare la seconda proprietà di un buon stimatore.
Uno stimatore è non distorto se il suo valore di aspettazione è uguale al valore vero, ossia se
Ora, 1 è chiaramente non distorto per il TLC mentre 3 da 
, da cui si deduce che 3 è distorto. Siamo quindi giustificati ad usare la media aritmetica invece di 3. Però, anche 8 passa questo test così come 2. Passiamo pertanto all’ultima caratteristica di un buon stimatore.
Uno stimatore è efficiente se la sua varianza è piccola. Ovviamente, se la varianza di uno stimatore è più piccola di quella di un altro, è più probabile che esso fornisca un valore più vicino al valore vero ed è quindi da preferire. Quindi, possiamo dire che 8, usando la metà dei dati di 1, avrà una varianza più grande di un fattore 
. In altre parole, 8 è meno efficiente di 1 e ciò giustifica l’uso della media aritmetica come stimatore del valor medio di un insieme di dati.
Consideriamo ora degli esempi più realistici di stimatori. Abbiamo appena visto che la media aritmetica di una popolazione è uno stimatore del suo valor medio. Il TLC garantisce che esso sia consistente e non distorto. Però 
può essere o no efficiente, dipende dalla distribuzione di probabilità. Per una distribuzione gaussiana 
è anche efficiente, mentre non lo è per altre distribuzio-ni, come ad esempio quella uniforme.
Passiamo ora alla dispersione di una popolazione. Nel caso ideale in cui la media vera x* sia nota, un ovvio stimatore della larghezza della distribuzione di dati corrispondente, 
, è dato dallo scarto quadratico medio
Questo è chiaramente consistente e non distorto perché
Supponiamo ora che x*, come spesso succede, non sia noto. In tal caso, usualmente si sostituisce a x* il suo stimatore 
. Tuttavia, il conseguente stimatore della dispersione
distorce. Infatti
Ma il TLC, vedi anche paragrafo precedente, garantisce che 
, quindi
Sempre il TLC garantisce che 
, pertanto
Ciò dimostra che per N non troppo grandi, la definizione usata come 
distorce. Ciò è intuitivo, in quanto la quantità 
ha un minimo per 
, cioè lo stimatore S della dispersione deve essere inferiore o al massimo uguale alla vera misura della larghezza 
La correzione di questa discrepanza è facile da eseguire moltiplicando la definizione usata di S per il fattore N/N-1, noto come correzione di Bessel. Ossia
è uno stimatore della dispersione consistente e non distorto anche per piccoli N.
Rimane da stimare la varianza di 
. Si può dimostrare che per una distribuzione gaussiana
Questa formula, in altre parole, ci dà la stima dell’errore sulla determinazione della dispersione di una popolazione fatta usando 
. Che conclusioni possiamo trarne? La prima, riguarda la giustificazione statistica della regola sul numero di cifre significative da usare per esprimere l’errore casuale menzionata alla fine del Cap. 3. Ad esempio, se analizzando un campione di 10 dati si ottiene uno scarto 
=5.0, l’incertezza associata a questa stima sarà pari a 
mentre quella relativa è del 24%. Con N=50 misure, l’incertezza assoluta su 
è 0.5 e quella relativa 10%. Solo con N=100, l’incertezza relativa scende un poco sotto il 10% (7%). Ovviamente, nelle scienze fisiche il campione di dati difficilmente supera la decina, quindi vediamo che in queste situazioni, una sola cifra significativa è necessaria ad esprimere la stima dell’errore sulla grandezza misurata.
7.2 Bontà di un fit.
Un problema ricorrente nell’analisi dei dati consiste nel decidere quale fit, tra i vari eseguiti, meglio descrive i punti sperimentali. Nelle pagine seguenti descriveremo il test del c2, il criterio oggettivo più usato per quantificare l’accordo tra i dati e la curva interpolante.
Il campione, come al solito, consiste in una N-pla di coppie (xi, yi), dove le ascisse sono assunte esatte mentre le ordinate affette da errori si. Sia f(x) la funzione usate per interpolare i dati. Abbiamo già introdotto la funzione c2 come la sommatoria
Se la funzione f descrive veramente i dati, allora la differenza tra il valore del fit e quello misurato in ciascun punto sarà dello stesso ordine dell’errore di misura, cosicché ci aspettiamo un contributo di circa 1 da ciascun termine della sommatoria, e quindi un c2 pari a circa N. Se c2 è più grande, l’interpolazione non è probabilmente molto buona. Il problema consiste nel quantificare cosa si intende con un “grande” valore di c2. L a risposta statisticamente corretta si basa sull’uso della funzione di distribuzione di c2 uguale a
dove G è la standard funzione gamma. Si dimostra che tale distribuzione ha valore di aspettazione uguale ad N e varianza di 2N.
Un giudizio quantitativo sulla bontà di un’interpolazione si può quindi basare sull’integrale
noto come la probabilità del c2, cioè la probabilità che la funzione che descrive correttamente gli N dati determini un valore di c2 maggiore od uguale a quello effettivamente trovato. I valori di questa probabilità si possono trovare tabulati in manuali di statistica (vedi anche tabella 7.1) o, più semplicemente, si possono calcolare con Mathematica o MatLab.
Per vedere come si opera, supponiamo che abbiamo trovato un c2 di 20 interpolando 5 punti. La probabilità del c2 corrispondente è pari a 0.0012. Dato il suo bassissimo valore, possiamo concludere che è quasi certo che la curva usata non descrive bene i punti sperimentali. Ovviamente, la valutazione di come considerare la probabilità del c2 nei casi più generali è in qualche modo soggettiva e dipende dal giudizio dello sperimentatore.
Tutto quanto detto finora si applica se è nota la funzione interpolante. Tuttavia, il caso più frequente è quello di una funzione i cui parametri liberi (a e b nel caso di una retta) sono stati aggiustati col metodo dei minimi quadrati. Tale procedura determina un c2 minore di quello che ci si aspetta di trovare da argomenti statistici perché è stato minimizzato. Il criterio del c2 si può continuare ad impiegare usando la distribuzione
, dove al posto del numero dei dati si è sostituito il numero dei gradi di libertà n=N-m, con m il numero di parametri che sono stati determinati minimizzando c2 (m=2 per un fit lineare).
Come esempio, supponiamo che un fit lineare di 20 punti determini un c2=36.3, mentre uno parabolico dia c2=20.1. Quale tra i due è da preferire? La linea retta ha n=20-2=18 gradi di libertà. La tabella 7.1 riporta una probabilità di eccedere c2=34.8 del 1%, quindi la probabilità corrispondente a 36.3 sarà ancora più bassa. Il c2 per la parabola è invece ben al di sotto della soglia equivalente ad una probabilità del 10%. Possiamo quindi concludere che l’interpolazione lineare descrive male i punti mentre quella parabolica funziona bene ed è da preferire.
Quando n³30 è utile sfruttare il fatto che 
segue una distribuzione gaussiana con valore di aspettazione 
e deviazione standard uguale ad 1. Vediamo ora di applicare questa proprietà ad un caso concreto. Una curva a 3 parametri è stata usata per interpolare 45 punti dando un c2=73. Il numero di gradi libertà n=45-3=42, il valore di aspettazione è 
, da confrontarsi con la media trovata di
La differenza tra questi due valori assomma a 3s. Dalle proprietà della gaussiana, sappiamo che la probabilità di trovare un valore superiore di 3s da m è inferiore allo 0.3%. Possiamo quindi concludere che anche questa interpolazione descrive molto male i dati ed è da sostituire con un’altra più accurata.
Fonte: http://spiro.fisica.unipd.it/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=11&Itemid=95
Sito web da visitare: http://spiro.fisica.unipd.it
Autore del testo: Giampaolo Mistura
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