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Nella pratica corrente s’incontrano numerosi problemi non stazionari in conseguenza di condizioni al contorno variabili nel tempo. Si pensi, ad esempio, ad un corpo estratto da un forno ed immerso in un bagno di acqua fredda per temprarlo. L’energia si trasferisce per convezione dalla superficie esterna verso il liquido e per conduzione termica dall’interno del corpo verso la superficie. Ne consegue che ogni punto del corpo andrà progressivamente raffreddandosi fino a raggiungere una condizione stazionaria di equilibrio con il bagno.
Per determinare l’andamento della temperatura durante il transitorio termico che precede la stazionarietà si può seguire un approccio valido per i corpi cosiddetti termicamente sottili, ossia corpi che presentano al loro interno gradienti termici talmente piccoli da ritenere la temperatura praticamente uniforme durante l’intero transitorio.
Per stabilire se un corpo può essere considerato termicamente sottile occorre prendere in considerazione un parametro adimensionale chiamato Numero di Biot, abbreviato Bi. Fisicamente esprime il rapporto tra la resistenza conduttiva del corpo e quella convettiva relativa allo scambio con il fluido esterno:
dove L è una grandezza che caratterizza la geometria. Ciò appare evidente nel caso di una lastra piana:
L’evoluzione tra due condizioni di equilibrio termico, quella iniziale e quella finale, si presenta diversa a seconda se Bi<<1 ovvero Bi>>1. Nel primo caso i gradienti interni di temperatura sono modesti rispetto a quelli alle interfacce e viceversa nel secondo caso. Per stabilire dunque la validità dell’ipotesi di corpo termicamente sottile occorre verificare che Bi sia molto piccolo, in pratica Bi<0.1.
L’espressione del numero di Biot può essere generalizzata sostituendo L con una lunghezza caratteristica Lc = V/A, dove V è il volume di materiale e A la superficie esposta al fluido. Nel caso di una lastra piana di spessore 2L, Lc = A2L/2A = L, per una superficie cilindrica Lc = pr2L/2prL = r/2, per una sfera Lc = (4/3)pr3/4pr2 = r/3 e così via.
Trascurando i gradienti termici all’interno del materiale, si può impostare un bilancio globale di energia riferito all’intero volume di materiale in cui l’energia ceduta all’esterno per convezione uguagli la variazione dell’energia immagazzinata, ossia dell’energia interna sensibile in assenza di cambiamenti di stato:
ovvero
che, riscritta in termini di sovratemperatura 
, diviene
Separando le variabili e integrando tra t = 0 e t da un lato, e tra 
e 
dall’altro, si ottiene:
Risolvendo gli integrali:
ovvero
Il termine 
=
ha le dimensioni dell’inverso di un tempo. Il tempo 
è noto come costante di tempo termica e ha come espressione:
dove 
è la resistenza termica convettiva e 
la capacità termica del materiale. Ogni incremento della resistenza termica o della capacità renderà più lento il raffreddamento come mostra la figura:
La durata del transitorio è teoricamente infinita; all’atto pratico dopo 4-5 costanti di tempo termiche il corpo si porta alla temperatura ambiente 
.
La quantità di calore ceduta durante il processo, che coincide con la variazione di energia interna del materiale, si ottiene integrando la seguente equazione:
La giunzione di una termocoppia, che può essere assimilata ad una sfera, viene utilizzata per misurare la temperatura di una corrente di gas. Si conoscono il coefficiente di convezione h = 400 W/m2K e le proprietà termofisiche della giunzione k = 20 W/mK, c = 400 J/kgK e r = 8500 kg/m3. Calcolare il diametro della giunzione affinché la costante di tempo termica sia pari a 1 s. Se la giunzione si trova a 25°C in una corrente di gas a 200°C, dopo quanto tempo raggiunge 199°C?
Dati:
Le proprietà termofisiche della giunzione
Obiettivo:
Schema:
Ipotesi semplificative:
Analisi:
da cui
Si calcoli Bi con Lc = D/6:
Il basso valore di Bi rende dunque plausibile l’ipotesi di corpo termicamente sottile.
si ottiene:
sostituendo i valori numerici:
Commenti:
Il tempo richiesto per raggiungere la quasi stazionarietà è di circa 5 volte la costante di tempo termica di 1s.
In presenza di scambi per irraggiamento con i corpi circostanti e per conduzione attraverso i cavetti della termocoppia, la durata del transitorio si modifica e la temperatura di regime differirà da quella della corrente di gas.
Fonte: http://meccanico.weebly.com/uploads/7/7/0/5/770526/transitori.doc
Sito web da visitare: http://meccanico.weebly.com
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