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SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
Secondo teorema di Euclide (enunciato): In un qualsiasi triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente ad un rettangolo le cui dimensioni sono le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Ipotesi: 1) [ABC] = triangolo rettangolo 2) Â = angolo retto 3) [AC] e [BA] = cateti 4) [BC] = ipotenusa 5) [AH] = altezza relativa all’ipotenusa 6) [CH] = proiezione del cateto [AC]sull’ipotenusa [BC] 7) [HB] = proiezione del cateto [AB] sull’ipotenusa [BC] 8) Q1 = [AEDH] = quadrato di lato [AH] 9) Q2 = [ACPN] = quadrato di lato [AC] 10) Q3 = [CHGF] = quadrato di lato [CH] 11) [CH] = [HG] = [FG] = [CF] = [ML] 12) [HB] = [GL] = [FM] 13) R = [FGLM] = rettangolo le cui dimensioni sono [FG] e [GL]
Tesi: Q1 |
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Costruzioni
Sull’altezza relativa all’ipotenusa, [AH], si costruisce il quadrato Q1 = [AHDE].
Sul cateto [AC] si costruisce i quadrato Q2 = [ACPN].
Sull’ipotenusa [BC] si costruisce un rettangolo R1 ([CHLM]) le cui dimensioni sono [CH] e [CM]. Il segmento [CM] è congruente all’ipotenusa [BC]:
[CM] = [HL] = [BC]
Il segmento [CM] è la somma di due segmenti:
[CM] = [CF] + [FM] = [CH] + [HD] (ipotesi 11 e 12)
Il rettangolo R1 viene suddiviso in un quadrato Q3, che ha per lato il segmento [CH], ed in un rettangolo R le cui dimensioni sono [FM] e [FG]. Pertanto si ha:
R1 
R + Q3
Dimostrazione
Prima parte
Si considera il triangolo rettangolo [ACH]: l’ipotenusa è il segmento [AC]; il primo cateto è il segmento [AH], altezza relativa all’ipotenusa [AB] del triangolo [ABC]; il secondo cateto è il segmento [CH], proiezione del cateto [AC], relativo al triangolo [ABC], sull’ipotenusa [BC]. Al triangolo [ACH] si applica il teorema di Pitagora, perciò si ha:
Q2 
Q1 + Q3
Seconda parte
Si considera il triangolo rettangolo [ABC]. A questo triangolo si applica il primo teorema di Euclide, perciò si ha:
Q2 
R1
Terza ed ultima parte
Il quadrato Q2 è equivalente sia al rettangolo R1 che alla somma dei due quadrati Q1 e Q2; per la proprietà transitiva, perciò, si ha che:
Q1 + Q3 
R1
Però il rettangolo R1 è composto dal rettangolo R e dal quadrato Q3 (R1 
R + Q3), pertanto l’equivalenza precedente si può scrive:
Q1 + Q3 
R + Q3
Eliminando da ambo i membri la quantità Q3, si ha che:
Q1 
R
pertanto: il quadrato Q1 costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo R le cui dimensioni sono le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, ed il teorema è dimostrato (C.V.D.).
Dal punto di vista algebrico il teorema ha la seguente forma:
L’area del quadrato, Q1, costruito sul’altezza relativa all’ipotenusa è:
Q1 = h2
L’area del rettangolo, R, le cui dimensioni sono le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, a e b, vale:
R = a×b
Poiché:
Q1 
R
allora si ha:
h2 = a×b
Fonte: http://www.liceolanzafoggia.it/index.php/filemanager/download/733/
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