FUNZIONI GONIOMETRICHE

Data una circonferenza di centro 0 e raggio r =1, associamo ad essa un sistema di riferimento cartesiano ortogonale 0xy , di origine 0, e poi segniamo sulla circonferenza un punto P e indichiamo con α l’angolo che il raggio OP forma con l’asse x.
Si hanno le seguenti definizioni:

 sen α =  = PM    (=yp)
cos α = = OM    (=xp)                                                               
tag α =
cosec α =
sec α =
cotag α =

• Per passare da gradi a radianti e viceversa

360 : gradi = 2π : radianti , oppure
180 : g = π : r

   Da ricordare
                                                                  

	sen α	cos α	tag α
I quadrante II quadrante III quadrante IV quadrante	+ + - -	+ - - +	+ - + -

    
Naturalmente:
- 1 ≤ sen α≤ 1
- 1 ≤ cos α≤ 1
-∞ ≤ tag α  ≤ ∞

Funzioni goniometriche di angoli notevoli:

  

radiante	gradi	sen α	cos α	tag α
	300
	450			1
	600

• Vale la seguente relazione fondamentale

 

sen2 α + cos2 α = 1
da cui si ricava la seguente tabella:

noto	senα	cosα	tagα
senα	senα
cosα		cosα
tagα			tagα

 

• Angoli associati  ( riduzione al primo quadrante)

 

sen(-α) = sen(3600-α) = -senα                     sen(1800α )=senα                   sen(900α )= cosα             

cos(-α) = cos(3600-α) = cosα                      cos(1800α )= - cosα                   cos(900α )=senα              

tag(-α) = tag(3600-α) = -tagα                     tag(1800α )=tagα

ESEMPI

• sen7000= sen(7000-3600) = sen3400 = sen(3400-3600) = sen(-200) = - sen200
• sen12300= sen(12300-10800) = sen1500= sen (1800-300) = sen300
• sen(-5800) = -sen5800= -sen(5800-3600) = -sen2200= -sen(1800+400) = -(-sen400) =sen400

 

• Equazioni goniometriche

 

Per le proprietà degli angoli associati,

Poiché   sen(1800- α )= senα ,   se x =x0 è soluzione, lo è pure x =1800- x0             ( +2kπ )

Poiché   cos(3600- α )= cosα ,   se x =x0 è soluzione, lo è pure x =3600- x0            ( +2kπ )

Poiché   tag(1800+ α )= tagα ,   l’unica soluzione sarà data da x0                           ( +kπ )

Tutte le equazioni goniometriche ( di qualsiasi grado) si possono ricondurre ai seguenti tre casi :

• senx = sen   che è risolta da   e 
• cosx = cos   che è risolta da  
• tagx = tag   che è risolta da    

ESEMPI    

 

 Risolvere l’equazione  sen (3x-20) = sen (5x+100)

Si avrà:
3x-20 = 5x+100+k3600                  Þ x1 = -60+k1800
3x-20 = 1800- (5x+100)+k3600      Þ  x2 = 21030l +k450

•  Risolvere l’equazione  cos (3x+200) = cos (3x-200)

Si avrà:
3x+200 = 3x-200+ k3600                       Þ impossibile
3x+200 = -3x+200+ k3600              Þ x = k600

• Risolvere l’equazione   tag (8x-400) = tag (2x+500)

Si avrà:
8x-400 = 8x-400+k1800                  Þ x = 150+k300

• Risolvere l’equazione   2sen2x-5cosx-4 = 0

Trasformando in funzione di cosx, si avrà:
2cos2x+5cosx+2 = 0
cosx =   da cui  cosx = -2  e  cosx = -
Si sono così ottenute due equazioni di primo grado di cui la prima non ammette soluzioni mentre la seconda, che possiamo scrivere cosx = cos1200 ammette le soluzioni 

 

• Formule di addizione e sottrazione

sen ( α ± β )= senα·cosβ ± cosα·senβ

cos ( α ± β )= cosα·cosβ  senα ·senβ
tag ( α ± β )=

 

• Formule di duplicazione

sen2α = 2senα·cos α

cos2α = cos2α – sen2α
tag2α =

 

• Formule di bisezione

 =    
cos =
tag =  =  =

 

• Formule di Prostaferisi   ( per trasformare somma o differenza in prodotto)

senα + senβ = 2sencos
senα - senβ = 2cossen
cosα + cosβ = 2coscos
cosα - cosβ = -2sensen

 

• Formule di Werner  ( per trasformare prodotto in somma o differenza)

senα·senβ =
cosα·cosβ =
senα·cosβ =

• Formule  parametriche 

Nelle varie trasformazioni delle funzioni goniometriche compaiono spesso i radicali.

Le formule parametriche ci permettono di trasformare le funzioni senza fare uso di radicali.
                                              

 

 

• Teoremi sui triangoli rettangoli

Conoscendo un lato e un angolo, questi teoremi ci permettono di risolvere un triangolo rettangolo.
In ogni triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente.
In ogni triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto o per la cotangente dell’angolo adiacente.

 a = c× senada cui     sena =
a = c× cosbda cui     cosb  =
Lo stesso vale per il cateto b.

a = b× tag a             da cui     tag a =             

a = b× cotagbda cui     cotagb =
Lo stesso vale per il cateto b.

 

 

 

 

 

 

• Risoluzione di un triangolo qualunque

I teoremi più comuni che vengono utilizzati per risolvere triangoli qualsiasi sono i seguenti:

  

TEOREMA DEI SENI

TEOREMA DEL COSENO (o di Carnot)

a2 = b2 + c2 - 2bc× cosa
b2 = a2 + c2 – 2ac× cosb
c2 = a2 + b2 – 2ab× cosg

TEOREMA DELLE PROIEZIONI

a = b×cosg + c× cosb
b = a× cosg + c× cosa
c = a× cosb + b× cosa

  

 

• Teorema della corda

In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto
del diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza che
insiste sulla corda. Cioè:
AC = 2r× sena

 

• Area del triangolo ( quando si conoscono tre elementi)

S =

 

• S =    (Erone)

dove p è semiperimetro.