Matematica attuariale

 

 

 

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Matematica attuariale

 

SCHEDE SULLA MATEMATICA ATTUARIALE

Cenni sul ramo vita

Le assicurazioni distinguono la loro attività in due rami: il ramo vita e il ramo danni.

 

Il ramo vita tratta soltanto di eventi che riguardano la vita umana, cioè morte e sopravvivenza.

 

Il ramo vita tratta di tutto il resto: responsabilità civile, danni, incendio, infortuni, malattia...

 

La matematica attuariale è la matematica che le assicurazioni usano per calcolare i rapporti fra le loro prestazioni (capitali e rendite) e le prestazioni dei clienti (premi unici o annui).

 

Il termine “cliente” è generico; in realtà riassume tre parti di un contratto vita.

Il contraente: la persona che firma il contratto (ed è tenuto a pagare il premio).

L’assicurato: la persona sulla cui sopravvivenza o morte si scommette (bisogna sempre ricordare che la struttura di un contratto assicurativo è uguale a quella di una scommessa), senza il cui assenso il contratto non vale.

Il beneficiario: la persona che riceve la prestazione della compagnia se capita l’evento su cui si è scommesso.

 

Le tre persone possono benissimo essere distinte: ad esempio (tipico), un padre è contraente, da solo, in una polizza temporanea morte in cui gli assicurati sono entrambi i genitori e i beneficiari sono i figli.

 

Le coperture assicurative tipiche del ramo vita sono le seguenti.

Temporanea morte: si ha quando la compagnia paga (non importa se un capitale o una rendita) alla morte dell’assicurato, ma soltanto se la morte capita entro una data scadenza (motivo per cui è chiamata temporanea).

A vita intera: si ha quando la compagnia paga (non importa se un capitale o una rendita) alla morte dell’assicurato, senza alcuna scadenza (il motivo del nome). È una copertura rara, tanto che non verrà ripresa nel seguito.

A capitale differito: si ha quando la compagnia paga un capitale se l’assicurato sopravvive oltre una certa scadenza.

Mista: si ha quando la compagnia paga un capitale sia se l’assicurato sopravvive oltre una certa scadenza sia se muore entro la stessa scadenza.

Rendita vitalizia (pensione integrativa, pensione privata): si ha quando la compagnia paga una rendita a vita se l’assicurato sopravvive oltre una certa scadenza.

Le tavole di mortalità

Per trattare matematicamente di questi concetti, bisogna conoscere uno strumento fondamentale, le tavole di mortalità.

Queste tavole sono statistiche elaborate dall’Istat, in cui viene dato, per ogni età x compiuta e per i due sessi, il numero di sopravviventi l_x , fatti 100.000 i nati.

L’Istat aggiunge poi altre colonne di elaborazioni numeriche, che oggi, grazie ai fogli elettronici, non servono più e di cui non tratteremo, ma che comunque si potrebbero ottenere facilmente proprio con un foglio elettronico.

Le tavole vengono rivedute spesso, ma vengono rifatte ogni 10 anni, in occasione dei censimenti; il prossimo sarà nel 2011.

Ecco un esempio di tavola.

 

 

Ad esempio, su 100.000 nati, arrivano a compiere 50 anni l₅₀ = 91.822 maschi o l₅₀ = 95.425 femmine.

L’ultima età presente in una tavola di mortalità (in questo caso è 104), chiamata età terminale, può essere diversa da tavola a tavola, perciò nelle formule spesso la si indica con il simbolo generico w.

Le probabilità nel ramo vita

Conviene introdurre l’argomento con alcuni esempi.

 

Esempio: qual è la probabilità per un neonato femmina di arrivare a 90 anni?

Si consideri la probabilità in senso frequentistico, come numero dei casi osservati a favore dell’evento sul totale dei casi osservati.

I casi osservati totali sono tutti i neonati femmine, cioè l₀ = 100.000.

I casi osservati a favore della sopravvivenza sono tutte le femmine che compiono 90 anni, cioè l₉₀ = 15.068.

La probabilità cercata, che si scrive ₉₀p₀ , è l₉₀/l₀ = 15.068/100.000 = 0,15068.

 

In generale, _np_x = l_x+n/l_x è la probabilità che una persona di età x viva almeno altri n anni.

 

Esempio: qual è la probabilità che un trentenne maschio muoia senza compiere i cinquant’anni?

I casi osservati totali sono tutti i trentenni maschi, cioè l₃₀ = 96.468.

I casi osservati a favore della morte sono tutti i maschi trentenni che non compiono cinquant’anni (bisogna togliere quelli che compiono 50 anni), cioè l₃₀-l₅₀ = 96.468-91.822 = 4.646.

La probabilità cercata è (l₃₀-l₅₀)/l₃₀ = 4.646/96.468 = 0,048161.

 

Questo calcolo serve soltanto come esercizio; le probabilità di morte utili per i calcoli attuariali sono di un altro genere, illustrato dall’esempio che segue.

 

Esempio: qual è la probabilità che un trentenne maschio muoia l’anno prima di compiere cinquant’anni?

Questo caso è diverso dal precedente, perché la morte dell’assicurato qui ha un solo anno per capitare, mentre là ne aveva 20.

I casi osservati totali sono tutti i trentenni maschi, cioè l₃₀ = 96.468.

I casi osservati a favore della morte sono tutti i maschi quarantanovenni (non più trentenni) che non compiono cinquant’anni, cioè l₄₉-l₅₀ = 92.352-91.822 = 530.

La probabilità cercata è (l₄₉-l₅₀)/l₃₀ = 530/96.468 = 0,005494.

Per questa probabilità, il simbolo comune è _19|1q₃₀ , ma qui si userà il simbolo più semplice ₁₉q₃₀ .

 

In generale quindi la probabilità di morire durante l’anno che comincia fra n anni è _nq_x = (l_x+n-l_x+n+1)/l_x .

Premesse generali ai calcoli seguenti

* I calcoli attuariali vengono fatti soltanto su base annua, non mensile o semestrale o altro, per motivi che risalgono a quando i computer non c’erano e quindi i conti dovevano essere per quanto possibile pochi e semplici. Si possono pagare anche rate mensili o semestrali di un premio, ma il loro valore non è determinato con la matematica attuariale.

* Bisogna anche ricordare un altro fondamentale aspetto del mondo assicurativo: le compagnie si fanno pagare sempre in anticipo, cioè alla firma del contratto o anche a inizio anno, mentre pagano in posticipo, cioè a scadenza o anche a fine anno.

* Il tasso a cui si scontano le prestazioni nei contratti assicurativi è chiamato tecnico ed è unico per ogni compagnia; di solito vale 2% o 3%.

* Per ogni possibile prestazione della compagnia bisogna trovare il valore attuale, cioè moltiplicare per il fattore di sconto (perché è un pagamento futuro), e atteso, cioè moltiplicare per la probabilità che capiti (perché non è un pagamento certo), parziale; poi bisogna sommare questi valori, per trovare il valore attuale e atteso totale; infine bisogna uguagliare questa somma al premio unico.

Quindi, in generale, si troverà che il premio unico pagato dal contraente deve equivalere al valore atteso (totale) delle prestazioni attualizzate pagate della compagnia.

* Nel seguito supponiamo che la scommessa con la compagnia sia equa, cioè che il valore atteso sia uguale per tutte le parti. Eventuali scostamenti dall’equità vengono introdotti in una fase successiva ai calcoli strettamente attuariali.

Dal premio unico al premio annuo

Quanto deve valere un premio annuo A per essere sostituibile ad un premio unico U?

Il premio unico U dovrà equivalere alla somma dei premi annui A, una volta che siano stati resi attuali, cioè moltiplicati per il fattore di sconto (perché sono pagamenti futuri), e resi attesi (parziali), cioè moltiplicati per la probabilità che capitino (perché non sono pagamenti certi).

Il primo premio annuo viene pagato subito, perciò è immediato e sicuro; non va moltiplicato per alcun fattore di sconto o alcuna probabilità, perché è già un valore sia attuale sia atteso.

Il secondo premio annuo viene pagato all’inizio del secondo anno, cioè dopo un anno dalla firma, perciò va sia attualizzato per 1 anno sia moltiplicato per la probabilità che l’assicurato sia ancora in vita a 1 anno dalla firma; indicando con v = 1/(1+r) il fattore di sconto, si ha dunque ₁p_xvA.

Il terzo premio annuo viene pagato all’inizio del terzo anno, cioè dopo due anni dalla firma, perciò va sia attualizzato per 2 anni sia moltiplicato per la probabilità che l’assicurato sia ancora in vita a 2 anni dalla firma; si ha dunque ₂p_xv²A.

Si continua così fino all’ultimo premio annuo, che viene pagato all’inizio dell’anno n, cioè dopo n-1 anni dalla firma, perciò va sia attualizzato per n-1 anni sia moltplicato per la probabilità che l’assicurato sia ancora in vita a n-1 anni dalla firma; si ha dunque _n-1p_xv^n-1A.

In sintesi, sommando i vari valori attuali attesi parziali dei premi annui e raccogliendo A a fattor comune, si ha l’uguaglianza seguente.

 

U = A(1+₁p_xv+₂p_xv²+...+_n-1p_xv^n-1).

 

Esempio: si vuole sapere qual è il premio annuo che equivale ad un premio unico di 3.000 euro, con un tasso tecnico del 2%, per un assicurato maschio di 40 anni, con durata 5 anni.

Anzitutto, si calcola v = 1/(1+0,02) = 0,9804.

Poi si compila la formula come 3.000 = A(1+₁p₄₀0,9804+₂p₄₀0,9804²+...+₄p₄₀0,9804⁴).

Poi si calcolano le singole probabilità: ₁p₄₀ = 95.025/95.224 = 0,99791, ₂p₄₀ = 94.807/95.224 = 0,99562, ..., ₄p₄₀ = 94.303/95.224 = 0,99033.

Quindi si calcola il coefficiente fra parentesi, che è 1+0,99791´0,9804+0,99562´0,9804²+...+0,99033´0,9804⁴.

Questa impostazione di calcolo, che mostra la capacità dello studente di ottenere i primi coefficienti e l’ultimo, è più che sufficiente per le verifiche in classe.

Per andare oltre e ottenere il risultato, conviene usare Excel in laboratorio o a casa; si trova così il coefficiente 4,78603.

Resta da risolvere l’equazione 3.000 = 4,78603A, che dà il premio annuo A = 626,82.

Il premio unico conviene a chi non vuole aspettare per ottenere la prestazione, il premio annuo conviene a chi non può pagare un premio unico tutto in una volta.

Copertura temporanea morte

Come sono legati il premio unico e il capitale in caso di morte entro una certa scadenza?

Il premio unico U deve equivalere alla somma di tutti i possibili pagamenti del capitale M, moltiplicati per il fattore di sconto e per la probabilità che capitino, cioè che l’assicurato muoia in uno qualunque degli anni che precedono la scadenza del contratto.

Il primo capitale viene pagato dopo 1 anno dalla firma, se l’assicurato muore, perciò va scontato per 1 anno e moltiplicato per la probabilità di morte entro 1 anno; si ha dunque ₀q_xvM.

Il secondo capitale viene pagato dopo 2 anni dalla firma, se l’assicurato muore, perciò va scontato per 2 anni e moltiplicato per la probabilità di morte entro 2 anni; si ha dunque ₁q_xv²M.

Continuando così, con una scadenza del contratto dopo n anni, si arriva all’ultimo capitale, che viene pagato dopo n anni dalla firma, se l’assicurato muore, perciò va scontato per n anni e moltiplicato per la probabilità di morte entro n anni; si ha dunque _n-1q_xvⁿM.

In sintesi, sommando i vari contributi dei capitali e raccogliendo M a fattor comune, si ha l’uguaglianza seguente.

 

U = M(₀q_xv+₁q_xv²+...+_n-1q_xvⁿ).

 

Esempio: al tasso tecnico del 3%, qual è il capitale di temporanea morte che una femmina trentenne ottiene dietro pagamento di un premio unico di 200 euro, se la scadenza è dopo 5 anni?

Anzitutto, si calcola v = 1/(1+0,03) = 0,970874.

Poi si compila la formula come 200 = M(₀q₃₀0,970874+₁q₃₀0,970874²+...+₄q₃₀0,970874⁵).

Poi si calcolano le singole probabilità: ₀q₃₀ = (97.880-97.832)/97.880 = 0,00049, ₁q₃₀ = (97.832-97.781)/97.880 = 0,000521, ..., ₄q₃₀ = (97.673-97.610)/97.880 = 0,000644.

Quindi si calcola il coefficiente fra parentesi, che è 0,00049´0,970874+0,000521´0,970874²+...+0,000644´0,970874⁵.

Il calcolo finale dà il coefficiente 0,002517 e quindi l’equazione 200 = 0,002517M, da cui si ottiene il capitale M = 200/0,002517 = 79.451,93 euro.

 

Una copertura di temporanea morte conviene a chi vuole garantire in caso di morte ad un beneficiario una somma ingente; tipicamente, conviene ad un genitore con figli piccoli, che vuole garantire loro un buon tenore di vita fino al momento un cui saranno autosufficienti.

Dato che le prestazioni della compagnia sono escluse dall’eredità, una copertura a vita intera conviene a chi voglia evitare che dopo la sua morte si applichino le quote legittime stabilite nel codice civile; basta indicare come beneficiario qualcuno che non avrebbe una quota legittima o ne avrebbe una minore di quanto voluto.

Copertura a capitale differito

Come sono legati il premio unico e il capitale in caso di sopravvivenza oltre una certa scadenza?

Il premio unico U deve equivalere al pagamento del capitale C, moltiplicato per il fattore di sconto e per la probabilità che il capitale sia pagato, cioè che l’assicurato sopravviva oltre la scadenza del contratto.

Esiste quindi un solo momento in cui il pagamento è possibile, cioè alla fine dell’anno di scadenza del contratto. In questo caso, il valore attuale atteso del capitale è _np_xvⁿC. Si ha subito l’uguaglianza seguente.

 

U = _np_xvⁿC.

 

Esempio: al tasso tecnico del 3%, qual è il capitale differito che una femmina trentenne ottiene dietro pagamento di un premio unico di 200 euro, se la scadenza è dopo 5 anni?

Anzitutto, si calcola v = 1/(1+0,03) = 0,970874.

Poi si compila la formula come 200 = C₅p₃₀0, 970874⁵.

Poi si calcola la probabilità: ₅p₃₀ = l₃₅/l₃₀ = 97.610/97.880 = 0,997242.

Quindi si calcola il coefficiente, che è 0,997242´0, 970874⁵ = 0,860229.

L’equazione è 200 = 0,860229C, da cui si ha C = 200/0,860229 = 232,50.

 

In astratto, una copertura a capitale differito conviene a chi vuole investire il proprio denaro, dato che la probabilità che l’assicurato muoia, e quindi che la compagnia eviti il pagamento, permette all’assicurazione di offrire più denaro di quanto ne offrirebbe la banca con lo stesso tasso di rendimento.

In concreto, le banche offrono tassi maggiori, perciò il confronto va fatto di volta in volta e difficilmente favorisce le assicurazioni. In ogni caso, l’età incide parecchio.

Copertura mista

Esiste anche una copertura che garantisce un capitale sia in caso di morte entro una certa scadenza sia in caso di sopravvivenza oltre quella scadenza, la copertura mista.

Il premio unico si trova sommando il valore attuale atteso delle due prestazioni della compagnia: U = M(₀q_xv+₁q_xv²+...+_n-1q_xvⁿ)+_np_xvⁿC.

Di solito, il capitale è lo stesso, perciò è C = M. Quindi usando soltanto C e raccogliendolo a fattor comune, si ottiene

 

U = C(₀q_xv+₁q_xv²+...+_n-1q_xvⁿ+_np_xvⁿ).

 

Esempio: si trovi il capitale per una mista ottenuta con i dati degli esempi sulla temporanea morte e il capitale differito.

Avendo già svolto gran parte dei calcoli con gli esempi precedenti, si può scrivere subito 200 = C(0,860229+0,002517), da cui si ottiene C = 200/0,862747 = 231,82.

Il capitale in questo caso è di gran lunga minore di quello temporanea morte e leggermente minore di quello differito; la differenza aumenterebbe, anche di parecchio, se l’assicurato fosse più anziano e se la durata fosse maggiore.

 

Dato che la prestazione della compagnia è più gravosa, si trova subito che, a parità di premio, il capitale è sensibilmente minore. Ma un capitale ridotto in caso di morte non è di alcuna utilità, perché non garantisce un accettabile tenore di vita ai beneficiari, che si suppone incapaci di ottenere un reddito per un certo numero di anni, mentre sottrae al capitale differito la sua convenienza economica.

Pur molto vendute, le miste non hanno alcuna giustificazione razionale; vengono scelte soltanto per avere ogni possibile copertura in ogni possibile direzione, obiettivo naturalmente irraggiungibile. Un po’ come farsi contemporaneamente buddista, cristiano e ateo perché “non si sa mai...”.

Le miste sono una copertura da evitare.

Copertura con rendita vitalizia

Come sono legati il premio unico e la rendita vitalizia, in caso di sopravvivenza oltre una certa scadenza?

Il premio unico U deve equivalere alla somma di tutti i possibili pagamenti della rendita R, moltiplicati per il fattore di sconto e per la probabilità che capitino, cioè che l’assicurato sopravviva in ogni anno di pagamento.

Qui c’è una difficoltà in più, che si poteva introdurre già con le altre coperture, ma che per una pensione integrativa è inevitabile: molte persone si decidono per una pensione integrativa parecchi anni prima che questa sia versata, perciò bisogna introdurre una nuova grandezza, cioè gli anni m che passano fra quando si firma il contratto e quando si riceve la prima rendita (di solito intorno ai 60 o 65 anni).

I libri di testo chiamano questa copertura “rendita vitalizia differita illimitata anticipata”. Questo è di gran lunga il caso più interessante nella realtà assicurativa, perciò è anche l’unico caso di rendita che trattiamo. Togliamo quindi gli attributi, comunque impliciti, di differimento, di illimitatezza e di anticipo.

Il premio unico U deve equivalere alla somma di tutti i possibili pagamenti della rendita R, moltiplicati per il fattore di sconto e per la probabilità che capitino, cioè che l’assicurato sopravviva in uno qualunque degli anni, fino all’età terminale w.

La prima rendita viene pagata m anni dopo la firma, se l’assicurato è ancora vivo, perciò va scontata per m anni e moltiplicata per la probabilità di essere ancora vivi dopo m anni dalla firma, perciò si ha _mp_xv^mR.

La seconda rendita viene pagata m+1 anni dopo la firma, se l’assicurato è ancora vivo, perciò va scontata per m+1 anni e moltiplicata per la probabilità di essere ancora vivi dopo m+1 anni dalla firma, perciò si ha _m+1p_xv^m+1R.

Si continua così fino all’ultima rendita, che viene pagata dopo w-x anni dalla firma, perciò va sia attualizzato per w-x anni sia moltiplicato per la probabilità che l’assicurato sia ancora in vita dopo w-x anni dalla firma, perciò si ha _w-xp_xv^w-xR.

In sintesi, sommando i vari contributi delle rendite e raccogliendo R a fattor comune, si ha l’uguaglianza seguente.

 

U = R(_mp_xv^m+_m+1p_xv^m+1+...+_w-xp_xv^w-x).

 

Esempio: al tasso tecnico del 2%, qual è il premio che deve pagare un maschio quarantacinquenne per avere una rendita annua vitalizia di 6.000 euro, a partire da quando avrà compiuto 65 anni?

Anzitutto, si calcola v = 1/(1+0,02) = 0,9804.

Poi si trova m = 65-45 = 20.

Quindi si trova w, che con la nostra tavola è 104, e w-x = 104-45 = 59.

Poi si compila la formula come U = 6.000(₂₀p₄₅0,9804²⁰+₂₁p₄₅0,9804²¹+...+₅₉p₄₅0,9804⁵⁹).

Bisogna ora calcolare le singole probabilità: ₂₀p₄₅ = 74.195/94.003 = 0,789283, ₂₁p₄₅ = 72.224/94.003 = 0,768316, ..., ₅₉p₄₅ = 5/94.003 = 0,000053.

Quindi si calcola il coefficiente fra parentesi, che è 0,789283´0,9804²⁰+0,768316´0,9804²¹+...+0,000053´0,9804⁵⁹ = 6,35297.

Il premio unico da pagare quindi è U = 6,35297´6.000 = 38.117,82 euro.

 

Una pensione integrativa rappresenta una quantità di denaro che non cesserà mai di arrivare finché si è in vita.

Può convenire a chi dispone di un certo capitale anche dopo aver firmato il contratto, in modo da avere abbastanza denaro per le emergenze.

Paradossalmente, può convenire anche a chi dispone di un capitale abbastanza piccolo da rischiare di esaurirlo quando si è ancora in vita e di finire i propri giorni nell’indigenza.

Naturalmente, le quantità esatte vanno valutate dalle singole persone, sulla base delle loro esigenze e delle loro aspettative.

Premi puri e caricati

Finora abbiamo calcolato il legame del premio unico con le altre grandezze usando la regola che la scommessa dev’essere equa. I premi in questo caso si chiamano puri.

Tuttavia, se così fosse, il guadagno atteso per la compagnia sarebbe nullo e nessuno lavorerebbe in un’assicurazione. Le compagnie dispongono di vari modi di generare un guadagno dai loro calcoli; il principale, più semplice e più antico è aggiungere alcune spese, chiamate caricamenti, ai premi assicurativi, che a questo punto si chiamano caricati.

I caricamenti sono espressi in percentuale.

 

Esempio: dato il premio puro di 300 euro, determinare il premio caricato, se il caricamento è del 12%.

Si ha il premio caricato di 300´(1+0,12) = 336 euro.

 

In alcuni casi, i caricamenti sono anche una percentuale della prestazione, ma non ci inoltreremo in questi calcoli.

Le gestioni separate

Oggigiorno le compagnie introducono nei contratti una rivalutazione delle loro prestazioni, in modo da garantire una certa difesa contro l’inflazione.

Per sostenere questa obbligazione, il capitale assicurato, che è sostanzialmente uguale al premio unico puro dei vari contratti, viene investito (con criteri prudenziali, dato che un’assicurazione tutto può fare tranne rischiare) in un fondo, chiamato gestione separata, legato alla compagnia stessa.

Tuttavia, non tutto il tasso di rendimento conseguito dal fondo, che si può chiamare g e varia di anno in anno, viene aggiunto ai premi, anzi. Ecco come si fa il calcolo in concreto.

Prima di tutto, una quota del tasso di rendimento del fondo viene trattenuta dai gestori. Soltanto la quota rimanente a, chiamata aliquota di retrocessione, viene applicata al tasso g. L’aliquota va dall’85% al 100%, ma quest’ultimo caso è poco frequente.

Inoltre, anche il tasso tecnico interviene nel calcolo: dato che questo tasso è già un rendimento garantito, la compagnia lo recupera escludendolo dal rendimento dei premi; ecco come: il rendimento effettivo dei premi è 1+ar; ma il rendimento effettivo è anche (1+r)(1+x), dove x è la parte di rendimento che supera il tasso tecnico garantito. Confrontando, risulta (1+x)(1+r) = 1+ag.

Isolando x, si ottiene

 

.

 

Il tasso effettivo di rendimento che si ottiene grazie ad una gestione separata è quindi ridotto rispetto al tasso a cui si rivaluta la gestione.

 

Esempio: con un tasso tecnico del 2% e un’aliquota di retrocessione del 90%, trovare qual tasso effettivo di rendimento corrisponde ad un tasso di rivalutazione della gestione separata pari al 3%.

Si ha x = (0,9´0,03-0,02)/(1+0,02) = 0,0069 = 0,69%.

 

Morale: non vi fate incantare dai rendimenti di una gestione separata.

 

Fonte: https://schedematematica.wikispaces.com/file/view/SCHEDE+SULLA+MATEMATICA+ATTUARIALE.doc

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