Esercizi svolti sui limiti

NOTA 1 -  Il limite si presenta come Forma di Indecisione 

NOTA 2 -  Non si tratta di una Forma di Indecisione

NOTA 3 -  F.I. 
Generalizzando opportunamente, si vede che:

REGOLA: il limite di un polinomio, al tendere della variabile a infinito ( MPSetEqnAttrs('eq0009','FFFF99',3,[[18,7,0,-1,-1],[23,9,0,-1,-1],[29,11,0,-1,-1],[26,9,0,-1,-1],[35,13,0,-1,-1],[43,15,0,-2,-2],[71,26,-1,-3,-3]])  o MPSetEqnAttrs('eq0010','FFFF99',3,[[18,5,-1,-1,-1],[23,7,-1,-1,-1],[28,8,-1,-1,-1],[25,7,-1,-1,-1],[33,10,-1,-1,-1],[42,12,-2,-2,-2],[69,20,-2,-3,-3]])  ),
MPDeleteCode('eq0010') MPDeleteCode('eq0009') può,  eventualmente,  presentarsi come Forma di Indecisione (F.I.),
ma alla fine risulta sempre infinito;
per determinare il segno di questo infinito basta andare a vedere
come si comporta il termine di grado massimo.
Possiamo dare una dimostrazione generale di questa regola nel modo seguente:

Ora, poiché il contenuto della parentesi tende a 1, il limite considerato è uguale al limite cui tende il monomio , che è poi il primo termine del polinomio in questione. La regola è così dimostrata.
(Osserviamo che al tendere di x a , il monomio  tende a , con un segno che dipende in  modo ovvio dal segno di   e, nel caso  , dalla parità o disparità dell’esponente m)

Insomma, il comportamento di un polinomio al tendere della variabile a infinito è determinato dal comportamento del termine di grado massimo, che risulta sempre “caratterizzante”, anche nei casi in cui nella somma algebrica si abbia un “conflitto” di infiniti.
A parte la dimostrazione formale che abbiamo dato, cerchiamo di comprendere bene questo fatto, andando a riprendere, per esempio, il primo limite proposto:
.
Qui si ha un “conflitto” fra il tendere a  del termine  e il tendere a   del termine , che è sommato algebricamente a .
Il termine , rispetto al termine , è più “forte” in quanto al coefficiente, ma inferiore in quanto al grado; però, quando x diventa molto grande, il coefficiente “perde di importanza” ed è in definitiva il grado a decidere il conflitto.
Nel nostro caso, il grado inferiore “penalizza” il termine  , che tende all’infinito meno rapidamente rispetto a .
Ad esempio, con  x=1000,  risulta , ma si ha già  che prevale nettamente su . 
Il termine “vincente”, quello che tende all’infinito con maggiore rapidità, è quindi .
Pertanto,  nel “tiro alla fune” (dove  “tira” verso  e   “tira” verso  ),  trionfa, per via del grado superiore, il termine ,  e la somma algebrica, in definitiva, tende a  .

D’ora in poi, dovendo determinare il limite di un polinomio al tendere della variabile a MPSetEqnAttrs('eq0038','FFFF99',3,[[16,9,0,-1,-1],[20,11,0,-1,-1],[24,13,0,-1,-1],[22,11,0,-1,-1],[29,15,0,-1,-1],[36,18,0,-2,-2],[60,31,0,-3,-3]]) ,
non staremo più a raccogliere x elevato all’esponente massimo, come abbiamo fatto nei primissimi esercizi; applicheremo invece la regola stabilita, vale a dire concluderemo immediatamente che il limite è infinito, e per trovare il segno di questo infinito guarderemo come si comporta il termine “caratterizzante”, cioè il termine di grado massimo del polinomio.

Esempi:

	NOTA 5 - Si tratta di una  F.I.  .  Ci attendiamo che sia il denominatore a tendere all’infinito più rapidamente (per via del grado superiore) e quindi che il limite sia 0. Per  maggiore sicurezza, raccogliamo sia a numeratore che a denominatore, x elevato all’esponente più alto, in modo da poter poi semplificare. NOTA 6 - I termini , il cui numeratore è costante e il cui denominatore tende a , sono “evanescenti” (=tendenti a zero). Il numeratore dell’ultima frazione ottenuta tende a 7, mentre il denominatore, prodotto di un fattore che tende a   per un fattore che tende a 1, tende a .  Pertanto il limite è
	NOTA 7 - F.I.  .   Questa volta ci si attende che il limite sia infinito, perché è il numeratore ad avere grado più alto e quindi a tendere all’infinito più rapidamente. NOTA 8 - I termini , il cui numeratore è costante e il cui denominatore tende a , sono “evanescenti” (=tendenti a zero).
	NOTA 9 - F.I.  .   In questo caso numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. Cosa succederà?

E’ possibile generalizzare quanto ci suggeriscono gli esempi di cui sopra, e concludere che, per determinare il limite di una funzione “razionale fratta” (=rapporto fra due polinomi), basta guardare i gradi dei polinomi a numeratore e a denominatore:

• se prevale il grado del denominatore, il limite è 0;
• se prevale il grado del numeratore, il limite è infinito;
• se num. e denom. hanno lo stesso grado, il limite è uguale al rapporto fra i coefficienti dei termini di grado massimo.

Infatti:

A questo punto: 

• la frazione  , tenuto conto dei termini evanescenti, tende ad  ,
• mentre per quanto riguarda la potenza   avremo che: 

… da cui seguono le regole prima enunciate.

Nel caso in cui   e il limite sia  ,  stabilire il segno di questo  è molto banale:
tale segno dipende dalla parità o disparità della differenza m-n, combinata con la negatività o positività del rapporto  a0/b0
 Altri esempi: