Corriente Alterna

 

• Introducción

Hasta ahora hemos hablado únicamente de tensión en Corriente Directa (DC), el cual lo suministra una batería. Estas pueden darle un potencial a muchos instrumentos, tales como linternas, radios y calculadoras. Desafortunadamente no ofrecen los altos niveles de energía que se requieren en el hogar o la industria. La Ley de Faraday conocida como Ley del Generador, es la segunda fuente para obtener potencial electromotriz. Un generador puede suministrar la energía para toda una ciudad, ya que se trata de corriente alterna (AC)

La Corriente Alterna se puede bajar o elevar mediante transformadores según las necesidades. En sistemas de transmisión de energía a larga distancia, se eleva el voltaje y se transporta la energía con una corriente muy baja. Esto disminuye las pérdidas en el circuito y el calibre de los cables. Con ello se ahorra en el costo del cobre y se satisfacen los requisitos económicos. La potencia se reduce a bajo voltaje una vez que llega a los centros de consumo (ciudades) para poderla manejar con relativa seguridad. La corriente alterna se puede convertir en corriente directa después de ser rectificada y filtrada.

Las fuentes de corriente se pueden clasificar en corriente directa y corriente alterna, y a continuación las describimos brevemente:

 

• Corriente Directa (DC)

La polaridad de la tensión y la dirección de la corriente que no se puede cambiar en el tiempo se conoce como Corriente Directa (DC). Ver Fig. 8.1

                                      

Fig. 8.1 – Forma de la Onda de la Tensión o Corriente Directa

 

 

• Corriente Alterna (AC)

En la corriente alterna, la polaridad de la tensión y la dirección de la corriente se pueden cambiar con el tiempo. En la Fig. 8.2 se observan varias fuentes de corriente alterna; en la Fig. 8.2(a) se presenta una onda senoidal; en la Fig. 8.2(b) se ve una onda cuadrada alterna, y en la Fig. 8.2(c) se tiene una onda triangular alterna.

 

    (a) Onda senoidal                   (b) Onda cuadrada                            (c) Onda triangular

Fig. 8.2 – Algunos tipos de ondas alternas

En un circuito directo, la tensión y la corriente están en la misma fase, por lo que los procesos de operación son limitados en operaciones con números reales. En el circuito alterno, la diferencia de fase entre la corriente y la tensión está entre 0 ~ 90 grados. Por lo tanto, necesitamos usar números complejos para realizar las operaciones. Esto significa que el teorema para un circuito directo es similar al de un circuito alterno, y la única diferencia es que se requiere considerar la operación con números complejos durante el análisis del circuito alterno.

 

• Tensión y Corriente Alternas

• Generación de Corriente Alterna

 

Según la Ley de Faraday, cuando una bobina gira dentro de un campo magnético se induce un potencial entre los dos terminales cuando el conductor se mueve en el campo magnético. La magnitud del potencial inducido depende de las líneas de fuerza magnética que corte, y la polaridad depende de la dirección en que se mueva el conductor. Esto inducirá que se produzca la onda senoidal alterna. La Fig. 8.3 muestra un generador de corriente alterna basado en este teorema.

En la Fig. 8.4 suponemos que el lazo de alambre se coloca inicialmente en posición horizontal. Cuando t = 0, la superficie del lazo es perpendicular a las líneas de fuerza magnéticas, por lo tanto el flujo es máximo en el área del lazo. Sin embargo, en este momento no hay cambio en el flujo entre  las líneas, por consiguiente DF / Dt = 0 y como no hay potencial inducido, V = 0.

Cuando la bobina ha rotado p / 2 radios (90 grados) no hay flujo que pase a través del área del lazo. Sin embargo, hay un cambio máximo en el flujo en este momento, y se induce el potencial máximo.
Cuando la bobina rota hasta p radios (180º), vuelve a estar horizontal de nuevo. La tensión es: V = 0.

 

                  

 

Fig. 8.3 – Generador de CA

 

Cuando la bobina ha girado 3 p /2 radios (270º), la bobina estará vertical de nuevo, pero sin embargo la posición es contraria a la posición que tenía cuando había recorrido p / 2 radios, y el potencial inducido adquiere el máximo valor negativo.
Finalmente, cuando ha girado 2 p radios (360º), alcanza de nuevo la posición cero, cuando V = 0. Entonces la bobina girará una y otra vez y generará una tensión con la misma forma de onda.

 

                

 

Fig. 8.4 – Voltaje alterno inducido por el generador AC de la Fig. 8.3

 

• Fórmula General de la Onda Senoidal

 

De la onda senoidal de la Fig. 8.4, sabemos que la magnitud de la tensión inducida depende de wt. Suponiéndose que w es constante, entonces la magnitud del potencial inducido variará con el tiempo de acuerdo con una función senoidal. El símbolo usado para la tensión alterna es una v minúscula, lo cual se ha convenido que represente un valor que cambia con el tiempo.

1.  Asumiendo que t = 0, y si el ángulo entre los lados efectivos de la bobina y la dirección del campo magnético es cero, entonces:

v(t) = Vm seno wt                                                                                        (8.1)

v(t) : tensión instantánea en cualquier momento

Vm : tensión máxima

w : frecuencia angular

y similarmente,

            i(t) = Im seno wt                                                                                           (8.2)

2. Asumiendo que t = 0, y si el ángulo entre los lados efectivos de la bobina y la dirección del campo magnético es F, entonces:

            v(t) = Vm seno (wt ±F)                                                                              (8.3)

En la ecuación anterior, F es el ángulo de fase. En la onda correspondiente al potencial de la Fig. 8.5(a), el ángulo de fase va adelante, de tal forma que F es positivo. En la Fig. 8.5(b), el ángulo de fase va atrasado, y F es negativo.

 

            

(a) Angulo de fase adelantado                          (b) Angulo de fase atrasado

 

Fig. 8.5 – Diagrama de fases de una onda senoidal de potencial

 

Ejemplo 8.1. Escriba las ecuaciones generales del siguiente potencial senoidal y los diagramas de la corriente. 

Respuesta:

            

Fig. 8.1

 

• Valor de la Onda

El valor de la onda de corriente alterna el variable. Los potenciales y las corrientes de la ondas alternas son diferentes en todo momento. Por lo tanto no podemos utilizar un simple número para expresar los cambios de la onda en todo su ciclo. La corriente alterna generalmente usa una serie de números para expresar su valores, tales como: valor, valor cresta, valor promedio y valor efectivo.

 

• Valor Máximo

 

El valor instantáneo máximo de una onda de potencial o de corriente se llama valor máximo, valor pico o amplitud de la onda, representándose con Vm e Im, respectivamente. Por ejemplo, en la Fig. 8.6(a), Vm = 10 y el valor máximo negativo es –10 V. Por lo tanto, el valor de pico a pico (entre crestas) V p-p = 10 + 10 = 20 V, y el valor de Im es de 5 A en la Fig. 8.6(b).

 

            
Fig. 8.6 – Dos formas diferentes de ondas

• Valor Instantáneo

 

La tensión y la corriente son valores que cambian en el tiempo y la magnitud de la onda en un momento particular se llama valor instantáneo. Se pueden expresar como v e i. De acuerdo con la ecuación (8.1), la ecuación general de una onda senoidal es v(t) = Vm sen (wt). Si deseamos determinar la tensión en un momento particular, se sustituye el valor de t en la ecuación anterior. El resultado es el valor instantáneo de la onda senoidal.
Por ejemplo, v(10) = 8 V significa que la tensión instantánea es 8V cuando t = 10 segundos.

Ejemplo 8.2. Si i(t) = 141.4 sen 377 t, determine:
(1) la corriente máxima;
(2) el valor instantáneo cuando t = 1/240

Respuesta:

 

• Valor Promedio

 

El área total bajo la curva de un ciclo de tensión o corriente dividida entre el tiempo del ciclo se llama valor promedio, y se escribe Vm o Im. El valor promedio de la onda de corriente o potencia se define como:

 

 

Valor promedio = (suma algebraica del área bajo la curva de 1 ciclo) / T

T : tiempo de 1 ciclo                                                                                              (8.4)

Ejemplo 8.3. Determine la tensión promedio Vav en el ejemplo de la Fig, 8.3

Respuesta:

                    
Figura del Ejemplo 8.3

 

 

Ejemplo 8.4. Determine la tensión promedio en la Fig. del Ejemplo 8.4

Respuesta: Esta onda senoidal es simétrica en el ciclo negativo o positivo, por lo que la suma algebraica del área de un ciclo es cero.

            

Figura del ejemplo 8.4

 

Al observar la amplitud de la onda podemos calcular el valor promedio de la tensión alterna o de la corriente usando la mitad del tiempo de ciclo. El área bajo el medio ciclo positivo es 2 Vm (calculado), por lo tanto, su valor promedio de medio ciclo es:

            Vav = 2 Vm / p = 0.636 Vm

Ejemplo 8.5. Determine el valor promedio de la mitad positiva de la onda de la figura del Ejemplo 8.5.

Respuesta: el área bajo el medio ciclo positivo es:

            Vm x T / 2 x ½ = Vm / 4 x T

Valor promedio :

            (Vm / 4) T / T / 2  =  Vm / 2

                                    

Figura del Ejemplo 8.5

 

• Valor Efectivo o Raíz Media Cuadrada (rms)

 

Cuando una corriente alterna y directa pasan a través de una misma resistencia, si generan la misma cantidad de calor, entonces el valor de esta corriente directa es el valor efectivo de la corriente alterna. Generalmente a estos valores los llamamos tensión efectiva y corriente efectiva, y significa que poseen el mismo valor efectivo.

Si la corriente directa es I, entonces la corriente alterna i(t) = Im sen (wt), y si pasan por una misma resistencia R y generan la misma cantidad de calor, entonces:

            I2R = (Im sen wt)2 R

 

       

 

 

1. Factor de Forma (F.F.)

 

El Factor de Forma se usa para determinar la relación entre los valores efectivo y promedio de una tensión alterna. Por lo tanto, definimos la relación entre el valor efectivo y el valor promedio de la tensión como Factor de Forma. Es decir:

 

 

---Ver Libro de Texto---

 

2.  Factor de Cresta (C.F.)
El factor de cresta se usa para determinar la relación entre los valores efectivo y máximo de una tensión alterna. Por lo tanto, definimos la relación entre el valor efectivo y el valor máximo de la tensión como Factor de Cresta, es decir:

---Ver Libro de Texto---

 

3. A continuación se ofrecen algunos valores de Factor de Forma y Factor de Cresta de algunas ondas comunes:

(1) Onda senoidal:

 

---Ver Libro de Texto---

 

(2) Onda Cuadrada

 

---Ver Libro de Texto---

 

(3) Onda Triangular:

 

---Ver Libro de Texto---

 

En la Tabla 8.1 se presenta una lista del valor máximo, valor efectivo y valor promedio de ondas senoidales, cuadradas y triangulares.

 

Tabla 8.1

Tipo de onda Valor	Senoidal	Cuadrada	Triangular
Máximo	Vm	Vm	Vm
Efectivo	Vm / ¸	Vm	Vm¶3
Promedio	2 Vm / p	Vm	Vm¸

 

 

Ejemplo 8.7 Se tiene una onda senoidal alterna con un valor efectivo de 110 V. Determinar (1) valor máximo; (2) valor promedio.

 

Respuesta:

 

                

 

• Periodo, Frecuencia y Longitud de Onda

 

Se usan diferentes características para describir los diferentes tipos de ondas. Tales características son: frecuencia, periodo, amplitud, etc. El rango del periodo es ilimitado. Por ejemplo, la frecuencia en nuestras líneas de transmisión es de 60 Hz, pero en algunas regiones se usan 50 Hz. La frecuencia del sonido va desde 20 Hz a 20 kHz; la frecuencia de transmisión de radio está entre 3 Hz a 300 GHz. La Frecuencia Modulada (FM) ocupa el tango de 88 a 108 MHz, y las estaciones de TV ocupan canales entre 54 y 890 MHz. Las frecuencias de más de 300 GHz son ópticas y de Rayos X.

 

• Frecuencia

 

Un ciclo que se repite en una onda se denomina frecuencia. En la Fig. 8.7(a), se tiene un ciclo en 1 segundo; en (b) dos ciclos por segundo; en (c) 60 ciclos por segundo. Por lo tanto, la frecuencia será igual. El símbolo de la frecuencia es f y sus unidad es Hz  (Hertzio)

 

              

(a) 1 ciclo por segundo             (b) 2 ciclos / segundo              (c) 60 ciclos / seg.
1 Hz                                         2 Hz                                      60 Hz

Fig. 8.7 – Concepto de frecuencia

 

• Periodo

 

El periodo T de una onda es el tiempo que se necesita para completar 1 ciclo. La unidad es el segundo, y es el recíproco de la frecuencia, como se muestra en la Fig. 8.7.

 

 

            T = 1 / f                                                                                                        (8.5)

 

Ejemplo 8.9. Una onda senoidal tiene una frecuencia de 60 Hz. ¿Cuál es el periodo?

Respuesta:               T = 1 / f = 1 / 60 = 0.0166 (seg.)

 

 

• Longitud de Onda

Si en la onda senoidal de la Fig. 8.8, la distancia desde 0 hasta el punto A es de 10 metros, esto significa que la onda ha pasado un ciclo y se ha movido 10 metros. A esta longitud la llamamos longitud de onda (l) de la onda eléctrica y es de 10 metros. Por lo tanto, definimos la distancia en la cual una onda eléctrica alterna se mueve en un ciclo como su longitud de onda.
En transmisión de radio, la velocidad de la onda eléctrica es igual a la velocidad de la luz, que es aproximadamente 3 x 108 metros / segundo.

 
l = 3 x 108 x T = 3 x 108 / f                                                                                   (8.6)

                                              

Fig. 8.8 – Relación entre tensión y distancia

 

Ejemplo 8.10 – En una frecuencia de radio de 100 kHz, ¿cuál es la longitud de onda?

 

Respuesta:

            l = 3 x 108 / 105 = 3000 m

 

 

• Fase

 

En un circuito alterno, las frecuencias de la tensión y la corriente son las mismas. Sin embargo, las fases de la tensión y la corriente no lo son debido a los dispositivos eléctricos. En general, siempre existe una diferencia de fases en un circuito. Para comparar la diferencia de fases entre la tensión y la corriente, deben estar en la misma frecuencia; de los contrario no se pueden comparar. La diferencia de fases entre la tensión y la corriente está entre 0 y 90º, y no se puede salir de este rango.
La relación de fases entre la tensión y la corriente puede ser una de las siguientes tres situaciones:

  

     

 

 

Cuando a > b, la tensión está adelantada al ángulo de fase (a - b), y la forma de la onda es como se muestra en la Fig. 8.10.

 

                  

Respuesta:

El ángulo de fase de v(t) es de 60 grados, y el de i(t) de 30 grados. Por lo tanto v(t) está adelantado 30 grados con respecto a i(t).

 

 

Ejemplo 8.12.

              

En vista de ello fue necesario hacerlas iguales, por lo que v(t) e i(t) están en fase.

• Operación con Vectores

 

En un circuito CD, la corriente y la tensión están en fase, por lo que las operaciones algebraicas se limitan solamente a los números reales. Sin embargo, en CA (corriente alterna) existe una diferencia de fase de 0 a 90 grados entre la tensión y la corriente, por lo que es necesario usar números complejos para operar.
Los números complejos constituyen una importante herramienta para llegar a comprender los circuitos de CA. El estudiante se dará cuenta que la única diferencia en el análisis de CA y CD la constituye la operación con números complejos.

• Definición de Números Complejos

 

Un número complejo es la combinación de un número real + un número imaginario, es decir, A = a + jb, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria, como se muestra en la Fig. 8.12.  (En teoría de circuitos, como para expresar la corriente se utiliza la letra i, aquí la parte imaginaria se expresa con j).

                                                   

    Fig. 8.12

• Tipos de Números Complejos

 

1. Coordenadas Rectangulares: Como se muestra en la Fig. 8.12, el vector      A = a + jb se expresa mediante coordenadas rectangulares.

2. Coordenadas Polares: Como se muestra en la Fig. 8.12, el vector A = r cos q se expresa como coordenada polar.

3. Conversión de coordenadas.

Rectangulares a polares

---Ver Libro de Texto--- (Nota: q yace en uno de los cuatro cuadrantes)

Polares a rectangulares:

a = r cos q
b = r sen q

Ejemplo 8.13. Convierta los siguientes números de coordenadas polares a rectangulares:

• A = 10 sen 36.9º; (2) B = cos –53.1º; (3) C = 1 sen 0º; (4) D = 1 cos 90º.

Respuesta:   ---Ver Libro de Texto---

 

 

Ejemplo 8.14. Convierta los siguientes números de coordenadas rectangulares a coordenadas polares:

• A = 3 + j4;  (2) B = 8 – j6; (3)  C = - 3 + j4;  (4)  D = -1

Respuesta:   ---Ver Libro de Texto.

 

 

 

 

 

 

 

8.6.3            Operación con Números Complejos

1. Suma y resta de números complejos.

1. Para coordenadas rectangulares: las partes reales se suman (o estan) y dan como resultado la parte real; las partes imaginarias se suman o (restan) para dar la parte imaginaria.
2. Existen dos métodos para suma y resta de coordenadas polares:

• Convirtiendo la coordenada polar a coordenada rectangular y luego usando el método de suma / resta de coordenadas rectangulares
• Dibujar las coordenadas polares en forma de vector, y luego sumar / restar por el método gráfico. En general este método se usa para algunos ángulos especiales, como ángulos de fase cuyas diferencias son de 0º, 60º, 90º, 120º y 180º. Para ángulos de diferencia de fase de 0º, la suma resultante es la suma de las magnitudes de los dos vectores. Para aquellos vectores con la misma magnitud y con una diferencia de fase de 60º, el resultado de la suma es Ö3 veces la magnitud del vector. Para aquellos vectores con la  misma magnitud y con un ángulo de fase de 90º, el resultado de la suma es Ö2 veces la magnitud del vector. Para aquellos vectores con la misma magnitud y con un ángulo de diferencia de fase de 120º, el resultado de la suma es la misma magnitud del vector. Para aquellos vectores con 180º de diferencia de ángulos de fase, el resultado de la suma es la resta de las magnitudes de los dos vectores.

 

Ejemplo 8.15.  A = 3 + j4;  B = 4 + j5.  Determine (1) A + B, (2)  A – B.

Respuesta:   ---Ver Libro de Texto---

 

Ejemplo 8.16.   A = 10 cos 36.9º;  B = 5 sen 53.1º.  Determine A + B.

Respuesta:   Convierta las coordenadas polares a rectangulares.

 

---Ver Libro de Texto---

2. Multiplicación de números complejos. Se multiplican de forma directa y se conviene en que j2 0 –1.

Coordenada rectangular: (a + jb) (c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad)

      Coordenada polar: A cos q1 * B cos q2 = AB cos q1 + q2

Ejemplo 8.17: A = 5 + j12, determine Ax A*, donde A* es el conjugado de A.

Respuesta:   ---Ver Libro de Texto---
---Ver Libro de Texto---

Ejemplo 8.18. Determine:  20 cos 30º x 3 sen 60º

Respuesta:   ---Ver Libro de Texto---

3. División de números complejos. Convierta el denominador en forma de número real, es decir multiplique el conjugado del denominador con el numerador y el denominador.

      Coordenadas rectangulares:  ---Ver Libro de Texto---

      Coordenadas polares:   ---Ver Libro de Texto---

Ejemplo 8.18:  a = 8 + j6;  B = 3 + j4.   Determine A/B

Respuesta:   ---Ver Libro de Texto---

NOTA: verificar las funciones trigonométricas cuando se tenga a mano el original del “Libro de Texto” (en Chino)

 

 

• Diagramas de Fasores, impedancia y admitancia.

Esta sección la ayudará al estudiante a aprender a dibujar diagramas de fasores, de impedancia y de admitancia en corriente alterna. También le ayudará a aprender otras relaciones entre las fases de corriente y tensión en circuitos de corriente alterna. Podremos usar también el dibujo de impedancia y admitancia para analizar el circuito y obtener la impedancia y admitancia. Tales procedimientos facilitarán y harán más útil el análisis de circuitos alternos.

 

• Diagrama de Fasores

 

En la Fig. 8.13 se muestra un circuito R-L-C. La corriente I es el parámetro común de cada uno de los dispositivos, por lo que lo usaremos como vector de referencia. Esto significa que se ángulo de fase es de 0º. Se dibuja en el eje real, es decir:

 

 

 

 

               

 

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

                        

Fig. 8.17 – Diagrama fasor para el circuito en serie R-L-C

 

• Diagrama de Impedancia

En el circuito R-L-C en serie que se muestra en la Fig. 8.13, XL es la reactancia inductiva, XC representa la reactancia capacitiva, y Z es la impedancia, que se expresa como:

        

Fig. 8.18 – Diagrama de Impedancia del circuito R-L-C en serie

 

 

• Diagrama de Admitancia

 

En la Fig. 8.19 se muestra un circuito R-L-C en paralelo. Se define la admitancia (Y) como el recíproco de la impedancia. La conductancia (G) es el recíproco de la resistencia. La admitancia del inductor BL es el recíproco de la reactancia inductiva, y la admitancia del capacitor (BC) es el recíproco de la reactancia capacitiva. Por lo tanto,

 

       

 

 

       

 

 

 

• Resumen

 

1. La ecuación general de potencial y corriente que generan una onda senoidal es v(t) = Vm sen wt, i(t) = Im sen wt
2. Valor promedio = (suma algebraica del área bajo la curva de 1 ciclo) / T
3. El valor promedio de la tensión o de la corriente alterna se debe calcular mediante la mitad del ciclo.
4. Para obtener el valor efectivo del las corrientes o tensiones, es necesario elevar las tensiones o las corrientes al cuadrado, obtener el valor promedio y luego extraer la raíz cuadrada. Por lo tanto, el valor efectivo también se llama raíz cuadrada promedio (root mean square, rms)
5. Factor de Forma (FF) = Irms / I av  , o  Vrms / Vac
6. Factor de Cresta(CF) = Im / Irms,  o  Vm / Vrms
7. El valor promedio de media onda senoidal es 2 /p o sea, 0.636 veces el valor máximo.
8. El valor efectivo de una onda senoidal es 1 / Ö2, o sea 0.707 veces el valor máximo.
9. El periodo es el recíproco de la frecuencia. T = 1 / f.
10. En transmisiones de radio, la velocidad de la onda eléctrica es igual a la velocidad de la luz, que es aprox. 3 x 108 m/seg. Por lo tanto, la longitud de onda l = 3 x 108 x T = 3 x 108 / f.
11. Para comparar la diferencia de fases de la tensión y la corriente, deben estar en la misma frecuencia. No se pueden comparar con frecuencias diferentes. La diferencia de fases para la tensión y la corriente está entre 0 y 90º, y no se puede salir de este rango.
12. Conversión de coordenadas rectangulares y polares.

• para convertir coordenadas rectangulares a polares:

---Ver Libro de Texto---

• para convertir coordenadas polares a rectangulares:

 

---Ver Libro de Texto---

 

 

 

 

13. Multiplicación de números complejos

 

 

 

• Coordenadas rectangulares: (a+jb) (c + jd) = (ac – bd) + j(bc+ad)
• Coordenadas polares: A cos q1 * B cos q2 = AB cos q1 + q2

 

14. División de números complejos

---Ver Libro de Texto---

 

• Preguntas

 

Verdadero o Falso

(    ) 1.  El valor promedio de la onda senoidal es igual a 0.707 el valor máximo.

(  ) 2. El valor de pico a pico de una onda senoidal es de 200 V. El valor promedio de esta onda senoidal es 63.7 V.

(    ) 3. El factor de cresta de una onda senoidal es Ö2.

(    ) 4. El factor de forma de una onda senoidal es 1.11

(   ) 5. En un circuito, la corriente alterna es i = 5 sen wt Amperios. El valor efectivo será entonces de 5 A.

(    ) 6. En algunos países de América, el periodo de la corriente es de 1/60 seg.

(    ) 7. En una onda senoidal alterna, w = 2 p f.

(    ) 8. DC (CD) significa corriente alterna; AC significa corriente directa.

(   ) 9. v(t) = 110 sen (314t + 60º); i(t) = 10 sen (377t + 30º) entonces v está adelantado 30º con respecto a i .

(    ) 10. A = 6 – j8. Su conjugado A* es 6 + j8.

 

• Problemas

 

1. V1 = 10 cos 0º,  V2 = 10 sen 120º,  V3 = cos – 120º.

     Determine V1+V2+V3.
2. Con las mismas condiciones de arriba, calcule V1+V2 -V3.