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Una delle definizioni più naturali e più comuni della logica presenta questa disciplina come l’analisi dei metodi di ragionamento. Nello studio di questi metodi, la logica si interessa alla forma più che al contenuto dell’argomento e quindi uno dei compiti più importanti della logica è la formalizzazione sistematica dei metodi validi di ragionamento. Questa scienza si chiama “Logica Matematica”.
La logica matematica, come disciplina a sé, è relativamente recente; nasce, infatti, negli anni tra la fine dell’800 e l’inizio del ‘900 ed è attualmente oggetto di insegnamento nei corsi di studio universitari.
Il connubio tra Logica da una parte (come branca della Filosofia) e Matematica dall’altra, esprime, forse, il legame più sottile tra questi due modi di pensare e di indagare, che ha origini antiche in domande apparentemente semplici ma di rara profondità: cosa è un numero, cosa significa dimostrare, cosa è l’infinito, cosa è lo spazio, cosa è il tempo.
Oggi sappiamo che il concetto di numero si può precisare nell’ambito della teoria degli insiemi ponendo 0 = Æ, 1 = {0}, 2 = {0,1} e così via; i sistemi formali precisano la nozione di dimostrazione, di deduzione, di teorema. Spazio e tempo sono legati nella Teoria della Relatività; infiniti ed infinitesimi (potenziali) sono alla base del Calcolo Infinitesimale; l’infinito attuale è organizzato nella gerarchia dei cardinali transfiniti di Cantor.
Ma il problema ultimo resta quello della (dimostrazione della) coerenza di una teoria.
Una lettura interessante in proposito può essere il libro La ribellione del numero di Paolo Zellini.
Il programma Hilbertiano di sviluppare l’aritmetica e quindi tutta la matematica su basi logiche (sistemi R e S) ha avuto, con i teoremi di Gödel, un effetto dissacrante sulla matematica e sui matematici, inficiando la fede nel metodo assiomatico-deduttivo. La crisi fondazionale della Matematica, che si è accompagnata a quella della Fisica (con il principio di indeterminazione di Heisenberg) ha tormentato generazioni di matematici, ma si è risolta, come spesso accade, nella apertura di nuovi orizzonti e nella nascita di nuovi filoni di indagine, relegando il problema della non contraddittorietà, sempre latente in ogni teoria, all’ambito puramente logico e non matematico.
Una delle branche più affascinanti della Logica Matematica porta il nome di Teoria dei Modelli. Per comprendere pienamente la funzione della teoria dei modelli, locuzione dovuta a Tarski, è necessario richiamarsi a due nozioni fondamentali della logica matematica: quella di linguaggio formale e quella di interpretazione o modello di un dato linguaggio. In maniera molto sommaria si potrebbe dire che un linguaggio formale è sostanzialmente costituito da una lista di simboli e da precise regole mediante le quali si possono costruire formule con tali simboli; una interpretazione è un modo di definire la nozione di verità, cioè di riconoscere se una formula è vera o falsa in un senso prefissato. Esistono numerose tecniche per la costruzione di modelli. La distinzione tra linguaggio formale e modello, porta a distinguere, inoltre, proprietà sintattiche da proprietà semantiche. La sintassi si riferisce infatti alla pura struttura formale del linguaggio, mentre la semantica riguarda l'interpretazione e il significato del linguaggio formale. Ad esempio, la lunghezza di una formula o l’insieme dei simboli che in essa occorrono, è una proprietà sintattica; la verità o falsità di una formula in un modello è invece una proprietà semantica.
È importante sottolineare che la teoria dei modelli, nonostante la dicitura, non studia i modelli, ma le relazioni tra linguaggio formale e relative interpretazioni o modelli.
La logica aristotelica: il sillogismo
Fonte: http://www.dm.uniba.it/ipertesto/logica/logicama.doc
Sito web da visitare: http://www.dm.uniba.it
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