ASSIOMI DELLA GEOMETRIA RAZIONALE

ASSIOMI DI APPARTENENZA

A1

Per ogni coppia di punti A e B di un piano p esiste ed è unica la retta che li contiene.

A2

Data nel piano p una retta r esistono almeno due punti distinti A e B di p che le appartengono e almeno un punto C di p che non le appartiene.

A3

Tre punti non allineati individuano uno e un solo piano.

A4

Se una retta ha due punti in comune con un piano, allora appartiene al piano.

ASSIOMA DI ORDINAMENTO

A5

Ogni retta è dotata di due ordinamenti totali ed è densa e illimitata.

ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO

A6

Ogni retta r di un piano p divide il piano in due sottoinsiemi non vuoti p1 e p2 tali che:

• se i due punti appartengono uno a p1 e l’altro a p2 allora il segmento che li unisce interseca la retta r in un punto;
• se i due punti appartengono allo stesso sottoinsieme, p1 o p2, allora il segmento di cui sono estremi non interseca la retta r.

ASSIOMA DELLA DISTANZA

A7

A ogni coppia A, B di punti di un piano p è associato un numero reale positivo o nullo, detto distanza di A da B, indicato con d(A,B). La distanza soddisfa le seguenti proprietà:

• d(A,B)=0 se e solo se A=B;
• d(A,B)=d(B,A);
• considerati nel piano tre punti A, B e C
• i tre punti sono allineati e A<C<B se e solo se d(A,B)=d(A,C)+d(C,B);
• i tre punti non sono allineati se e solo se d(A,B)<d(A,C)+d(C,B).

ASSIOMI DI CONGRUENZA

A8

Tutte le rette sono congruenti tra loro.

A9

Tutte le semirette sono congruenti tra loro.

A10

Tutti i piani sono congruenti tra loro.

A11

Tutti i semipiani sono congruenti tra loro.

ASSIOMA DEL TRASPORTO DI UN SEGMENTO

A12

Per ogni segmento AB e per ogni semiretta r di origine O esiste sempre un punto C appartenente alla semiretta r tale che il segmento AB sia congruente al segmento OC.

ASSIOMA DI INVERTIBILITA’ DI UN SEGMENTO

A13

Per ogni segmento AB esiste una isometria che trasforma il segmento in sé, in modo che il corrispondente del punto A sia B e quello del punto B sia A.

ASSIOMA DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI

A14

Data in un piano una semiretta di origine O si può determinare, in ognuno dei semipiani generati dalla retta cui la semiretta appartiene, una semiretta di origine O tale che l’angolo che le due semirette formano sia congruente a un angolo dato.

ASSIOMA DI INVERTIBILITA’ DEGLI ANGOLI

A15

Dato un angolo aÔb esiste una isometria che trasforma l’angolo in sé stesso in modo tale che la semiretta a abbia come corrispondente la semiretta b e che a b corrisponda a.

ASSIOMA DI ARCHIMEDE

A16

Dati due segmenti non congruenti esiste sempre un segmento multiplo del minore che supera il maggiore.

ASSIOMA DELLA DIVISIBILITA’

A17

Dato un qualsiasi segmento e un numero intero n³1, esiste ed è unico il sottomultiplo del segmento secondo il numero n dato.

ASSIOMA DI ARCHIMEDE

A18

Dati due angoli non congruenti esiste sempre un angolo multiplo del minore che supera il maggiore.

ASSIOMA DELLA DIVISIBILITA’ DEGLI ANGOLI

A19

Ogni angolo a è sempre divisibile in un unico modo in un numero intero n³1 di angoli tra loro congruenti aventi per vertice il vertice di a.

ASSIOMA DELL’AMPIEZZA ANGOLARE

A20

A ogni angolo convesso è associato un numero reale positivo o nullo che si chiama ampiezza dell’angolo tale che:

• è uguale a 0 se l’angolo è nullo;
• è uguale a 180 se l’angolo è piatto;
• se b è una semiretta interna all’angolo aÔc allora l’ampiezza dell’angolo aÔc è uguale alla somma delle ampiezze degli angoli aÔb e bÔc;
• per ogni numero a reale positivo minore o uguale a 180 esiste un angolo convesso la cui ampiezza è a;
• angoli congruenti hanno la stessa ampiezza.

ASSIOMA DI EUCLIDE

A21

Fissati, in un piano p, una retta r e un punto P che non le appartiene, per P passa una e una sola retta parallela a r.

ASSIOMA RELATIVO ALLA CIRCONFERENZA

A22

Data una circonferenza, ogni segmento e ogni arco di linea che unisce un punto interno della circonferenza con un punto a essa esterno la interseca in un solo punto.

ASSIOMI RELATIVI ALL’EQUIVALENZA

A23

Due superfici congruenti sono equivalenti.

A24

L’equivalenza tra superfici piane gode delle proprietà:

• riflessiva: ogni superficie piana è equivalente a se stessa, cioè A≐B;
• simmetrica: se la superficie piana A è equivalente alla superficie piana B è vero anche il contrario, quindi se A≐B allora B≐A;
• transitiva: se la superficie piana A è equivalente alla superficie piana B e questa è equivalente alla superficie piana C allora A e C sono tra loro equivalenti, cioè se A≐B e B≐C allora A≐C.

A25

Somme e differenze di superfici equivalenti sono equivalenti.

A26

Una superficie piana limitata non è equivalente a una sua parte.

ASSIOMI RELATIVI ALLA CIRCONFERENZA

A27

Un arco di circonferenza, minore della semicirconferenza, è maggiore della corda da esso sottesa.

A28

Un arco di circonferenza individuato dalle tangenti condotte per un punto esterno alla circonferenza è minore della somma dei segmenti di tangenza.

ASSIOMA RELATIVO AL PIANO E ALLO SPAZIO

A29

Il piano è un sottoinsieme proprio dello spazio.

ASSIOMA DI PARTIZIONE DELLO SPAZIO

A30

Ogni piano divide i punti dello spazio in due sottoinsiemi non vuoti, chiamati e contenenti ciascuno il piano stesso, detto origine dei semispazi.
Ogni punto dello spazio, a esclusione dei punti del piano origine, appartiene a un solo semispazio.
Se due punti appartengono allo stesso semispazio, allora il segmento che li unisce non ha punti in comune con il piano origine.
Se due punti appartengono a semispazi diversi, allora il segmento che li unisce incontra il piano origine in un punto.

ASSIOMA “PRINCIPIO DI CAVALIERI”

31

Due solidi sono equivalenti se s possono disporre, rispetto a un piano, in modo che siano equivalenti le loro sezioni con un qualunque piano parallelo a quello dato.