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Dai numeri naturali agli ottoniani
Quando, nella costruzione dei numeri, si passa dall’insieme N dei numeri naturali agli insiemi: Z dei numeri interi, Q dei numeri razionali, R dei numeri reali, si guadagna in proprietà operative su tali numeri, ottenendo, di volta in volta, strutture algebriche sempre più ricche. Le operazioni fondamentali sono l’addizione denotata con “+” e la moltiplicazione denotata con “ × ”.
(N,+) ed (N,×) costituiscono entrambi un monoide unitario commutativo, cioè le due operazioni sono associative, commutative e hanno elemento neutro rispettivamente nello 0 e nel numero 1.
Risulta infatti: " n ÎN : n + 0 = n, n × 1= n.
(Z,+) diventa un gruppo abeliano o commutativo poiché, oltre alle proprietà descritte per (N,+), ogni elemento di Z possiede simmetrico rispetto alla + , cioè:
" p ÎZ $ q Î Z tale che p + q = 0, e tale elemento viene chiamato opposto di p e denotato con - p.
(Z,×) è un monoide commutativo unitario con 1 come elemento neutro. Esso però non è un gruppo, poiché 1 e -1 sono i suoi unici elementi dotati di simmetrico rispetto a “×” .
Ricordiamo che: p ha simmetrico se $ q Î Z tale che p × q = 1.
Con la costruzione dei razionali si ottiene una struttura (Q,+,×) più ricca, detta corpo commutativo o campo, in quanto (Q,+) è un gruppo abeliano, e posto Q* = Q-{0}, (Q*,×) è anche esso un gruppo commutativo, cioè ogni numero razionale non nullo ammette inverso (simmetrico) per la moltiplicazione, e la moltiplicazione è distributiva a destra e a sinistra rispetto alla addizione.
La stessa situazione si presenta per (R,+,×), che risulta essere un campo totalmente ordinato e archimedeo, cioè R possiede una relazione di ordine totale, denotata “£ ”, definita da:
" x, y Î R x £ y Û$ z Î R, z ³ 0 tale che x + z = y,
che è compatibile con le due operazioni +, × e verifica l’assioma archimedeo.
Relazione di ordine significa che £ gode delle tre proprietà:
1) riflessività: " x Î R x £ x
2) antisimmetria: " x, y Î R x £ y , y £ x Þ x = y
3) transitività: " x, y, z Î R x £ y , y £ z Þ x £ z
Ordine totale: " x, y Î R x £ y Ú y £ x
compatibilità: " x, y, z Î R x £ y Þ x + z £ y + z
" x, y Î R 0 £ x, 0 £ y Þ 0 £ xy
archimedeo: " x, y Î R, x ³ 0, y ³ 0 $ n ÎN, n ¹0, tale che y < nx
Nel passaggio dal campo R dei numeri reali al campo C dei numeri complessi, se da un lato si arricchisce la struttura, consentendo tutte le operazioni algebriche, inclusa l’estrazione di radici, che in R non è sempre possibile, d’altro canto si perde l’ordinamento del campo. In accordo con l’assioma della scelta, C, come qualsiasi altro insieme, ammette una relazione di buon ordine, che però non può, in nessun caso, essere compatibile con le operazioni + e × in C.
Una relazione di ordine totale su un insieme X si dice di buon ordine se ogni parte non vuota di X possiede il più piccolo elemento.
A questo punto si può pensare di procedere in modo formalmente analogo per costruire nuovi insiemi numerici e studiarne le proprietà.
Se come insieme si ha C = R ´ R= R2 , cosa si può ottenere con C ´ C = R4 ?
L’insieme che si ottiene può essere dotato di una struttura di corpo detto corpo dei Quaternioni e denotato con H. Si perde, dunque, nel passaggio da C a H, la commutatività della moltiplicazione.
L’ulteriore passaggio, cioè la costruzione di una struttura su H ´ H = R8, denotato con Ca, che dà vita ai cosiddetti Ottoniani o numeri di Cayley, paga come prezzo la rinuncia alla associatività della moltiplicazione.
Così, mentre S1 (circonferenza di raggio 1 e centro 0 in R2) ha una struttura di gruppo abeliano, perché identificabile con il sottogruppo di (C*,×) costituito dai numeri complessi di norma 1, e S3 ha una struttura di gruppo non commutativo, perché identificabile con il sottogruppo di (H*,×) costituito dai quaternioni di norma 1, S7 non ha più struttura di gruppo, essendo venuta meno l’associatività in R8.
Si può infatti provare che nessuna sfera Sn Ì Rn+1, n ¹1,3 ammette una struttura di gruppo.
Fonte: http://www.dm.uniba.it/ipertesto/contando/numeri.doc
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