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Una disequazione di secondo grado si presenta, nella sua forma normale, come segue:
dove a, b e c sono numeri reali (
) e al posto del segno “>” può esserci “<” oppure “
” o “
”.
Per risolvere una tale disequazione, bisogna, anzitutto, trovare le soluzioni dell’equazione associata, cioè della:
(Si ricorda che per risolvere una tale equazione si utilizzano le seguenti formule:
).
Si possono presentare i seguenti tre casi:
si hanno due soluzioni reali e distinte x1 e x2;
si hanno due soluzioni reali e coincidenti x1=x2;
non si hanno soluzioni reali, l’equazione è impossibile.
Tornando alla disequazione, bisogna tener presente che:
1. 
il trinomio assume il segno del primo coefficiente (cioè
di a) all’esterno dell’intervallo delle due soluzioni. Per
x=x1 e per x=x2 il trinomio è uguale a zero.
2. 
il trinomio assume il segno del primo coefficiente per
ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per
x=x1 il trinomio è nullo.
3. 
Il trinomio assume il segno del primo coefficiente per
ogni x e non è mai nullo.
Vediamo alcuni esempi risolti.
Esempio 1.
Si deve risolvere la seguente: 
Si risolve prima l’equazione associata: 
; (a=+1; b=+5 ; c=-6)
Siamo nel primo caso, quello in cui “il trinomio assume il segno del primo coefficiente (cioè di a) all’esterno dell’intervallo delle due soluzioni. Per x=x1 e per x=x2 il trinomio è uguale a zero”. Il valore del primo coefficiente è “+1”, quindi il trinomio assume segno positivo all’esterno dell’intervallo delle soluzioni. Poiché la disequazione iniziale è 
, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è positivo, cioè la disequazione è verificata per x<-6 o x>+1.
Esempio 2.
Si deve risolvere la seguente: 
Si risolve prima l’equazione associata: 
; (a=-6; b=+1 ; c=+1)
Siamo nel primo caso, quello in cui “il trinomio assume il segno del primo coefficiente (cioè di a) all’esterno dell’intervallo delle due soluzioni. Per x=x1 e per x=x2 il trinomio è uguale a zero”. Il valore del primo coefficiente è “-6”, quindi il trinomio assume segno negativo all’esterno dell’intervallo delle soluzioni.
Poiché la disequazione iniziale è
, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è negativo o nullo, cioè la disequazione è verificata per 
o 
.
Esempio 3.
Si deve risolvere la seguente: 
Si risolve prima l’equazione associata: 
; (a=+9; b=-30; c=+25)
Siamo nel secondo caso, quello in cui 
“il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x=x1 il trinomio è nullo”. Il valore del primo coefficiente è “+9”, quindi il trinomio assume segno positivo per ogni x tranne che per 
. Poiché la disequazione iniziale è 
, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è negativo o nullo, cioè la disequazione è verificata per 
.
x2
x1
Esempio 4.
Si deve risolvere la seguente: 
Si risolve prima l’equazione associata: 
; (a=-81; b=+18; c=-1)
Siamo nel secondo caso, quello in cui 
“il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x=x1 il trinomio è nullo”. Il valore del primo coefficiente è “-81”, quindi il trinomio assume segno negativo per ogni x tranne che per 
dove è nullo. Poiché la disequazione iniziale è
, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è negativo o nullo, cioè la disequazione è verificata per ogni x.
Esempio 5.
Si deve risolvere la seguente: 
Si risolve prima l’equazione associata: 
; (a=+4; b=+4; c=+1)
Siamo nel secondo caso, quello in cui 
“il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x=x1 il trinomio è nullo”. Il valore del primo coefficiente è “+4”, quindi il trinomio assume segno positivo per ogni x tranne che per 
dove è nullo. Poiché la disequazione iniziale è 
, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è negativo. Poiché il trinomio non è mai negativo, si conclude che la disequazione non è mai verificata, è impossibile.
Esempio 6.
Si deve risolvere la seguente: 
Si risolve prima l’equazione associata: 
; (a=-9; b=+6; c=-1)
Siamo nel secondo caso, quello in cui 
“il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x=x1 il trinomio è nullo”. Il valore del primo coefficiente è “-9”, quindi il trinomio assume segno negativo per ogni x tranne che per 
dove è nullo. Poiché la disequazione iniziale è 
, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è positivo o nullo. Poiché il trinomio non è mai positivo, si conclude che la disequazione è verificata solo per 
.
Esempio 7.
Si deve risolvere la seguente: 
Si risolve prima l’equazione associata: 
; (a=+1; b=-2; c=+10)
(l’equazione non ha soluzioni)
Siamo nel terzo caso, quello in cui 
e “Il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x e non è mai nullo”. Il valore del primo coefficiente è “+1”, quindi il trinomio assume segno positivo per ogni x.
Poiché la disequazione iniziale è 
, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è positivo. Poiché il trinomio è sempre positivo, si conclude che la disequazione è verificata sempre, cioè per ogni x.
Esempio 8.
Si deve risolvere la seguente: 
Si risolve prima l’equazione associata: 
; (a=-1; b=+4; c=-5)
(l’equazione non ha soluzioni)
Siamo nel terzo caso, quello in cui 
e “Il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x e non è mai nullo”. Il valore del primo coefficiente è “-1”, quindi il trinomio assume segno negativo per ogni x.
Poiché la disequazione iniziale è 
, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è positivo o nullo. Poiché il trinomio è sempre negativo, si conclude che la disequazione non è mai verificata, cioè è impossibile.
Fonte: http://www.webalice.it/rcicero/appunti%20maths/Disequazioni%20SecondoG.doc
Sito web da visitare: http://www.webalice.it/rcicero/
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