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Appunti di teoria della probabilità.
Più di 300 anni fa ebbe inizio quello che è stato definito “il capitolo più curioso della matematica”: la teoria della probabilità. A quei tempi era particolarmente diffuso il gioco d’azzardo e ben presto ci si pose il problema di sapere su quale risultato fosse “più conveniente “ puntare. Il primo che fece di questo argomento un vero e proprio ramo di ricerca matematica fu lo svizzero Giacomo Bernoulli (1713), mentre la prima sistemazione rigorosa e moderna di questa nuova scienza fu opera del francese Laplace (1812) nella sua famosa “Teoria analitica della probabilità”.
Oggi le nozioni di probabilità e statistica (disciplina gemella) sono presenti in gran parte del sapere: in fisica, chimica, biologia, medicina, psicologia, sociologia, scienze politiche, pedagogia, scienze amministrative e in tutti i campi dell’ingegneria.
La nozione di probabilità.
Definizioni preliminari.
Tutti conosciamo l’importanza che rivestono gli esperimenti nella scienza e sappiamo che vi è un fondamentale principio secondo il quale se si esegue ripetutamente un esperimento nelle stesse condizioni si arriva a risultati sostanzialmente uguali. Ci sono tuttavia degli esperimenti che, nonostante siano condotti nelle stesse condizioni, portano a risultati diversi: gli esperimenti di questo tipo sono detti casuali. Ad esempio possiamo pensare al lancio di una moneta il cui risultato può essere testa o croce, oppure al lancio di un dado in cui il risultato sarà un numero da 1 a 6.
L’insieme S di tutti i risultati possibili di un esperimento casuale è detto spazio dei campioni o spazio degli eventi.
Si chiama evento un sottoinsieme A dello spazio S dei campioni, cioè un insieme di risultati possibili. Risulta pertanto: 
.
Esempio: consideriamo l’esperimento casuale “si getti un dado e si osservi il numero che si presenta”. Allora lo spazio dei campioni sarà: 
. Consideriamo poi l’evento A “si presenti un numero pari”, avremo: 
.
L’algebra degli eventi corrisponde all’algebra degli insiemi: Ecco un piccolo decalogo:
è l’evento “A oppure B o entrambi”
è l’evento “sia A che B”
è l’evento “non A”
A-B è l’evento “A ma non B”
La nozione di probabilità con cui un certo evento può verificarsi è stata concepita dai matematici in modi diversi. Vediamo quali sono le differenti concezioni per stimare la probabilità.
Probabilità classica (detta anche probabilità a priori).
Si chiama probabilità P di un evento A il quoziente fra il numero di risultati favorevoli e il numero dei risultati possibili della prova, nell’ipotesi che tutti gli eventi siano ugualmente possibili (ipotesi di equiprobabilità). In formule:
La probabilità così definita gode delle seguenti proprietà:
la probabilità dell’evento certo è 1
) è: 
Probabilità frequentista (detta anche statistica o empirica o, ancora, a posteriori)
Se dopo aver ripetuto n volte un esperimento (n deve essere molto grande), un evento si è verificato h volte, allora la probabilità di questo evento è h/n.
Ad esempio, se lanciamo 1000 volte una moneta e troviamo che per 532 volte è venuto testa, si può stimare che la probabilità dell’evento “testa” è 532/1000 = 0.532.
Generalizzando, si può dire che la probabilità secondo la definizione frequentista si può stimare come:
E’ evidente che questo modo di stimare la probabilità di un evento presuppone due condizioni:
In sostanza, la definizione frequentista è giustificata da quella che in matematica si chiama legge empirica del caso: essa stabilisce infatti che, in una serie di prove ripetute nelle medesime condizioni, al crescere del numero delle prove, la frequenza relativa dell’evento ( cioè il n° di successi diviso il n° di prove effettuate) tende a coincidere con la sua probabilità.
Dunque, applicando la definizione frequentista non si ottiene esattamente il valore della probabilità di un evento, ma solo una sua approssimazione. Laddove è possibile è preferibile quindi utilizzare la definizione classica che è in grado di fornire valori esatti della probabilità.
Le due definizioni citate finora hanno certamente dei limiti. Nella prima si suppone che gli esiti delle prove siano equiprobabili: se ciò non accade la definizione classica non si può utilizzare. Pensiamo ad esempio ad un incontro di calcio fra due squadre di livello molto diverso: gli esiti possibili sono tre (1,x,2), ma se una delle due squadre è molto più forte dell’altra non si può certo affermare che tali esiti abbiano tutti uguale probabilità!
Per quanto riguarda la definizione frequentista, è evidente che essa si può applicare solo ad eventi ripetibili un gran numero di volte. Pensiamo ancora una volta ad un incontro di calcio: anche qui la definizione frequentista non è adatta in quanto evidentemente non si può pensare di ripetere l’incontro un gran numero di volte nelle stesse condizioni allo scopo di calcolare le frequenze dei possibili esiti!
Probabilità soggettiva.
Molto spesso nella vita di una persona succede di dover prendere delle decisioni che hanno, per la persona stessa, delle conseguenze economiche (guadagni o perdite) senza conoscere pienamente e con sicurezza le conseguenze di tali decisioni. Ciò avviene, ad esempio, quando si decide di comprare il biglietto di una lotteria o quando si sottoscrive un contratto di assicurazione. Nel contratto di assicurazione, infatti, un individuo versa una somma di denaro all’assicuratore stabilendo che l’individuo stesso, o persone da lui designate, riceveranno una determinata somma nel caso in cui si verificassero certi eventi sgradevoli (furto, incendio, incidenti…….). La somma ricevuta in caso di evento sgradevole rappresenta, com’è noto, il risarcimento.
In questo, ed in moltissimi casi simili, il soggetto umano prende delle decisioni economiche (versamento di certe somme di denaro) in relazione a certi eventi sui quali egli non ha un’informazione completa.
La definizione di probabilità secondo questa concezione è dovuta al matematico Bruno De Finetti e si può esprimere nel modo seguente:
la probabilità di un evento secondo un individuo è il prezzo che tale individuo ritiene equo pagare per ricevere un importo unitario nel caso in cui si verifichi l’evento o per non ricevere nulla nel caso in cui non si verifichi l’evento.
Ad esempio: se la probabilità di vittoria di un cavallo, per un dato scommettitore, è 0.3, significa che tale scommettitore è disposto a pagare 30 euro per vincerne 100 in caso di vittoria del cavallo.
Secondo questa definizione, quindi, la probabilità di un certo evento è il “grado di fiducia soggettivo” che l’individuo ha rispetto al verificarsi dell’evento stesso, secondo le sue informazioni e conoscenze. Un’ulteriore esempio: due diversi “bookmakers”, in relazione alla stessa corsa possono attribuire diverse probabilità di vittoria ad un determinato cavallo, perché uno di essi possiede informazioni che l’altro non ha (ad esempio sullo stato di salute del cavallo).
Paradossalmente, quindi, secondo tale impostazione la probabilità “non esiste” di per sé, ma dipende dall’individuo.
Probabilità assiomatica.
Come abbiamo notato, la probabilità è una parte della matematica alla quale sono possibili diversi approcci. In ambito matematico è nata quindi l’esigenza di dare alla teoria della probabilità una impostazione logico – formale adeguata. La moderna teoria della probabilità si basa su un approccio che si chiama “assiomatico” dovuto al matematico Kolmogorov (1933). Esso si fonda sulla definizione di funzione di probabilità e su tre assiomi che abbiamo già scritto nella definizione classica come proprietà:
ad ogni evento A nello spazio degli eventi è associato, tramite una funzione che chiamiamo funzione di probabilità, un numero reale P(A) nell’intervallo [0,1]in modo che siano soddisfatti tre assiomi
la probabilità dell’evento certo è 1
Come accennato, i tre assiomi sono proprietà della probabilità secondo la definizione classica: la differenza tra i due approcci sta proprio nel fatto che gli assiomi 2 e 3 dell’impostazione assiomatica sono proprietà che, secondo la definizione classica, sono dimostrabili con il linguaggio degli insiemi.
Alcuni importanti teoremi sulla probabilità.
Vediamo quali sono i teoremi e le proprietà fondamentali relativi al calcolo delle probabilità. Alcuni sono già stati citati in precedenza.
Þ teorema della probabilità totale
Si chiama probabilità dell’evento A condizionata all’evento B la probabilità che si verifichi l’evento A nell’ipotesi che si sia verificato l’evento B. Si indica con P(A/B).
Esempio: lanciando un dado, qual è la probabilità che esca il numero 6, nell’ipotesi che esca un numero pari?
La probabilità condizionata di un evento si calcola come:
cioè la probabilità composta di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del secondo condizionata al primo.
La regola che abbiamo appena scritto per la probabilità composta si semplifica se si hanno eventi indipendenti. Due eventi si dicono indipendenti se la probabilità di verificarsi dell’uno non influenza la probabilità di verificarsi dell’altro. Esempio: da un mazzo di 40 carte si estraggono 2 carte in successione e si vuole sapere la probabilità che entrambe siano di fiori. Se dopo la prima estrazione si reinserisce la carta nel mazzo, i due eventi sono indipendenti, mentre non lo sono se dopo la prima estrazione tale reinserimento non avviene.
Se due eventi sono indipendenti, la probabilità composta si calcola semplicemente come prodotto fra le due probabilità:
Tutte le regole precedenti permettono di calcolare la probabilità di un evento che può essere generato da diverse cause. Il teorema di Bayes permette di risolvere il problema inverso:
se si verifica l’evento E, qual è la probabilità che sia stato generato da una determinata causa Ci se l’evento stesso può avere diverse cause?
Il teorema si può esprimere nel modo seguente:
Nel caso particolare in cui le cause possibili dell’evento E siano solo due si ha:
Se le cause sono più di due basta generalizzare il denominatore al numero di cause presenti.
Va precisato che, per applicare il teorema, è necessario che le possibili cause di E formino una partizione dello spazio degli eventi S, cioè siano a due a due disgiunte e la loro unione sia tutto S.
Fonte: http://firemusic.altervista.org/appunti/mate/16-probabilita.doc
Sito web da visitare: http://firemusic.altervista.org
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