Primo teorema di Euclide

I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore

Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).

Primo teorema di Euclide

PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
Primo teorema di Euclide: In un qualunque triangolo rettangolo il quadrato costruito su di un cateto è equivalente ad un rettangolo le cui dimensioni sono l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.

Ipotesi:1) [ABC] triangolo rettangolo
2) Â = angolo retto
3) [AB] e [AC] = cateti
4) [BC] = ipotenusa
5) Q = [ACED] = quadrato Þ [AC] = [AD] = [EC] = [DE]
6) [CH] = proiezione del cateto [AC] sulla ipotenusa [CB]
7) R = [CHNM] = rettangolo
8) [BC] = [NH] = [CM]
9) [CH] = [MN]

Tesi: Il quadrato Q =[ACED] è equivalente al rettangolo R = [CHNM], cioè:
Q R

Premessa: Il quadrato, Q, ed il rettangolo, R, sono due parallelogrammi. Per verificare la loro equivalenza è necessario avere a disposizione un altro parallelogrammo, P, tale da essere equivalente sia al quadrato sia al rettangolo. È necessario, perciò, costruire il quadrato, il rettangolo ed il parallelogrammo che farà da tramite delle due figure in esame.
Costruzione: Sul cateto [AC] si costruisce il quadrato Q = [ACED].
Il segmento [CH] è la proiezione del cateto [AC] sull’ipotenusa [BC].
Sull’ipotenusa [BC] si costruisce il rettangolo R = [CHNM] le cui dimensioni sono:[CM] = [NH] = [BC] = ipotenusa, e [CH] = [MN] = proiezione del cateto [AC] sulla ipotenusa [BC].
Si prolunga il lato [DE] del quadrato [ACDE], si ottiene il segmento [ES].
Si prolungano i lati paralleli, [CM] e [HN], del rettangolo R fino ad incontrare il segmento [ES] nei punti F e G. In seguito a tale costruzione si è formato il quadrilatero P = [AGFC],che è un parallelogrammo. Infatti, considerando la definizione di parallelogrammo (un quadrilatero è un parallelogrammo se i suoi lati opposti sono paralleli) si ha: 1) i lati [FC] e [AG] sono paralleli per costruzione (si prolungano i lati paralleli, [CM] e [HN], del rettangolo R fino ad incontrare il segmento [ES] nei punti F e G); 2) i lati [FG] e [AC] sono paralleli poiché il lato [FG] si trova sul prolungamento del segmento [ED], che, a sua volta, è parallelo a [AC] in quanto lati opposti del quadrato Q.
Dimostrazione
Prima parte
Nella prima parte si dimostrerà che il quadrato Q = [ACED] e il parallelogrammo P = [ACFG] sono equivalenti (due parallelogrammi sono equivalenti se hanno la stessa base e la stessa altezza). Infatti: 1) Il segmento [AC] è la base comune sia del quadrato Q sia del parallelogrammo P; 2) In un parallelogrammo l’altezza è un segmento perpendicolare alla base ed indica anche la distanza fra la base ed il lato opposto e parallelo. In questo caso sela base è il lato [AC], lato comune al quadrato ed al parallelogrammo, alloral’altezza è il lato [AD]. Pertanto Il lato [AD] è altezza sia del quadrato sia del parallelogrammo.
In conclusione il quadrato Q ed il parallelogrammo P hanno la stessa base, [AC], e la stessa altezza, [AD], e, quindi, sono equivalenti (Q P).

Seconda parte
Nella seconda parte si dimostrerà che il parallelogrammo P = [ACFG] è equivalente al rettangolo R = [CHNM]. Anche in questo caso la equivalenza scaturirà dalla verifica che i due parallelogrammi hanno la stessa base e la stessa altezza.
Per dimostrare che hanno la stessa base (il segmento [CM] per il rettangolo, ed il segmento [FC] per il parallelogrammo) è necessario considerare i due triangoli [ABC] e [CEF].

[ABC] [CEF]

             Â    =       Ê       sono angoli retti per le ipotesi 2 e 5.
[AC] =    [EC]     i due segmenti sono uguali per l’ipotesi 5.
d     =      a        infatti:
I due triangoli, [ABC] e [CEF], per il secondo criterio di congruenza, sono congruenti. Essi, perciò, hanno congruenti: [FC] = [BC], [EF] = [AB], e . Delle tre uguaglianze, ai fini della dimostrazione, interessa la prima: [FC] = [BC].
Per l’ipotesi 8 si ha che [BC] = [CM], allora per la proprietà transitiva si deduce che [FC] = [CM]. Da questa uguaglianza scaturisce che il parallelogrammo ed il rettangolo hanno basi uguali ([FC] = [CM]).
Per il rettangolo R, se la base è il segmento [CM], allora l’altezza è il segmento [CH].
Per il parallelogrammo P, se la base è il segmento [CF], allora, per le stesse considerazioni svolte nella prima parte della dimostrazione, l’altezza è il segmento [CH].
In conclusione, il parallelogrammo P ed il rettangolo R hanno la stessa altezza [CH] ed hanno due basi congruenti, [FC] = [CM], pertanto sono equivalenti (P R)

Terza parte
Riunendo le conclusioni delle due parti si ha:
Q P (quadrato equivalente al parallelogrammo)
R P (rettangolo equivalente al parallelogrammo)
per la proprietà transitiva si ha
R P (rettangolo equivalente al quadrato)
Questa conclusione non è altro ciò che si voleva dimostrare (c.v.d.).

La versione algebrica del primo teorema di Euclide è la seguente:
Indicando con c1 la lunghezza del cateto [AC], l’area del quadrato Q è

Indicando con x e i rispettivamente i lati del rettangolo R, cioè:
x = [CH] = [MK]
i = [CM] = [HK] = [BC] = ipotenusa
l’area del rettangolo, R, risulta:
Area rettangolo = x×i
Dalla equivalenza del quadrato e del rettangolo si ha:

Teorema di Pitagora

Una conseguenza del teorema di Euclide è il teorema più noto della geometria euclidea: il teorema di Pitagora.
Applicando il teorema di Euclide al quadrato costruito sul cateto c1 si ottiene che Q1, [ADEC], è equivalente al rettangolo R1, [HCMK.]

ovvero:

Applicando lo stesso teorema al secondo quadrato, Q2, costruito sul secondo cateto, c2, si ottiene che il quadrato, [ABNS], è equivalente al rettangolo R2, [BHKL], cioè:

ovvero

Sommando i due rettangoli, R1 e R2, si ottiene il quadrato [BCML]. Infatti essi in comune uno stesso lato, [HK], che, per costruzione, è isometrico all’ipotenusa [BC]. Inoltre la somma degli altri due lati, [CH] e [HB] non è altro che la ipotenusa [CB]. Pertanto il lato del quadrato [BCML] non è altro che la ipotenusa del triangolo rettangolo [ABC].
Pertanto, per una proprietà delle figure equicomposte, si ha che il quadrato [BCML] è composta da due rettangoli, [HCMK] e [BHKL], che sono, rispettivamente, equivalenti ai quadrati Q1, [ADEC], e Q2, [ABNS]

Quindi: Il quadrato che viene costruito sulla ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (teorema di Pitagora).

Fonte: http://www.liceolanzafoggia.it/index.php/filemanager/download/726/

Sito web da visitare: http://www.liceolanzafoggia.it

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Il testo è di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente i loro testi per finalità illustrative e didattiche. Se siete gli autori del testo e siete interessati a richiedere la rimozione del testo o l'inserimento di altre informazioni inviateci un e-mail dopo le opportune verifiche soddisferemo la vostra richiesta nel più breve tempo possibile.

Primo teorema di Euclide

"Ciò che sappiamo è una goccia, ciò che ignoriamo un oceano!" Isaac Newton. Essendo impossibile tenere a mente l'enorme quantità di informazioni, l'importante è sapere dove ritrovare l'informazione quando questa serve. U. Eco

www.riassuntini.com dove ritrovare l'informazione quando questa serve