I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore
Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).
Indice
SOMMA LOGICA: OR
PRODOTTO LOGICO: AND
NEGAZIONE: NOT
SOMMA LOGICA NEGATA: NOR
PRODOTTO LOGICO NEGATO: NAND
OR ESCLUSIVO: XOR
NOR ESCLUSIVO: XNOR
PROPRIETA’ DELL’ALGEBRA DI BOOLE
proprietà commutativa
proprietà associativa
proprietà distributiva
ASSIOMI DELL’ALGEBRA DI BOOLE
PRINCIPIO DI DUALITA’
TEOREMI DI DE MORGAN
ALTRI TEOREMI
Teorema dell’assorbimento
Teorema del consenso
L’algebra di Boole deve il suo nome al matematico e filosofo irlandese Gorge Boole (1815-1864), il quale si preoccupò di introdurre un simbolismo nello studio della logica.
Nel 1854 pubblicò “An Investigation of the Laws of Thought” (Un esame sulle leggi del pensiero), in cui sosteneva che il pensiero logico potesse essere facilmente decomposto in insiemi di scelte tra due possibilità.
Certo Boole non immaginò che quella che doveva essere prerogativa di un calcolo astratto, sarebbe diventata una delle più grandi conquiste della tecnica moderna. Infatti essa venne ripresa nel 1940 nella costruzione dei calcolatori elettronici: la prima pubblicazione di rilievo fu l’articolo di Claude Shannon "A symbolic analysis of relay and switching circuits" (Su Transactions of the american institute of electrical engineers, vol 57, dic 1938).
2) PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
Essa si basa sul fatto che le variabili logiche possono assumere solo due stati, secondo la tabella seguente.
1 |
0 |
Vero |
Falso |
Tutto |
Niente |
Contatto chiuso |
Contatto aperto |
On |
Off |
High |
Low |
L’algebra di Boole si applica per quelle situazioni, cioè, in cui si ammettono soltanto due stati, senza posizioni intermedie.
Analogamente alla matematica, in cui qualunque equazione può essere espressa sia in forma analitica sia mediante una tabella riportante i valori della variabile x e della funzione y, nell’algebra di Boole esiste una tabella che rappresenta la funzione logica. Detta tabella è chiamata tavola della verità.
3) OPERAZIONI LOGICHE FONDAMENTALI
Successivamente prenderemo in esame quelle che sono le operazioni logiche fondamentali dell’algebra di Boole. Di ciascuna si enuncerà:
A |
B |
Y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Þ Quindi l’uscita è “vera “ se è verificata “o” la condizione A, “o” la condizione “B”, o ancora entrambe le condizioni.
Si tratta di due interruttori disposti in parallelo: la lampadina verrà accesa se uno qualunque o tutti e due gli interruttori sono chiusi!
A |
B |
Y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Þ Quindi l’uscita è “vera “ se è verificata “sia” la condizione A, “sia” la condizione “B”.
Circuito elettrico:
Si tratta di due interruttori disposti in serie: la lampadina verrà accesa se entrambi gli interruttori sono chiusi!
A |
Y |
0 |
1 |
1 |
0 |
Þ Quindi l’uscita è “vera “ se la condizione A non è vera.
Circuito elettrico:
Si tratta di un interruttore in parallelo con la lampadina: la lampada è accesa solo se l’interruttore è aperto.
(A NOR B)
A |
B |
Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Þ Quindi l’uscita è “vera “ solo se “sia” la condizione A, “sia” la condizione “B”, non sono vere.
Si tratta di due interruttori disposti in parallelo tra loro e con la lampadina: essa verrà dunque accesa solo se entrambi gli interruttori non sono chiusi.
(A NAND B)
A |
B |
Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Þ Quindi l’uscita è “vera “ se non è verificata “o” la condizione A, “o” la condizione B, o non sono verificate entrambe le condizioni.
Circuito elettrico:
Si tratta di due interruttori disposti in serie tra loro, e in parallelo con la lampadina: dunque la lampadina verrà accesa se uno qualunque o tutti e due gli interruttori sono aperti: se tutti e due gli interruttori sono chiusi, allora la lampadina non si accende.
(A OR esclusivo B)
A |
B |
Y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Þ Quindi l’uscita è “vera “ se la condizione A e la condizione B si trovano ad avere due stati diversi tra loro. Per questo il circuito prende il nome di anticoincidenza.
Si tratta di due interruttori disposti in serie loro, e in parallelo con la lampadina: la lampadina verrà accesa se gli interruttori sono uno chiuso e uno aperto, altrimenti, se sono entrambi o chiusi, o aperti, essa non si può accendere.
(A NOR esclusivo B)
A |
B |
Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Þ Quindi l’uscita è “vera “ se la condizione A e la condizione B si trovano ad avere due stati uguali tra loro. Per questo il circuito prende il nome di coincidenza.
Circuito elettrico:
Si tratta di due interruttori disposti in serie loro, e in serie con la lampadina: la lampadina verrà accesa se gli interruttori sono entrambi chiusi , o entrambi aperti, altrimenti, se sono uno chiuso e l’altro aperto, essa non si può accendere.
4) PROPRIETA’ DELL’ALGEBRA DI BOOLE
Rispetto alla somma logica: A + B = B + A
Rispetto al prodotto logico: A × B = B × A
Rispetto alla somma logica: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
Rispetto al prodotto logico: A × B × C = (A × B) × C
Rispetto alla somma logica: A + BC = ( A + B ) × ( A + C )
Rispetto al prodotto logico: A × ( B + C ) = AB + AC
Merita prestare attenzione alla proprietà distributiva rispetto alla somma, la quale non ha un corrispettivo rispetto all’algebra unitaria:
se infatti, per es., A=2; B=3; C=4, allora: 2 + 3× 4 ¹ ( 2 + 3 ) × ( 2 + 4 ) !
5) ASSIOMI DELL’ALGEBRA DI BOOLE
A × 0 = 0
A + 1 = 1
A × Ā = 0
A + Ā = 1
A × A = A
A + A = A
se A = B allora Ā = 
= A
6) PRINCIPIO DI DUALITA’
Data una funzione Y, si chiama espressione duale di Y quella che si ottiene con le seguenti sostituzioni:
Esempio:
data l’espressione 
la sua espressione duale diviene : 
7) TEOREMI DI DE MORGAN
Mediante l’utilizzo del principio di dualità si ricavano due fondamentali teoremi, che sono detti Teoremi di De Morgan.
Consideriamo l’espressione: Y = A × B
Applichiamo dapprima il principio di dualità: 
Se invece applichiamo alla stessa l’assioma della negazione: 
Confrontando le due ultime equazioni, si ottiene che:
Ovvero, per il principio della doppia negazione, anche che:
Consideriamo l’espressione: Y = A + B
Applichiamo dapprima il principio di dualità: 
Se invece applichiamo alla stessa l’assioma della negazione: 
Confrontando le due ultime equazioni, si ottiene che:
Ovvero, per il principio della doppia negazione, anche che:
N.B.: si può osservare che i due teoremi si possono ricondurre in realtà ad uno solo,
essendo uno il duale dell’altro.
8) ALTRI TEOREMI
a) Se Y= A + AB, allora: Y = A
® Infatti, per la proprietà distributiva : Y = A + AB = A(1+B)
e per la proprietà dell’annullamento: Y = A×1 = A
b) Se 
, allora: Y=A+B
® Infatti, per la proprietà distributiva: 
= 
e per l’assioma dell’annullamento: 
Se 
, allora: 
Ovvero: si può eliminare il termine BC, quello, cioè in cui vi sono i fattori contenuti negli altri termini.
® Infatti: dall’assioma del complemento: 
e dalla proprietà distributiva: 
e anche: 
e dall’assioma dell’annullamento: 
ESEMPIO 1
Supponiamo di dover risolvere alcuni problemi inerenti al sistema “ascensore”.
L'ascensore può avviarsi se necessariamente sono verificate le seguenti condizioni: pressione del pulsante, porte chiuse.
Quindi:
condizione A = 1 Þ pressione pulsante
condizione B = 1 Þ porte chiuse
Risultato Y = A · B : l’ascensore si avvia.
La mancanza di una delle due condizioni darà risultato negativo, ovvero Y=0, ossia l’ascensore non parte.
L'ascensore parte se non c'è sovraccarico.
Quindi:
A=1, ovvero sovraccarico di persone, mi dà Y=0, ovvero l’ascensore non parte.
Viceversa A=0, ovvero NON c’è sovraccarico, genera un’uscita Y pari a 1, ossia l’ascensore può avviarsi.
L’ascensore si ferma o se arrivato al piano prescelto, o se manca la corrente.
Quindi:
A=1 (cioè aascensore al piano), oppure B=1, (cioè mancanza di corrente), mi danno un esito Y=1 (ovvero ascensore fermo). Ma anche la presenza di entrambe le condizioni (ascensore fermo e al piano), mi danno lo stesso risultato!
ESEMPIO 2
Supponiamo di dover realizzare con le porte logiche il seguente esempio:
se c’è bel tempo, e c’è il sole, allora esco.
Si evince che sono necessarie entrambe le condizioni A (=presenza di bel tempo) e B (=presenza di sole), affinché sia verificato il risultato Y (=uscita).
La mancanza di una sola delle due condizioni non renderà verificata l’uscita.
Quindi si deve applicare una porta AND
Risultato Y = A · B : esco.
Ma se si vuole complicare introducendo una nuova condizione, ovvero la presenza di un impegno di lavoro, allora è chiaro che questa variabile è indipendente dalle altre due; e se quindi essa risulta verificata, allora io devo uscire anche se non c’è il sole, o se non c’è bel tempo.
Ovvero:
se A = sole
se B= bel tempo
se C=impegno di lavoro
sarà necessario l’impiego di una porta AND per le prime due, ma anche una porta OR per l’ultima condizione, secondo il seguente schema:
Così facendo, io posso uscire, “o” se c’è sia il sole (A) sia bel tempo (B), “o” se ho un impegno di lavoro (C).
ESEMPIO 3
In un consiglio di amministrazione, vi sono tre votanti e il presidente del consiglio. Una proposta è approvata quando essa ha la maggioranza dei voti, tenendo presente però che il Presidente ha il diritto di veto, e che il suo voto vale doppio.
Quindi:
A, B, C = votanti
P = presidente.
La proposta (Y) è approvata se P=1 e se almeno uno dei consiglieri ha votato positivamente, ovvero A+B+C=1
La proposta è invece respinta se P=0 (il presidente ha diritto di veto!)
Quindi, con le porte logiche:
si vede che i tre votanti sono tra loro interconnessi tramite un porta OR, e il loro risultato è collegato col risultato del presidente tramite una porta AND.
Y varrà 1 se P=1 e (AND) se almeno uno degli altri tre ha votato positivamente (cioè A o B o C =1).
Fonte: http://genco.altervista.org/Algebra_di_Boole.doc
Sito web da visitare: http://genco.altervista.org/
Autore del testo: non indicato nel documento di origine
Il testo è di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente i loro testi per finalità illustrative e didattiche. Se siete gli autori del testo e siete interessati a richiedere la rimozione del testo o l'inserimento di altre informazioni inviateci un e-mail dopo le opportune verifiche soddisferemo la vostra richiesta nel più breve tempo possibile.
I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore
Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).
"Ciò che sappiamo è una goccia, ciò che ignoriamo un oceano!" Isaac Newton. Essendo impossibile tenere a mente l'enorme quantità di informazioni, l'importante è sapere dove ritrovare l'informazione quando questa serve. U. Eco
www.riassuntini.com dove ritrovare l'informazione quando questa serve