Moto dei fluidi comprimibili

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Moto dei fluidi comprimibili

La meccanica dei fluidi è quel ramo della fisica che si occupa del comportamento dei fluidi , sia dal punto di vista statico che dinamico.
Riteniamo opportuno osservare che, nonostante l’apparente settorializzazione, i risultati ottenuti in idrodinamica vengono utilizzati correntemente anche  nel caso dei gas che in particolari condizioni (basse velocità, variazioni di pressione trascurabili) possono essere considerati sostanzialmente incomprimibili e quindi trattati alla stregua dei liquidi.
Storicamente la dinamica dei fluidi è stata affrontata con due approcci diversi, noti rispettivamente come punto di vista lagrangiano e punto di vista euleriano.
Nel punto di vista lagrangiano si divide il fluido in volumi infinitesimi, chiamati particelle di fluido, e si considera il moto di una particella di fluido, all’interno del fluido stesso, sotto l’azione della gravità, della pressione esterna, ecc. Dovremmo dare le coordinate x, y e z di ciascuna particella e precisare il comportamento in funzione del tempo t. Questo procedimento è una diretta generalizzazione dei concetti della meccanica del punto materiale. A causa del grandissimo numero di particelle, l’uso di questo metodo è un’impresa improba.
Nel punto di vista euleriano, anziché descrivere  la storia di ogni singola particella di fluido si valutano la densità, la pressione e la velocità in ogni punto dello spazio e in ogni istante; si fa riferimento al cosiddetto volume di controllo, regione dello spazio che in istanti diversi viene occupata da particelle diverse.
Entrambi i metodi portano alle stesse conclusioni fisiche, ma il punto di vista euleriano, risulta più conveniente nell’uso comune.
Sovente nella società moderna si sente dire: “Chi diavolo ce l’ha portato un ingegnere civile ad insegnare fisica in un istituto tecnico?” Ebbene, un attento sguardo alla storia ci mostra esempi di applicazioni della fluidodinamica che spaziano dal campo della medicina, all’ingegneria, al campo agricolo. Li segnaliamo semplicemente, ma intendiamo qui sottolineare quanto sia importante  lo scambio di contributi tra diverse discipline e tra diversi campi della scienza.  
UN PÒ DI STORIA
L’interesse per la meccanica dei fluidi risale alle primissime applicazioni ingegneristiche delle proprietà dei fluidi e alla necessità di realizzare delle macchine adibite a varie funzioni. Archimede (287-212 a.C.) fornì probabilmente il primo contributo in questo campo con l’invenzione della pompa a vite. Altre macchine idrauliche vennero in seguito costruite dai romani che, non solo adottarono la vite di Archimede per l’irrigazione e per l’estrazione dell’acqua dai pozzi, ma costruirono nuovi sistemi idraulici, alcuni dei quali sono tuttora in uso. Nel corso del I secolo a.C. l’architetto e ingegnere romano Vitruvio introdusse la ruota idraulica, una macchina che rivoluzionò il sistema di macinazione del granturco.

Naturalmente, essendo i fluidi ideali mere approssimazioni dei fluidi reali, i risultati dell’analisi di Eulero possono essere considerati solo una stima approssimata del comportamento di fluidi reali caratterizzati da bassi valori di viscosità. I primi esperimenti sul moto a bassa velocità di fluidi viscosi furono condotti nel 1839 dal fisiologo Jean-Lèonard-Marie Poiseuille (1799-1869), interessato a determinare le proprietà della circolazione del sangue, e nel 1840 dall’ingegnere idraulico tedesco Gotthilf-Heinrich-Ludwig Hagen (1797-1884). I primi tentativi di includere gli effetti della viscosità nelle equazioni matematiche del moto dei fluidi si devono invece all’ingegnere francese Claude-Louis-Marie Navier (1785-1836), e al matematico britannico George Gabriel Stokes (1819-1903) il quale, nel 1845 formulò le equazioni fondamentali per i fluidi viscosi incomprimibili.

MODELLI OPERATIVI

Tipo di fluido e tipo di moto

Nella nostra trattazione ci occuperemo di trattare principalmente:

• Fluido ideale, ovvero incomprimibile e non viscoso
• Moto stazionario e irrotazionale

 Ritenendo già acquisito il concetto di fluido, per comprendere bene la natura di alcune semplificazioni che faremo, bisogna introdurre qualche cenno sulle caratteristiche generali del moto dei fluidi.
Abbiamo visto che il punto di vista euleriano studia il moto di un fluido valutando variabili come pressione, densità e  velocità nel volume di controllo.  Il legame di queste variabili con il tempo comporta la distinzione  in:

•  moto stazionario: pressione, densità e velocità si mantengono costanti nel tempo; in generale il loro valore varia da punto a punto, ma in un certo punto non varia. Di solito questa condizione è ottenuta a basse velocità di flusso; per esempio in un canale con una corrente molto lenta;
• moto non stazionario: se pressione, velocità e densità variano nel tempo, per ogni punto. Le onde del mare sono un esempio di questo tipo di moto. Se queste grandezze variano in modo irregolare, il moto si dice più propriamente turbolento; esempi sono le rapide e le cascate.

Si può definire il moto di un fluido a seconda delle caratteristiche assunte dalla velocità angolare degli elementi costituenti il fluido stesso:

• moto irrotazionale: nel fluido in moto non c’è alcun elemento in rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa dell’elemento stesso;
• moto rotazionale: gli elementi di fluido hanno velocità angolare non nulla attorno ad un asse passante per il rispettivo centro di massa.

Ad esempio, una piccola ruota a palette immersa in un fluido in moto ruota solo se il flusso è rotazionale, altrimenti trasla senza ruotare.

• Ruota con palette immersa in un fluido in moto

È importante notare che l’irrotazionalità del moto non dipende dalla traiettoria della particella di fluido. Un particolare elemento di fluido può muoversi, infatti, su una traiettoria circolare ma il moto può essere lo stesso irrotazionale

• Moto irrotazionale su traiettoria circolare

Allo stesso modo, una particella di fluido può seguire una traiettoria rettilinea pur avendo un moto rotazionale

• Moto rotazionale lungo traiettoria rettilinea

Linea e tubo di flusso

Se il moto è stazionario la velocità v in ogni punto è costante nel tempo, cioè ogni particella che transita per un qualsiasi punto P lo fa sempre con la stessa velocità in modulo, direzione e verso. Lo stesso vale per i punti Q ed R, perciò se tracciamo il percorso di una particella, questo sarà anche il percorso di ogni altra particella che arriva in P. La curva che descrive il moto della particella si chiama linea di flusso ed è tangente alla velocità della particella in ogni suo punto

• Linea di flusso

Le linee di flusso possono essere evidenziate nell’acqua che scorre in un condotto iniettando in vari punti del condotto piccole quantità di liquido colorato oppure mettendo dei corpi leggeri come segatura o sferette di plastica.
Nel moto stazionario le linee di flusso non si incrociano mai in quanto, se lo facessero, una particella che arriva al punto di incrocio potrebbe proseguire lungo una linea o l’altra, quindi in uno stesso punto potrebbe avere differenti valori di velocità, contrariamente all’ipotesi stessa di stazionarietà. È possibile quindi dire che per il moto stazionario esiste una sola linea di flusso per ogni punto del fluido e che l’insieme delle linee di flusso è fisso nel tempo.

Prendendo un fascio di linee di flusso otteniamo una superficie tubolare detta tubo di flusso

• Tubo di flusso

Per semplicità d’ora in avanti faremo coincidere il tubo di flusso con il condotto reale entro il quale scorre il fluido.

DALLA CONSERVAZIONE DELLA MASSA ALL’EQUAZIONE DI CONTINUITA’

Si consideri una porzione di un generico tubo di flusso (Figura 9). Siano A1, ρ1 e v1 la sezione, la densità e la velocità del fluido all’estremità 1 e A2, ρ2 e v2 quelle all’estremità 2. Nell’intervallo di tempo Δt sarà passato un volume di fluido , attraverso la sezione 1 e   attraverso la sezione 2.
Poiché le pareti del tubo sono rigide e impermeabili al fluido e non vi sono all’interno ne sorgenti ne pozzi dove il fluido possa essere creato o distrutto, la massa di fluido che attraversa la sezione A1 nell’intervallo Δt con velocità v1 deve essere uguale alla massa che attraversa la sezione A2 nello stesso intervallo Δt con velocità v2, cioè Δm1 = Δm2.

• Tubo di flusso a sezione variabile

Esprimendo la massa come prodotto della densità e del volume, , ed eliminando il fattore comune Δt si avrà:
.

Per l’incomprimibilità del fluido ρ1 = ρ2, quindi
A1v1=A2v2.
Poiché questo discorso può essere fatto per due sezioni qualsiasi, sarà:
Av = costante
Questa equazione è detta equazione di continuità.
Una immediata interpretazione è che la variazione della velocità nel tubo di flusso è inversamente proporzionale alla sua sezione. Applicata ad un tubo di flusso,  questa relazione ci consente di interpretare ulteriormente la rappresentazione con linee di flusso del moto di un fluido. Tali linee si addensano dove il tubo è stretto e si diradano ove il tubo è largo. Dunque la distanza tra le linee di flusso è piccola laddove la velocità del fluido è grande e viceversa.

Portata

Il prodotto Av, che misura un flusso di volume, permette di introdurre  una grandezza molto usata in fluidodinamica: la portata.
Si definisce portata in massa il rapporto tra la massa di fluido che attraversa una sezione e l’intervallo di tempo impiegato,

Nel Sistema Internazionale si misura in kg/s.

Analogamente, si definisce portata in volume il rapporto tra il volume di fluido che attraversa una sezione e l’intervallo di tempo impiegato:

Nel Sistema Internazionale si misura in m3/s.
Il concetto di portata in volume ci consente di scrivere l’equazione di continuità nella forma:
.
Applicazione
Una tipica applicazione dell’equazione di continuità si osserva in un getto d’acqua che fuoriesce da un rubinetto. La sua velocità cresce man mano che il getto cade: poiché la portata deve essere la stessa in tutte le sezioni, lungo la caduta il getto si deve assottigliare

In alcuni tipi di fontane avviene esattamente il contrario. Lo zampillo che sale verso l’alto perde man mano velocità, per cui, ancora per l’equazione di continuità la sezione del getto aumenta.

Esercizio 1

Uno scultore sta lavorando ad un balenottero da porre al centro di una fontana. Dalla bocca della statua fuoriuscirà il getto d’acqua della fontana. Lungo il corpo del balenottero verrà immesso un tubo di sezione A=3.14 cm2 nel quale confluirà l'acqua alla velocità di v=90.0 cm/s.

Si vuole dimensionare la sezione del tubo in prossimità della bocca del balenottero in modo che il getto d’acqua uscente  dovrà raggiungere un punto della fontana distante d=60.0 cm e che si trova ad un'altezza di h=120.0 cm al di sotto della bocca stessa. Che diametro D dovrà dare a questa lo scultore?

Soluzione
L’acqua uscirà formando un tubo di flusso con traiettoria parabolica per la quale valgono le seguenti relazioni note dalla meccanica classica:


Ora, applicando l'equazione di continuità, si ricava la nuova sezione A' in funzione di A, v, v'
                                            

ovvero: A’= 2,33 cm2                                                          D=1,7 cm

DALLA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ALL’EQUAZIONE DI BERNOULLI

L’equazione di Bernoulli è di fondamentale importanza nella dinamica dei fluidi. Come tutte le equazioni della meccanica dei fluidi essa non costituisce un nuovo principio, ma è derivabile come conseguenza delle leggi della meccanica newtoniana. Risulta comodo ricavarla dal teorema dell’energia cinetica, poiché essenzialmente essa rappresenta la formulazione del teorema della conservazione dell’energia nel caso del moto di un fluido.
Consideriamo ancora un fluido ideale (cioè incomprimibile e non viscoso) che scorre di moto stazionario in un tubo di sezione e quota variabile.

La porzione di tubo rappresentata in figura ha, nella sua prima parte una sezione A1 costante e orizzontale, e si trova a un’altezza y1 rispetto ad un livello di riferimento. Il tubo poi gradualmente si restringe e si innalza sinchè infine, sulla destra vi è di nuovo una parte orizzontale a sezione A2 costante e ad un altezza y2. Concentriamo la nostra attenzione sulle porzioni di fluido che in figura sono ombreggiate. Queste porzioni di fluido costituiscono il nostro sistema e ne vogliamo studiare il moto che lo fa passare dalla configurazione disegnata in (a) a quella in (b). Il disegno rappresenta l’effetto risultante dallo scorrimento del fluido nel condotto ovvero il sollevamento della quantità Δm di fluido ombreggiata. Dall’ipotesi di incomprimibilità segue che il volume entrante è uguale a quello uscente e  quindi tale quantità  resta invariata.
Il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul sistema uguaglia la variazione di energia cinetica del sistema stesso:

La variazione di energia cinetica del sistema è:

Se le forze agenti sul sistema sono le forze di pressione F1 ed F2 agenti rispettivamente agli estremi sinistro e destro del fluido e la forza di gravità FP, il lavoro totale compiuto da queste forze è :

La variazione di energia potenziale è:

quindi il lavoro compiuto dal campo gravitazionale è:

Il fluido a sinistra dell’imboccatura del tubo che precede la massa Δm eserciterà su essa una forza di modulo F1 = p1A1, dove p1 è la pressione nel punto 1.
Questa forza compirà un lavoro positivo

Con un ragionamento analogo, alla fine del tubo, a destra della massa Δm considerata, il fluido che segue compirà su di essa un lavoro negativo

dove p2 è la pressione nel punto 2 esercitata in verso contrario al moto del fluido.
Il lavoro totale compiuto da queste forze è :

Dal teorema dell’energia cinetica, uguagliando le due espressioni ottenute, dividendo per ΔV e raccogliendo al primo membro le grandezze relative al punto 1 ed al secondo membro quelle relative al punto 2, si ottiene l’espressione:

Poiché i due punti sono stati presi a caso nel condotto è possibile ripetere questo ragionamento per qualsiasi coppia di punti e quindi concludere che
= costante
Questa relazione è detta equazione di Bernoulli, e i termini che la compongono sono, dimensionalmente, delle pressioni:

• la pressione , che sarebbe presente anche se non vi fosse moto, si chiama pressione statica;
• il temine  si chiama pressione dinamica.

Dividendo per ρg, si ha:
= costante
I tre termini a primo membro hanno le dimensioni di una lunghezza e vengono dette

• , altezza piezometrica: è l’altezza che il fluido raggiungerebbe sotto l’azione della pressione p;
• y, altezza geometrica: è l’altezza del fluido rispetto ad un livello di riferimento;
• , altezza di arresto: è l’altezza che il fluido raggiungerebbe se fosse lanciato verso l’alto con velocità v.

L’equazione di Bernoulli è rigorosamente applicabile solo a moti stazionari poiché le grandezze che intervengono devono venir valutate lungo una stessa linea di flusso: la costante che compare nell’equazione non è in generale la stessa per tutte le linee di flusso. Se il flusso è irrotazionale si può dimostrare che la costante è la stessa per tutte le linee di flusso.
L’ipotesi di incomprimibilità ci ha permesso di trascurare nei calcoli l’energia interna del fluido, poiché essa non varia; l’ipotesi di non viscosità ha permesso di trascurare gli attriti interni del fluido.

Si può verificare come le leggi della statica siano un caso particolare di quelle della dinamica e si ottengono ponendo nelle equazioni v = 0. In particolare ricaviamo di seguito la legge di Stevino e la legge di Torricelli.

Legge di Stevino

Applichiamo l’equazione di Bernoulli a due punti qualsiasi di un recipiente contenente un fluido in quiete. I punti O e P hanno rispettivamente altezze y1 e y2 e velocità v1 = v2 = 0.

• Fluido in quiete

Allora:

da cui :

che è una delle forme in cui possiamo scrivere la legge di Stevino.

Legge di Torricelli

Da un foro posto ad una distanza h dalla superficie superiore di un fluido contenuto in un serbatoio, il fluido esce con una velocità pari a quella che avrebbe se scendesse in caduta libera per un tratto h.

• fluido in fuoriuscita da un serbatoio

Ciò si dimostra applicando l’equazione di Bernoulli ai punti a e b della Figura 14. Supponendo che il diametro del foro sia molto minore di quello del serbatoio, è possibile trascurare la velocità dell’acqua in superficie, ovvero nel punto a. L’equazione di Bernoulli diventa

Essendo sia a che b in comunicazione con l’atmosfera, pa e pb saranno uguali e pari alla pressione atmosferica, quindi risolvendo rispetto vb

 = 2gh, da cui
che è appunto la velocità che assumerebbe il fluido se cadesse da a a b nel campo gravitazionale.

APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI BERNOULLI

Effetto Venturi

Se la velocità di un fluido aumenta, la pressione diminuisce. Questo fenomeno è detto effetto Venturi. Esso si dimostra applicando l’equazione di continuità e l’equazione di Bernoulli ad un tubo con una strozzatura orizzontale come in fig. 16.

 Tenendo presente che per il flusso di un fluido vale anche l’equazione di continuità, essendo costante il prodotto Av, si avrà che ad una diminuzione della sezione A corrisponde un aumento della velocità v e, poiché la somma dei termini nell’equazione sopra deve anch’essa rimanere costante, una diminuzione della pressione nella zona a sezione ridotta del tubo.

Un esempio si trova nello spruzzatore di profumi: con una pompetta in A ed il flaconcino del profumo in B si spruzza attraverso C.

ALTRE APPLICAZIONI

Spinta dinamica

È la forza che agisce su un corpo a causa del suo moto nel fluido. Questo è l’effetto che consente agli aerei di stare sospesi in aria in quanto fa nascere, grazie al particolare profilo delle ali, una forza che nel caso specifico viene chiamata portanza.

• Schema generalizzato delle forze agenti su un aereo in volo

Per spiegare il fenomeno, ci poniamo in un sistema di riferimento solidale all’aereo, così  è come se l’aria andasse incontro all’ala (schematizzata in fig. 19) da sinistra verso destra.

Il profilo alare con la sua particolare forma “a goccia” fa si che nascano due tubi di flusso, uno superiore e l’altro inferiore:

• il tubo di flusso superiore ha una restrizione di sezione lungo il dorso del profilo: lì la velocità aumenta perché l’aria è incompressibile. La sua pressione di conseguenza diminuisce;
• il tubo di flusso inferiore che lambisce il ventre del profilo alare non ha restrizioni, quindi i valori di velocità e pressione dell’aria rimangono inalterati o quasi.

• Schematizzazione del profilo alare

Risulta quindi una pressione più piccola sul dorso dell’ala rispetto al valore di pressione sul ventre e nasce così la spinta idrodinamica, indicata in rosso in fig. 20: il profilo viene così “risucchiato” verso l’alto!

• Spinta idrodinamica

Un fenomeno simile avviene per le eliche, in quanto esse vengono sagomate e disposte in modo che la spinta risulti diretta nel verso del moto. Le pale degli elicotteri, invece, sono disposte in modo che la spinta dinamica sia diretta verso l’alto, rendendo possibile il sostentamento del velivolo.

Effetto Magnus

Un corpo con un moto di traslazione viene investito da una corrente d’aria che si muove in direzione opposta a quella del corpo stesso. Se il moto è puramente traslatorio le linee di corrente saranno ugualmente spaziate tra loro intorno al corpo (Figura 21a). Invece, un corpo in rotazione nell’aria, a causa dell’attrito, trascina con sé lo straterello d’aria con cui viene a contatto; quest’ultimo a sua volta trascina con sé lo straterello attiguo. Attorno al corpo rotante si formano così filetti d’aria che ruotano su circonferenze concentriche (Figura 21b).

• La curvatura della traiettoria di un corpo dovuta all’effetto Magnus.

Se il corpo è dotato di moto sia rotatorio antiorario che traslatorio, la velocità relativa dell’aria aumenta a sinistra del corpo proprio per il trascinamento dell’aria attorno al corpo stesso; infatti, le velocità dei filetti in rotazione amplificano il moto della corrente dovuto alla traslazione se sono in verso concorde a quest’ultima, e fanno diminuire la velocità nella zona in cui i versi sono invece discordi (Figura 21c). Per l’equazione di Bernoulli a tale variazione di velocità corrisponde una variazione di pressione: la traiettoria del corpo verrà quindi curvata verso sinistra.

Paradosso idrodinamico

Una conseguenza dell’equazione di Bernoulli è il fenomeno che va sotto il nome di paradosso idrodinamico. Supponiamo di soffiare attraverso il tubo: si crea quindi una corrente fluida che a forte velocità investe tra i due dischi di sezione DD e CC (Fig. 22).

• Paradosso idrodinamico.

Contrariamente a quanto potremmo aspettarci il piatto CC non viene respinto dalla corrente fluida uscente dal tubo, ma viene attratto verso DD. Infatti, l’aria passa nel tubo con una certa velocità v0, maggiore della velocità del fluido in quiete esterno ai dischi. La pressione all’interno sarà quindi minore di quella esterna e causa l’avvicinamento dei due dischi.

Fonte: http://www.lemur.it/Sissis/FondFisica1/TesineXesame/Fluidodinamica/Fluidodinamica_SalvoDom_15.doc

Sito web da visitare: http://www.lemur.it/

Autore del testo: V.BELLINI

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